TRUNG TAM GIA SU DUC TRI Phần I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác 1. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM là α thì sinα = y M ; cosα = x M . tan α = sinα π (α kπ) cosα 2 ≠ + ; cot α = cosα (α kπ) sinα ≠ 2. Các tính chất Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1 3. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1; 1 + tan² α = 2 1 cosα ; 1 + cot² α = 2 1 sinα 4. Các công thức liên hệ cung cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos α sin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin α tan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan α cot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot α cos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α 5. Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb tan a tan b tan(a b) 1 tan a tan b + + = − tan a tan b tan(a b) 1 tan a tan b − − = + 6. Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a tan 2a = 2 2 tan a 1 tan a− 7. Công thức hạ bậc cos² α = 1 cos 2α 2 + sin² α = 1 cos2α 2 − 8. Công thức biến đổi tích thành tổng cos α cos β = 1 2 [cos (α + β) + cos (α – β)] sin α sin β = 1 2 [cos (α – β) – cos (α + β)] sin α cos β = 1 2 [sin (α + β) + sin (α – β)] 9. Công thức biến đổi tổng thành tích cos α + cos β = α β α β 2cos cos 2 2 + − sin α + sin β = α β α β 2sin cos 2 2 + − cos α – cos β = α β α β 2sin sin 2 2 + − − sin α – sin β = α β α β 2cos sin 2 2 + − 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI sin(α β) tanα tanβ cosαcosβ + + = sin(α β) tanα tanβ cosαcosβ − − = I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Hàm số y = tan x xác định khi x ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z Hàm số y = cot x xác định khi x ≠ kπ, k thuộc Z Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau a. y = cos x + sin x b. y = x 1 cos x 2 + + c. y = sin x 4 + d. y = 1 1 sin x cos x − e. y = 2 cos2x + 1 f. y = 2 sinx− g. y = 1 cos x 1 sin x + − h. y = tan (x + π/4) i. y = cot (2x – π/3) II. Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Bước 1. Tìm tập xác định D; Với mọi x thuộc D → –x thuộc D Bước 2. Tính f(–x); so sánh với f(x). Có một trong 3 khả năng có thể xảy ra + f(–x) = f(x) → hàm số chẳn + f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ + f(–x) ≠ f(x) & f(–x) ≠ –f(x) thì chọn giá trị x o và tính f(–x o ), f(x o ) thỏa mãn điều kiện suy ra hàm số không chẳn không lẻ. Bài 2. Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau a. y = 2 cos x b. y = sin x + x c. y = sin 2x + 2 d. y = –2 tan² x e. y = sin |x| + x² f. y = |2x + 1| + |2x – 1| III. Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác Bài 3. Lập bảng biến thiên của hàm số a. y = –sin x + 1 trên đoạn [–π; π] b. y = –2cos (2x + π/3) trên đoạn [–2π/3; π/3] IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a. y = 2 sin (x – π/2) + 3 b. y = 3 – 2 cos 2x c. y = –1 – cos² (2x + π/3) d. y = 2 1 cos 4x 2+ − e. y = 2 sin x 3+ f. y = sin² x – 4sin x + 3 Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a. y = sin x trên đoạn [–π/2; π/3] b. y = cos x trên đoạn [–π/2; π/2] c. y = sin x trên đoạn [π/6; 3π/4] d. y = cos (πx / 4) trên đoạn [1; 3] V. Phương trình lượng giác Bài 6. Giải các phương trình sau a. 3 cos x sin x 2− = b. cos x 3sin x 1− = − d. 3sin3x 3 cos9x − = 1 + 4 sin³ 3x e. 4 4 π 1 sin x cos (x ) 4 4 + + = f. cos 7x – sin 5x = 3 (cos 5x – sin 7x) g. tan x – 3cot x = 4(sin x 3 cos x) + h. 3(1 cos2x) cos x 2sin x − = i. 2sin 2x + 2sin² x = 1 Bài 7. Giải các phương trình sau a. 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b. 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0 c. 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d. 2 (sin 4 x + cos 4 x) = 2 sin 2x – 1 e. cos (4x/3) = cos² x f. (3 + tan² x) cos x = 3. g. 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h. 6sin² 3x + cos 12x = 4 Bài 8. Giải các phương trình sau a. 