BỘ GIÁO DỤC V À Đ À O T Ạ O TRƯỜNG Đ Ạ I HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— TRẦN XUÂN HIỆP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN Đ Ầ U THỨ NHẤT ĐỐI V Ớ I PHUƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI LUẬN V Ă N THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 BỘ GIÁO DỤC V À Đ À O T Ạ O TRƯỜNG Đ Ạ I HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— TRẦN XUÂN HIỆP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN Đ Ầ U THỨ NHẤT ĐỐI V Ớ I PHUƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI Chuyên ngành: T o á n giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN V Ă N THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Xuân Hiệp Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Xuân Hiệp Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Các kí hiệu. . . . . . . . . 4 1.2. Một số không gian hàm . . . . . . . 6 1.2.1. Không gian L p (Ω) . . . . . . . . 6 1.2.2. Không gian L ∞ (Ω) . . . . . . 7 1.2.3. Không gian Sobolev . . . . . . . 7 1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản. . . . . . 10 Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi . 13 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 13 2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . 16 2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . . 16 2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 19 Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi . . 25 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 25 3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . 26 3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . . 27 v 3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 30 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 vi Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu vào giữa thế kỉ thứ 18 trong các công trình toán học của Euler, Dalamber, Lagrange và Laplace như một công cụ để mô tả các các mô hình của vật lý học, cơ học. Đến thế kỉ thứ 19 các công trình toán học đặc biệt là công trình của Rieman về phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ mạnh trong các lĩnh vực toán học khác và đặc biệt trong các bài toán thực tiễn. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu đối với phương trình parabolic xuất phát từ việc mô tả các chuyển động khác nhau trong tự nhiên khi điều kiện ban đầu không ảnh hưởng tới diễn biến của chuyển động. Do đó ta có thể giả sử tại thời điểm ban đầu −∞ và nghiên cứu các quá trình cho trước dựa trên tính chất biên của miền mà nó xảy ra. Bài toán này đặt ra vấn đề tìm ra một nghiệm của một phương trình hoặc hệ phương trình Parabolic với những điều kiện biên cho trước với −∞ < t ≤ T, T ≤ ∞. Thứ nhất luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm u h với điều kiện ban đầu t = h. Sau đó bằng cách cho t → −∞, thu được khả năng giải được của bài toán mà không cần điều kiện ban đầu. Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi không chỉ quan trọng về mặt lý thuyết mà còn quan trọng trong các bài toán ứng dụng. 1 Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, những người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, dưới sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi. Kết quả nhận được là các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toán trên trong miền chứa điểm lùi. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan. Từ đó áp dụng vào nghiên cứu tính giải được của bài toán. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biên 2 không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉ Galerkin, tổng hợp các kết quả trong các tài liệu liên quan. 6. Đóng góp của đề tài Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc xét những trường hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải. 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Các kí hiệu R n là một không gian Euclide n− chiều, x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n . Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R n , n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của nó, Ω = Ω ∪ ∂Ω. Kí hiệu Q b a = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , 0 ≤ a < b < ∞} là trụ trong R n+1 ; mặt xung quanh của nó là S b a = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} . Nếu (a, b) = R thì ta viết Q R = Q +∞ −∞ và S R = S +∞ −∞ ; (a, b) = (0, b) thì ta viết Q b 0 = Q b , S b 0 = S b ; Q ∞ h là hình trụ Ω × (h, ∞). Giả sử u là hàm véctơ giá trị phức với các thành phần u 1 , , u n . Ta kí hiệu u = (u 1 , , u n ) và D p u = ∂ |p| u/∂x p 1 1 ∂x p n n = u x p 1 1 x p n n là đạo hàm suy rộng cấp p theo biến x = (x 1 , x n ); u t k = ∂ k u/∂t k là đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t. Ở đây p = (p 1 , , p n ) là kí hiệu đa chỉ số với p i là các số nguyên không âm, |p| = p 1 + + p n . Kí hiệu C k (Ω) là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞, C 0 (Ω) = C (Ω) và o C k (Ω) = o C (Ω) ∩ C k (Ω), ở đó o C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong Ω với giá compact thuộc Ω. C ∞ o (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω. 4 [...]