BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  HÀ THỊ THU THỦY ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI \ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2  HÀ THỊ THU THỦY ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Văn Lưu HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và làm luận văn, cùng với sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo của phòng sau đại học trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 và thầy PGS.TS. Đỗ Văn Lưu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Đỗ văn Lưu, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn phòng sau đại học, trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng toàn thể các thầy cô giáo và cán bộ trong nhà trường. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Hữu Nghị 80, tổ toán trường Hữu Nghị 80 đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học K16 - TGT đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp này. Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 2014 Học viên Hà Thị Thu Thủy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 2014 Học viên Hà Thị Thu Thủy ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot và dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Dưới vi phân Michel- Penot . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Các điều kiện tối ưu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân 19 2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Trường hợp trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Trường hợp không trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học 26 3.1. Quy tắc nhân tử Lagrange dưới ngôn ngữ xấp xỉ lồi trên 26 iii 3.2. Quy tắc nhân tử Lagrange của Clarke . . . . . . . . . . . 37 3.3. Quy tắc nhân tử Lagrange xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . 40 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 iv MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Các bài toán tối ưu không lồi không trơn đã và đang thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các lí thuyết dưới vi phân là các công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các điều kiện tối ưu, chẳng hạn dưới vi phân lồi, dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich,. . . Các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quy hoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot và dưới vi phân Fréchet đã được W. Schirotzek trình bày trong cuốn sách chuyên khảo “ Nonsmooth Analysis” (2006). Đây là đề tài đã thu hút nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Vì thế, tôi chọn đề tài luận văn : “Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi”. Mục đích nghiên cứu • Đọc và dịch tài liệu trong cuốn sách “Nonsmooth Analysis” (2006) của W.Schirotzek. • Tham khảo các tài liệu có liên quan. • Phân tích, tổng hợp làm rõ các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi. 1 Nhiệm vụ nghiên cứu • Các điều kiện tối ưu cơ bản. • Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân. • Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quy hoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel- Penot và dưới vi phân Fréchet được W. Schirotzek trình bày trong cuốn sách chuyên khảo “ Nonsmooth Analysis” (2006). Những đóng góp mới của đề tài Tác giả mong muốn có cách nhìn tổng quát hơn về điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu không lồi và hoàn chỉnh bản luận văn của mình. Phương pháp nghiên cứu Đọc và nghiên cứu tài liệu để phân tích, tổng hợp các nội dung của đề tài luận văn. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các dưới vi phân Clarke, Michel - Penot, Fréchet và các điều kiện tối ưu cơ bản. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1] - [5]. 1.1. Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot và dưới vi phân Fréchet 1.1.1. Dưới vi phân Clarke Giả sử E là không gian Banach thực, D ⊆ E là mở, x ∈ D và f : D → R. Định nghĩa 1.1. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ D nếu tồn tại lân cận U của x và số λ > 0 sao cho |f(x) −f(x  )| ≤ λ||x −x  || (∀x, x  ∈ U) (1.1) Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D nếu f Lipschitz địa 3 phương tại mọi x ∈ D. Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số λ trên D nếu (1.1) đúng với mọi x, x  ∈ D. Định nghĩa 1.2. Nếu y ∈ E thì f ◦ (x, y) := lim τ↓0 sup x→ x 1 τ (f(x + τy) − f(x)) (1.2) được gọi là đạo hàm Clarke của f tại x theo phương y. Định lý 1.1. Cho f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số λ > 0. Khi đó, a) f ◦ (x, .) là dưới cộng tính, thuần nhất dương và Lipschitz với hằng số λ trên E và thỏa mãn: f ◦ (x, y) ≤ λ||y|| (∀y ∈ E) (1.3) b) Với bất kì y ∈ E, ta có: f ◦ (x, −y) = (−f) ◦ (x, y). Chứng minh. a) Cho y ∈ E cố định, từ giả thiết ta có: 1 τ (f(x + τy) − f(x)) ≤ 1 τ λ||τy|| = λ||y|| với ||x −x|| và τ > 0 đủ nhỏ. Do đó f ◦ (x, y) ≤ λ||y||. b) Ta có: f ◦ (x, −y) = lim τ↓0 sup x→x 1 τ [f(x −τy) − f(x)] = lim τ↓0 sup x→x 1 τ [(−f)(x + τy) − (−f)(x)] = (−f) ◦ (x, y), trong đó x = x −τy 4 [...]