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2 b. sin² x – 2 sin x cos x – (2 3 + 3) cos² x = 0 c. 4 sin² x + 3 3 sin 2x – 2 cos² x = 4 d. 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x e. sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2 Bài 9. Giải các phương trình sau 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI a. 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b. sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12 c. 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d. cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0 Bài 10. Giải các phương trình sau a. cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 b. 2 + cos 2x = – 5 sin x c. 6 – 4cos² x – 9sin x = 0 d. 2 cos 2x + cos x = 1 e. 4sin 4 x + 12cos² x = 7 Bài 11. Giải các phương trình sau a. 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1) b. 1 + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = 2 cos² (π/4 – x/2). c. 1 + 3 tan x = 2 sin 2x. d. (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = 1. e. sin 2x (cot x + tan x) = 4 cos² x. f. 2 cos² 2x + cos 2x = 4 sin² 2x cos² x g. cos 3x – cos 2x – 2 = 0 h. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x. i. sin 2x + 2 tan x – 3 = 0 j. sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x k. tan³ (x – π/4) = tan x – 1 l. sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2 m. sin 2x + cos 2x + tan x = 2. n. cos 3x – 2 cos 2x + cos x = 0 Bài 12. Giải các phương trình sau a. 2sin² x + 2sin 2x = 3 – 2cos² x b. cos³ x – sin³ x = cos x + sin x. c. sin x sin 2x + 2sin 3x = 6 cos³ x d. sin³ x + cos³ x – 2(sin 5 x + cos 5 x) = 0 e. sin³ (x – π/4) = 2 sin x. f. 3cos 4 x – sin² 2x + sin 4 x = 0. g. 3sin 4 x + 5cos 4 x – 3 = 0. Bài 13. Giải các phương trình sau a. cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x b. 2 cos³ x + cos 2x + sin x = 0 c. 1 + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x d. 6 (cos x – sinx) + sin x cos x + 6 = 0 e. sin³ x – cos³ x = 1 + sin x cos x f. 1 1 10 sin x cos x cos x sin x 3 + + + = g. 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18. h. 2 (1 + cot² x) + 2 tan² x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0. i. cos³ x – sin³ x + 1 = 0. j. 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x) Bài 14. Giải các phương trình sau a. sin 2x + 2cos 2x = 1 + sin x – 4cos x b. sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – 2 c. sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = 0 d. cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1/4 e. sin 4 (x/2) + cos 4 (x/2) – 1 + 2sin x = 0 f. cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0 g. sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x h. sin 4 x + cos 4 x – cos² x = 1 – 2sin² x cos² x i. 3sin 3x – 3 cos 9x – 4sin³ 3x + 1 = 0 j. cosx sin x sin x 1 cos x + = − k. sin² (x/2 – π/4) tan² x – cos² (x/2) = 0 l. cot x – tan x + 4sin x = 1 sin x m. sin xcos x + cos x = –2sin² x – sin x + 1 n. sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x) o. cos3x sin 3x 5(sin x ) cos2x 3 1 2sin 2x + + = + + p. sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x q. cos 3x – 4cos 2x + 3cos x – 4 = 0 r. 2 4 4 (2 sin 2x)sin3x tan x 1 cos x − + = s. tan x + cos x – cos² x = sin x (1 + tan x tan x 2 ) t. cot x – 1 = 2 cos2x 1 sin x sin 2x 1 tan x 2 + − + TỔ HỢP XÁC SUẤT I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu P n là: P n = n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số tự nhiên k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là k n n! A (n k)! = − 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số tự nhiên k ≤ n. Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử là k k n n n! 1 C A k!