... của bài toán (2.13) − (2.15) hơn nữa u W 1,0 (−γ,Q∞ ) h ≤C f 2 L2 (−γ,Q∞ ) h Định lý được chứng minh 24 + ft 2 L2 (−γ,Q∞ ) h Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi Trong chương này luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền. .. trong miền chứa điểm lùi Chương này dành cho việc trình bày sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi Phương pháp chính được sử dụng là phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin Không mất tính tổng quát, trong luận văn luôn xét Ω là miền bị chặn trong Rn , (n ≥ 2) với ∂Ω \ {0} trơn và 0 là điểm lùi... cho ta có B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t) 2 W 1 (Ω) với hầu khắp t ∈ R Bây giờ chúng ta xét bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong trụ QR Không mất tính tổng quát, trong luận văn luôn xét Ω là miền bị chặn trong Rn , (n ≥ 2) với ∂Ω \ {0} trơn và 0 là điểm lùi của ∂Ω Lu − ut = f trên QR (3.1) Với điều kiện biên u|SR = 0 (3.2) 3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng... Φ(t) có đạo hàm Φ (t) khả tích trên [t0 , T ) thì bằng tích phân từng phần, ta có t L t e L(t−s) Φ(s)ds = −e L(t−s) Φ(s) t0 |t0 t eL(t−s) Φ (s)ds + t0 t = Φ (t) − Φ(t0 )e L(t−t0 ) eL(t−s) Φ (s)ds + t0 Từ đó ta suy ra: t eL(t−s) Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0 , T ) u (t) ≤ Φ (t0 ) + L t0 Bất đẳng thức được chứng minh đầy đủ 12 Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong. .. miền trong không gian Rn và cho 0 < p < +∞ Khi đó Lp (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) 6 khả tổng cấp p theo nghĩa Lebesgue trong Ω, tức là: |u|p dx < +∞ Ω Không gian Lp (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn : 1  p u Lp (Ω) |u|p dx = Ω Hơn nữa, Lp (Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp (Ω) là một không gian Banach Với p = 2, ta có L2 (Ω) là không gian các hàm khả tổng cấp 2 trong Ω với. .. dụng bất đẳng thức Gronwall-Belman ta có: J (t) ≡ 0 trên −∞, 29 1 1 ln , 2γ C 2 L2 (Ω) dt (3.8) ⇒ u ≡ 0 hầu khắp nơi với t ≤ 1 1 2γ ln C Kết hợp với tính duy nhất của nghiệm suy rộng của bài toán có điều kiện ban đầu đã xét trong Chuơng 2 ta suy ra u1 (x, t) = u2 (x, t) hầu khắp t ∈ R Định lý đã đuợc chứng minh 3.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng của bài toán (3.1) − (3.2) có thể đuợc đánh... nghiệm suy rộng Ta xét bài toán sau trong Q∞ h Lu − ut = f trên Q∞ h (2.13) Với điều kiện biên ∞ u|Sh = 0 (2.14) u (x, h) = 0 trên Ω (2.15) Và điều kiện ban đầu Đặt n aij uxj uxi dx, t ∈ R B (u, u) (t) = i,j=1 Ω 19 Khi đó giả sử B (·, ·) (t) thỏa mãn điều kiện Elliptic đều, tức là: ∃µ0 > 0 : B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t) 2 W 1 (Ω) hầu khắp t ≥ h (ở đây ta chỉ xét trường hợp λ = 0 trong (2.5)) Định lý 2.4.1... 1 2 1 |Dp u|2 dx = |p|=0 Ω 0 • Không gian W l (Ω) Định nghĩa 1.2.5 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn Ta định 0 ∞ nghĩa W l (Ω) là bao đóng của C0 (Ω) trong chuẩn của không gian W l (Ω) • Không gian W l,k Qb a Định nghĩa 1.2.6 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn , n ≥ 2 Ta định nghĩa W l,k Qb là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ a 8 L2 Qb với chuẩn a  u W l,k (Qb ) a k l... truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi 3.1 Đặt bài toán Ta vẫn giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn , n ≥ 2 với biên S = ∂Ω Cho a < b, đặt Qb = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b)}, a b Sa = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} +∞ Nếu (a, b) = R thì ta viết QR = Q+∞ , SR = S−∞ −∞ Q∞ là hình trụ Ω × (h, ∞) h Kí hiệu Qb = Ω × (h, b) = {(u, t) | x ∈ Ω, t ∈ (h, b)} h 0 Ta đưa vào các không gian... Ở đây hằng số C không phụ thuộc vào f, h Xét các nghiệm suy rộng uh và uk của bài toán (2.13) − (2.15) trong trụ Q∞ và Q∞ với f (x, t) thay bằng f h (x, t) và f k (x, t) tuơng ứng với h k h 0 1,0 h > k, có thể coi u ∈ W (−γ, Q∞ ) với uh (x, t) = 0, k ∀k ≤ t ≤ h Xác định uhk (x, t) = uk (x, t) − uh (x, t) khi đó uhk (x, t) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.13) − (2.15) trong trụ Q∞ với f (x, t) thay . rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi không chỉ quan trọng về mặt lý thuyết mà còn quan trọng trong các bài toán ứng. được của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi. Kết quả nhận được là các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian. rộng. . . . . . . 19 Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi . . 25 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 25 3.2. Định