... = NC (A, x) cho nên 0 ∈ ∂◦ f (x) + NC (A, x) 18 Chương 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân cho các trường hợp trơn và không trơn Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo trong [4] 2.1 Phát biểu bài toán Gọi Lp [a, b](p ∈ [1, +∞)) là không gian véctơ... đa trị F : R2 R Xét bài toán γ(x(a), x(b)) → min, x ∈ E, x(t) ∈ F (t, x(t)), t ∈ [a, b] h.k.n ˙ (2.12) Đặt: ϕ(t, x, u) :=    0, nếu v ∈ F (t, x),   +∞, các trường hợp khác Ta có: b ϕ t, x(t), x(t) dt = ˙ a    0,   +∞, nếu x(t) ∈ F (t, x(t)), t ∈ [a, b] h.k.n , ˙ trường hợp khác Khi đó, bài toán (2.12) có dạng (2.11) 25 Chương 3 Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học Chương 3 trình... cả các xấp xỉ lồi trên của f tại x Bởi vì f G (x, ) ≤ f H (x, ) cho nên ta có U C(f, x) ⊆ U Cr (f, x) Chú ý rằng f G (x, 0) = 0 = ϕ(0) Mục đích của phần này là thiết lập điều kiện cần tối ưu cho bài toán f (x) → min, x ∈ M ∩ A, với giả thiết M được mô tả bởi các bất đẳng thức vô hướng hoặc một phương trình toán tử Trước hết ta xét bài toán:    M inf (x), (P1 )   gi (x) ≤ 0 (i = 1, , m), x ∈ A... ϕ(y) < 0, Ψi (y) < 0 ∀i ∈ I(x), h (x)y = 0 không có nghiệm Từ mệnh đề 10.2.4[4] ta suy ra điều phải chứng minh c) Là một hệ quả trực tiếp của b) Nhận xét 3.1 1 Điều kiện tối ưu (3.6) là điều kiện Fritz John hoặc nếu λ = 1 là điều kiện Karush- Kuhn-Tucker tổng quát với các nhân tử Lagrange µi và ν 2 Nếu f là khả vi Fréchet tại x, ta đặt ϕ := f (x), tương tự cho gi , i ∈ I(x) và nếu A = E thì (3.6) có... với điều kiện biên tự nhiên: p(a) = γξ (x(a), x(b)), p(b) = −γη (x(a), x(b)) Tuy nhiên trong khuôn khổ giải tích không trơn, các hàm ϕ và γ có thể nhận giá trị +∞ Ví dụ cho: γ(ξ, η) :=    0, nếu ξ = α và η = β,   +∞, các trường hợp khác Khi đó, (2.11) đưa được về bài toán điểm mút cuối cố định (2.1) Bây giờ ta xét lớp các bài toán hay hơn Cho hàm γ : R2 → R ∪ {+∞} và các hàm đa trị F : R2 R Xét bài. .. lớp các bài toán có thể được giải quyết bằng công cụ giải tích không trơn Nhắc lại E := AC ∞ [a, b] Xét bài toán Bolza: b ϕ t, x(t), x(t) dt → min, ˙ f (x) := γ(x(a), x(b)) + a 24 x∈E (2.11) Đây là một bài toán cổ điển nếu hàm ϕ thỏa mãn giả thiết (A) và hàm (ξ, η) → γ(ξ, η) ánh xạ R2 vào R khả vi tại (x(a), x(b)) Ở đây x ∈ E là một cực tiểu địa phương của f trên E Trong trường hợp này, điều kiện cần... : [a, b] → R sao cho |g|p khả tích Lebesgue trên [a, b]; L∞ [a, b] là không gian véctơ các hàm đo được Lebesgue g : [a, b] → R sao cho esssup |g(x)| < +∞ Kí hiệu AC ∞ [a, b](a < b) là không gian véctơ các x∈[a,b] hàm tuyệt đối liên tục x : [a, b] → R sao cho x ∈ L∞ [a, b] Chú ý rằng AC ∞ [a, b](a < b) là một không gian Banach với chuẩn ||x||1,∞ = max{||x||∞ , ||x||∞ } ˙ 19 Xét bài toán điểm mút cuối... hữu hạn chiều thì ∃λ ∈ R+ , µi ∈ R+ (i ∈ I(x))∃ν ∈ F ∗ : λ, µi , ν không đồng thời bằng 0 sao cho µi Ψi (y) + ν ◦ h (x), y ≥ 0 ∀y ∈ A − x λϕ(y) + (3.6) i∈I(x) b) Nếu ϕ và Ψi , i ∈ I(x) liên tục trên E và điều kiện sau thỏa mãn: h (x)[R+ (A − x)] = F, (3.7) thì (3.6) đúng với λ, µi , i ∈ I(x) không đồng thời bằng 0 c) Nếu (3.7) và điều kiện sau đây thỏa mãn: ∃y0 ∈ A − x : Ψi (y0 ) < 0, ∀i ∈ I(x), h (x)y0... E Cho y ∈ E cố định, cho ε > 0 Với mỗi z ∈ E thì tồn tại δ(z) > 0 sao cho: 1 (f (x + τ y + τ z) − f (x + τ z)) < f ◦ (x, y) + ε (∀τ ∈ (0, δ(z))) τ (x := x + τ z) Điều này kéo theo 1 lim sup (f (x + τ y + τ z) − f (x + τ z)) ≤ f ◦ (x, y) + ε τ τ ↓0 8 với z ∈ E Vậy f (x, y) ≤ f ◦ (x, y) + ε Khi ε ↓ 0 thì f (x, y) ≤ f ◦ (x, y), ∀y ∈ E Cho y ∈ E cố định, cho ε > 0, với mọi τ > 0 đủ nhỏ và z ∈ E sao cho. .. suy ra x∗ ∈ ∂f (x) 1.2 Các điều kiện tối ưu cơ bản Cho f : E → R là hàm chính thường, A ⊆ E và x ∈ A ∩ domf Ta kí hiệu f G (x, y) := lim sup f (x + τ y) − f (x) τ (G - đạo hàm theo phương trên) f H (x, y) := lim sup f (x + τ y) − f (x) τ (H - đạo hàm theo phương trên) τ ↓0 τ ↓0 z→y Tập hợp: Tr (A, x) := {y ∈ E|∃τk ↓ 0, ∀k ∈ N : x + τk y ∈ A} là một nón Mệnh đề 1.12 [4] Cho x là cực tiểu địa phương . các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi. 1 Nhiệm vụ nghiên cứu • Các điều kiện tối ưu cơ bản. • Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân. • Điều kiện. phân. • Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quy hoạch toán học dưới ngôn. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Văn Lưu