(n k)! k! = = − c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: k n k k k k 1 n n n 1 n n C C ; C C C − − + = = + III. Khai triển nhị thức Newton (a + b) n = n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n n k 0 C a b C a C a b C a b C b − − − = = + + + + + ∑ + Trong khai triển nhị thức Newton bậc n có n + 1 số hạng. Trong mỗi số hạng thì tổng số mũ của a và b là n. Số hạng tổng quát thứ k + 1 là T k+1 = k n k k n C a b − + 0 1 2 n n n n n n C C C C 2+ + + + = + 0 1 2 3 k k n n n n n n n n C C C C ( 1) C ( 1) C 0− + − + + − + + − = IV. XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω. Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Gọi n(A) là số phần tử của biến cố A, còn n(Ω) là số kết quả có thể xảy ra của phép thử. Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A) = n(A)/n(Ω). Nếu A ∩ B = ϕ thì ta nói A và B xung khắc. Khi đó P(A U B) = P(A) + P(B). Định lý: P(ϕ) = 0, P(Ω) = 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1. A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B) Bài 1. Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2. Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4}. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3. Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện ba lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Bài 4. Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Bài 5. Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6. Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Bài 7. Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Bài 8. Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau. Bài 9. Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – 6 + 3 n C ≥ 3 n 1 C + 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI Bài 10. Từ 7 chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau a. Nếu số đó là số lẻ b. Nếu số đó là số chẵn c. số đó không chia hết cho 10. Bài 11. Trong khai triển 10 3 3 (2 x ) x − , với x > 0, tìm số hạng không chứa x. Bài 12. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển [1 + x²(1 – x)] 8 . Bài 13. Cho khai triển: (1 + 2x) 10 = a o + a 1 x + a 2 x² +. + a 10 x 10 , có các hệ số a o , a 1 , a 2 , , a 10 . Tìm hệ số lớn nhất. Bài 14. Tìm số hạng a. thứ 13 trong khai triển (3 – x) 25 . b. thứ 18 trong khai triển (2 – x²) 25 . c. không chứa x trong khai triển (x + 1/x) 12 . d. không chứa x trong khai triển 12 3 9 4 1 (x x ) x + e. hữu tỉ trong khai triển của 6 ( 3 15) − f. đứng chính giữa trong khai triển của (1 + x) 10 . g. chứa x³ trong khai triển của (11 + x) 11 . Bài 15. Tìm hệ số của số hạng chứa a. x 4 trong khai triển (x/3 – 3/x) 12 . b. x 8 trong khai triển 5 12 3 1 ( x ) x + c. x 5 trong khai triển (1 + x + x² + x³) 10 . d. x³ trong khai triển (x² – x + 2) 10 . e. x³ trong khai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x) 4 + (1 + x) 5 +. + (1 + x) 50 . f. x³ trong khai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x) 4 + (1 + 2x) 5 +. + (1 + 2x) 22 . Bài 16. Tính tổng a. S 1 = 0 1 2 n n n n n C C C C+ + + + b. S 2 = 0 1 2 n n n n n n C C C ( 1) C− + − + − c. S 3 = 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n C C C C+ + + + d. S 4 = 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n C C C C − + + + e. T = 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n C 2C 2 C 2 C ( 2) C− + − + + − Bài 17. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 600000. Bài 18. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5. Bài 19. Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và phải có chữ số 5. Bài 20. Với các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789. Bài 21. Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ. Chọn ra một tổ gồm 8 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để tổ có nhiều nhất là 5 nữ. Bài 22. Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử ra một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp Bài 23. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D và E vào một băng ghế dài sao cho a. Bạn C ngồi chính giữa. b. Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế. Bài 24. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ ba màu Bài 25. Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a. Các học sinh ngồi tùy ý b. Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi bàn còn lại 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI Bài 26. Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Có bao nhiêu cách chọn. Bài 27. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho a. Có đúng hai nam b. Có ít nhất hai nam và ít nhất một nữ Bài 28. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để a. Số được chọn là số nguyên tố b. Số được chọn chia hết cho 3 Bài 29. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn Bài 30. Tìm xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, không lần nào xuất hiện mặt có số chấm là một số chẵn. Bài 31. Một bình chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tìm xác suất để rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ Bài 32. Một đoàn tàu có 7 toa đổ ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa. Tìm xác suất để có một khách lên mỗi toa tàu. Bài 33. Gieo 2 con súc sắc một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất của biến cố “ Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau” Bài 34. Gieo ngẫu nhiên đồng thời 4 đồng xu. Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa. Bài 35. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ khác nhau về màu sắc. lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên bi nữa. Tính xác suất của biến cố: “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh” Bài 36. Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 5 quả đỏ và 5 quả xanh, hộp thứ 2 chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho hai quả a. đều đỏ b. cùng màu c. khác màu Bài 37. Mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn a. có ghi số chẵn b. màu đỏ c. màu đỏ và ghi số chẵn d. màu xanh hoặc ghi số lẻ. Bài 38. Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên ba người. Tìm xác suất sao cho 3 người đó a. đều là nữ b. không ai là nữ c. ít nhất một người là nữ d. có đúng một người nữ CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: u n+1 = u n + d (n = 1, 2,. ). Khi d = 0 thì cấp số cộng có các số hạng đều bằng nhau. 2. Số hạng tổng quát CSC Định lí: Số hạng tổng quát u n của một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d được cho bởi công thức: u n = u 1 + (n – 1)d 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Định lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là k 1 k 1 k u u u 2 − + + = (k ≥ 2). 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 1 n 1 n n(u u ) n[2u (n 1)d] S 2 2 + + − = = BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a. 2, 5, 8,. Tìm u 15 . b. 2 3, + 4, 2 3,− Tìm u 20 . Bài 2. Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Bài 3. Cho cấp số cộng 2 5 3 4 6 u u u 10 u u 26 + − =   + =  Tìm số hạng đầu và công sai của nó. 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI Bài 4. Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Bài 5. Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Bài 6. Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. Bài 7. Cho cấp số cộng (u n ). Biết u 1 + u 4 + u 7 + u 10 + u 13 + u 16 = 147. Tính u 1 + u 6 + u 11 + u 16 . Bài 8. Một cấp số cộng (a n ) có a 3 + a 13 = 80. Tìm tổng S 15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Bài 9. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. Bài 10. Cho cấp số cộng (a n ) có a 1 = 4, d = –3. Tính a 10 . Bài 11. Tính u 1 , d trong các cấp số cộng sau đây: a. 3 5 13 u u 14 S 129 + =   =  b. 5 9 u 19 u 35 =   =  c. 4 6 S 9 45 S 2 =    =   d. 3 10 4 9 u u 31 2u u 7 + = −   − =  Bài 12. Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = –15, u 14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. Bài 13. Cho cấp số cộng (u n ) có u 1 = 17, d = 3. Tính u 20 và S 20 . Bài 14. Cho cấp số cộng (u n ) có a 10 = 10, d = –4. Tính u 1 và S 10 . Bài 15. Cho cấp số cộng (u n ) có u 6 = 17 và u 11 = –1. Tính d và S 11 . Bài 16. Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = –15, u 4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có u n+1 = u n .q (n = 1, 2,. ). Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , 0, 0,. , 0,. Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , u 1 ,. , u 1 ,. Nếu u 1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,. 2. Số hạng tổng quát của CSN Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức u n = u 1 .q n–1 . 3. Tính chất Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là |u k | = k 1 k 1 u .u − + với k ≥ 2 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Cho một cấp số nhân (u n ) với công bội q. Ta có: n n 1 q 1 S u q 1 − = − (q ≠ 1) Nếu q = 1 thì S n = nu 1 . BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. a. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 6 số hạng biết u 1 = 243 và u 6 = 1. b. Cho cấp số nhân có q = 1/4, S 6 = 2730. Tìm u 1 và u 6 . Bài 2. Cho cấp số nhân có u 3 = 18 và u 6 = –486. Tìm số hạng đầu tiên u 1 và công bội q của CSN đó. Bài 3. Tìm u 1 và q của cấp số nhân biết: 4 2 5 3 u u 72 u u 144 − =   − =  Bài 4. Tìm u 1 và q của cấp số nhân (u n ) có: u 3 = 12, u 5 = 48. Bài 5. Tìm u và q của cấp số nhân (u n ) biết: 1 2 3 4 5 6 u u u 13 u u u 351 + + =   + + =  Bài 6. Tìm các số hạng của cấp số nhân (u n ) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Bài 7. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI GIỚI HẠN DÃY SỐ A. Lý thuyết: + Nếu |u n | < v n với mọi n, lim v n = 0 thì lim u n = 0 + lim u n = L → lim|u n | = |L| + lim u n = L → 3 3 n lim u L= + lim u n = L, u n > 0 với mọi n → L > 0 và n lim u L= + Với cấp số nhân mà |q| < 1 thì S = lim (u 1 + u 1 q + u 1 q² + + u 1 q n–1 ) = n 1 1 u (1 q ) u lim 1 q 1 q − = − − + lim |u n | = +∞ → n 1 lim 0 u = + 1 lim 0 n = + lim q n = 0 nếu |q| < 1 + k 1 lim 0 n = với mọi k > 0 + lim n k = +∞ với mọi k > 0 + lim q n = +∞ nếu q > 1 + lim u n = L thì lim (k.u n ) = k.L + lim u n = L, lim v n = M thì lim (u n + v n ) = L + M + lim u n = L, lim v n = M thì lim (u n .v n ) = L.M + lim u n = L, lim v n = M ≠ 0 thì lim (u n / v n ) = L / M B. Bài Tập: Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a. 2n 1 lim n 1 + + b. 2 2 3n 4n 1 lim 2n 3n 7 − + + − + c. 3 3 n 4 lim 5n n + + d. 3 n(2n 1)(3n 2) lim 2n 1 + + + e. 2 n 1 lim n 2 + − f. 3 n(n 1) lim (n 4) + + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a. n 1 lim n 1 + + b. 3 3 n n 2 lim n 2 + + + c. 3 2 3 2 n n 1 n n lim n n 1 3 + + + + + d. 2 n 4 lim n 2 + − e. 3 3 2 2 n 3n 2 lim n 4n 5 + + − + Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a. lim( n 1 n ) + − b. 2 2 lim( n 5n 1 n n) + + − − c. 2 2 lim( 3n 2n 1 3n 4n 8) + − − − + d. 2 lim( n 4n n) − − e. 2 lim(n n 3) − + f. 3 2 3 lim( n n n) − + g. 3 3 lim( n n 1) − + h. 3 3 2 2 lim( n 3n 1 n 4n) − + − + Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a. n n 1 4 lim 1 4 − + b. n n 1 n 2 n 3 4 lim 3 4 + + − + c. n n n n n n 3 4 5 lim 3 4 5 − + + − Bài 5. Tìm các giới hạn sau: a. sin nπ lim n 1 + b. 2 sin10n cos10n lim n 2n + + Bài 6. Tìm các giới hạn sau: a. 2 1 3 5 (2n 1) lim 3n 4 + + + + + + b. 2 1 2 3 n lim n 3 + + + + − c. 1 1 1 lim[ ] 1.2 2.3 n(n 1) + + + + d. 2 2 2 2 1 2 3 n lim n(n 1)(n 2) + + + + + + Bài 7. Tính các giới hạn sau: a. n n 1 1 1 lim[1 ( 1) ] 3 9 3 − + − + − 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI b. lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3ⁿ) Bài 8. Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số a. 1,111 b. 2,333 c. 0,222 d. 0,2121… e. 0,23111 GIỚI HẠN HÀM SỐ A. Lý thuyết: + o x x lim x → = x o với mọi x o . + x 1 lim ( ) 0 x →±∞ = + k x 1 lim 0 x →±∞ = với k > 0 + k x lim x →+∞ = +∞ với k > 0 + 0 0 0 x x x x x x lim f(x) L lim f (x) lim f (x) L − + → → → = ⇔ = = + o o x x x x lim [cf (x)] c lim f(x) → → = + [ ] o o o x x x x x x lim f (x) g(x) lim f(x) lim g(x) → → → + = + + [ ] o o o x x x x x x lim f (x)g(x) lim f(x). lim g(x) → → → = + o o o x x x x x x lim f(x) f (x) lim [ ] g(x) lim g(x) → → → = nếu o x x lim g(x) 0 → ≠ B. Bài tập: Bài 1. Tính các giới hạn sau: a. 2 x 3 x 9 lim x 3 → − − b. 2 2 x 2x 9 lim x 4 →+∞ − + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a. 2 x 2 lim(2x 3x) → − b. x 1 5x 2 lim x 1 → + + Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a. 3 x lim (x 2x) →+∞ + b. 3 x lim (x 2x) →−∞ + c. 2 2 x 5x 3x 1 lim 2x 3 →+∞ + + + d. 4 2 4 x x 5x 1 lim 2x 3 →−∞ + + + e. 2 3 x 3x 1 lim 2x 5 →+∞ + + f. 2 3 x 3x 1 lim 2x 5 →−∞ + + g. 2 x x 2x 2 lim x 1 →+∞ + + + h. 2 x lim x 2x →+∞ + i. 2 x 4x 1 lim 3x 1 →−∞ + − j. 4 2 x 3x x 5x lim 2x 4x 5 →+∞ + − + − k. 2 2 x x 3 4x lim 4x 1 x →−∞ + + + − l. 2 2 x 9x 1 4x 2x lim x 1 →+∞ + − + + Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a. 2 x 3 5x 2 lim (x 3) → + − b. x 3 5x 2 lim x 3 − → + − c. 2 x 2 x 5x 2 lim x 2 + → + + − Bài 5. Cho hàm số: 2 2x 3x 1, x 2 f (x) 3x 7, x 2  + − ≥  =  + <   Tìm các giới hạn sau: a. x 1 lim f (x) → b. x 3 lim f(x) → c. x 2 lim f (x) → Bài 6. Cho hàm số: 2 1 2x , x 1 f (x) 5x 4, x 1  − <  =  + ≥   Tìm các giới hạn sau: a. x 0 lim f(x) → b. x 3 lim f(x) → c. x 1 lim f (x) → Bài 7. Tìm các giới hạn sau 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI a. 2 x 3 x 2x 15 lim x 3 → + − − b. 2 2 x 1 x 2x 3 lim x 1 → + − − c. 2 2 x 2 x 3x 2 lim x x 6 → − + + − d. 4 4 x a x a lim x a → − − e. 5 3 x 1 x 1 lim x 1 →− + + f. ( ) 6 5 2 x 1 4x 5x x lim 1 x → − + − Bài 8. Tìm các giới hạn sau: a. x 1 x 1 lim x 1 → − − b. 2 x 3 x 1 2 lim x 9 → + − − c. 2 x 2 2x 5 7 x lim x 2x → + − + − d. 3 x 2 4x 2 lim x 2 →− + + Bài 9. Tìm các giới hạn sau: a. 3 x 0 1 1 x lim 3x → − − b. x 2 x x 2 lim 4x 1 3 → − + + − c. 3 2 x 1 x 1 lim x 3 2 →− + + − d. 3 x 1 x 7 2 lim x 1 → + − − e. 3 x 0 1 x 1 x lim x → + − − f. x 0 x 1 x 4 3 lim x → + + + − g. x 0 x 9 x 16 7 lim x → + + + − h. 3 2 3 2 x 1 x 2 x 1 lim (x 1) → − + − Bài 10. Tìm các giới hạn sau a. 2 x lim ( x 2x x) →+∞ + − b. 2 x lim (2x 1 4x 4x 3) →+∞ − − − − c. 2 2 x lim ( x x 1 x x 1) →+∞ − + − + + d. 3 3 x lim ( 8x x 2x) →+∞ + − e. 3 2 3 x lim x .( x 1 x) →+∞ + − f. 3 3 3 2 3 x lim ( x 5x x 8x) →+∞ + − + Bài 11. Tìm các giới hạn sau a. 3 x 1 1 3 lim( ) 1 x 1 x → − − − b. x 1 1 2 lim[ (1 )] x 1 x 1 → − − + c. 2 2 x 1 1 1 lim( ) x 3x 2 x 5x 6 → − − + − + HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x o . a. f(x) = 2 x 25 khi x 5 x 5 9 khi x 5  −  ≠  −  =  tại x o = 5 b. x 5 khi x 5 2x 1 3 f (x) 3 khi x 5 2 −  >   − − =   ≤   tại x o = 5 c. 1 2x 3 khi x 2 f (x) 2 x 1 khi x 2  − − ≠  =  −  =  tại x o = 2 d. 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 f (x) 3 khi x 2 4  + − ≠   − =   =   tại x o = 2 e. 4 2 x x 1 khi x 1 f (x) 3x 2 khi x 1  + − ≤ −  =  + > −   tại x o = –1 f. 2 x khi x 0 f (x) 1 x khi x 0  <  =  − ≥   tại x o = 0. Bài 2. Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R a. 2 x 2x 3 khi x 1 f (x) x 1 4 khi x 1  + −  ≠ =  −  =  b. 3 3 x x 2 khi x 1 x 1 f (x) 4 khi x 1 3  + + ≠ −   + =   = −   Bài 3. Tìm a để hàm số liên tục trên R 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh [...]... khi x ≥ 0  Bài 4 Cho hàm số f(x) =  4x − 1 khi x < 0  Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định Bài 5 Tìm a để hàm số liên tục tại xo  1− x − 1+ x khi x < 1   x −1 b f (x) =  tại xo = 1 a + 4 − x khi ≥ 1  x+2  Bài 6 Chứng minh rằng phương trình x³ + 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1) Bài 7 Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt Bài 8 Chứng... Đi qua điểm A(0; 2) cos x Bài 6 Cho hàm số y = f (x) = (1) Tính giá trị của f ′(π/6), f ′(π/3) cos 2x Bài 7 Tìm m để f ′(x) > 0 với mọi x thuộc R a f(x) = x³ + (m – 1)x² + 2x + 1 b f(x) = 3sin x – 3m sin 2x – sin 3x + 6mx Bài 8 Chứng minh rằng f ′(x) > 0 với mọi x thuộc R a f(x) = 2x + sin x b f(x) = (2/3)x9 – x6 + 2x³ – 3x² + 6x – 1 PHẦN II HÌNH HỌC BÀI TẬP PHÉP BIẾN HÌNH r Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy,... nghiệm phân biệt, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ÔN ĐẠO HÀM Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a y = x³ (x² – 4) b y = x 6 − 2 x + 2 c y = ( x + 1)(2x 2 + 1) 1 x 2 − 3x + 2 d y = e y = 2 f y = (3 – 2x²)³ x − 2x 2x − 3 Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1+ x x − 3x 2 a y = x 4 − 3x 2 + 4 b y = c y = 1− x x2 Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số sau: sin x a y = sin (x³ – x)... ĐỀ 5: Tính giới hạn hàm số lượng giác Bài 1 Tính các giới hạn sau: 1 − cos x sin 3x tan 2x ) ) a lim ( b lim c lim ( 2 x →0 x →0 sin 2x x →0 sin 5x x Bài 2 Tính các giới hạn sau: 1 − sin x 1 − sin x − cos x π ) a lim ( b lim c lim ( − x) tan x 2 xπ/2 (π / 2 − x) → x →0 1 + sin x − cos x xπ/2 → 2 sin(xπ / 6) − d lim xπ/6 → 3 / 2 − cos x VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Bài 1 Giải phương trình f ′(x) = 0 với... hình chóp Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I; M; N là ba điểm trên SA; AB; CD a Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) b Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 Cho tứ diện ABCD; I là điểm nằm ngoài đoạn BD Mặt phẳng (P) qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q a Chứng minh I; M; Q thẳng hàng và ba điểm I; N; P cũng thẳng hàng b Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui Bài 2 Cho hình... Tìm tọa độ điểm M’ Bài 2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(4; 5) Tìm điểm B sao cho A là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến r theo v = (2; 1) Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy Cho điểm M(2; 3) Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M thành M’ Tìm tọa độ điểm M’ Bài 4 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d có phương trình: x + y – 5 = 0 Tìm ảnh của đường thẳng d qua r phép tịnh tiến vectơ v = (1; 1) Bài 5 Trong mặt phẳng... trình d’ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vấn đề 1: Tìm giao TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) ta đi tìm hai điểm chung A; B của (P) và (Q) Khi đó (P) ∩ (Q) = AB 70/5Bui Dinh Tuy,p12,qBinh Thanh TRUNG TAM GIA SU DUC TRI Bài 1 Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC); (ABD); (BCD); (ACD) Bài 2 Cho... tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S Bài 9 Cho tứ diện ABCD; trên AB; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho: AM / MB ≠ AN / NC Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD) Bài 10 Trong mặt phẳng (P) cho hình thang ABCD có đáy là AB; CD; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến của: a (SAD) và (SBC) b (SAC) và (SBD) Bài 11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là... là trung điểm NP Tìm giao điểm của MQ với (BCD) Bài 2 Cho A; B; C; D là bốn điểm không đồng phẳng M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD Tìm giao điểm của a CD với (MNP) b AD với (MNP) Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có O là điểm trong ΔABC; D và E là các điểm năm trên SB; SC Tìm giao điểm của a DE với (SAO) b SO với (ADE) Bài 4 Cho tứ diện SABC I; H lần lượt là trung điểm... , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n B2 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng Bài 1 Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cos x a Tính f′(x), f′′(x) b Tính f′′(π/2), f′′(0), f′′(π) Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp ba a y = cos x b y = 5x4 – 2x³ + 3x² – 6 c y = xsin x x −3 1 d y = e y = tan x f y = x+4 1− x Bài 3 Cho n là số nguyên dương Chứng minh các công thức đạo hàm cấp . TRI Bài 26. Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Có bao nhiêu cách chọn. Bài. biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω. Biến cố là một tập. DUC TRI b. lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3ⁿ) Bài 8. Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số a. 1 ,111 b. 2,333 c. 0,222 d. 0,2121… e. 0,2 3111 GIỚI HẠN HÀM SỐ A. Lý thuyết: + o x x lim