MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai trò quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển của khoa học, kinh tế và kỹ thuật, v.v Chính sự thâm nhập ngày càng sâu rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó. Đặc biệt, khi loài người bước sang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của nền kinh tế tri thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ trong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách là nguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế. Do vậy, trong nền kinh tế hiện đại luôn luôn xuất hiện các yếu tố phi tuyến, có nghĩa là những mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụng các công cụ suy luận phân tích và tính toán định lượng của toán học truyền thống. Ở đây, để toán học phát huy được sức mạnh của mình trong việc giải quyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết trong quá trình xây dựng các mô hình, toán học phải có sự kết hợp với các phương pháp khoa học khác (chẳng hạn như phương pháp tin học). Nếu thực hiện được sự kết hợp đó, thì những khó khăn nảy sinh do sự xuất hiện các yếu tố phi tuyến sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mô hình hóa và mô phỏng bằng đồ họa máy tính. Điều đó có nghĩa là năng lực nhận thức của con người được phát triển nhờ vào sự trực cảm và sự suy luận định tính. Thực trạng trên đã chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn trong nhận thức khoa học. Nhưng lý do nào đã làm cho toán học có được sức mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt là ở chỗ, đối tượng của toán học có những nét đặc thù rất khác biệt so với các đối tượng của các khoa học 1 khác. Chính vì vậy, hơn lúc nào hết, chúng ta phải phân tích được một cách đúng đắn, nghiêm túc và rõ ràng bản chất của đối tượng toán học từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng. Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã hội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản thân đối tượng của toán học còng không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội. Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học là các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và mọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo hiện thực khách quan đó. Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển của toán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệ thống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường phái triết học khác nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn ra không Ýt các cuộc tranh luận về bản chất của đối tượng toán học cũng như vai trò của toán học trong quá trình nhận thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong luận án luôn luôn là một vấn đề mang tính thời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung. Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân tích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự phát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm 2 đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thực tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của toán học thông qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với nhận xét của Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr. 179]. Chính vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài "Vấn đề nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học" làm đề tài cho luận án của mình. 2. Tình hình nghiên cứu đề tài Xung quanh vấn đề triết học trong toán học (trong đó có vấn đề nhận thức luận) ở Việt Nam và nước ngoài đã có nhiều công trình đề cập tới và nghiên cứu trên nhiều góc độ khác nhau. Các công trình đó bao gồm các tác phẩm kinh điển của chủ nghĩa Mác - Lênin, các sách tham khảo, các bài viết trong các tạp chí khoa học và các kỷ yếu khoa học trong và ngoài nước. Trong số các tác phẩm kinh điển có các tác phẩm chính như: "Các bản thảo toán học" của C. Mác; "Biện chứng của tự nhiên", "Chống Đuy- rinh" của Ph.Ăngghen; "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán", "Bót ký triết học" của V.I. Lênin. Trong số các tác phẩm nghiên cứu có các cuốn: "Một số vấn đề triết học về cơ sở của toán học" của V.N. Mơlôtsi; "Sự phát triển của nhận thức và toán học" của A. Nưsanbaev và G. Shliakhin (tiếng Nga); "Về bản chất của tri thức toán học" của G.I. Ruzavin (tiếng Nga); "Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học" (hai tập) của Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn; "Kỷ yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất" của Hội Toán học Việt Nam - Bộ Công nghiệp (2000), v.v Chóng ta có thể khái quát những tư tưởng chính của các công trình đó ở các khía cạnh sau đây: Thứ nhất, các công trình đó đã tập trung vào phân tích khả năng ứng dụng to lớn của toán học trong các ngành khoa học khác nhau. 3 Thứ hai, các công trình đó đã đề cập đến vấn đề mối quan hệ của toán học với thế giới hiện thực. Thứ ba, vai trò nhận thức của toán học được đề cập đến thông qua việc khẳng định toán học như một công cụ của các khoa học cụ thể khác trong việc khám phá ra những tri thức mới. Thứ tư, ý nghĩa của toán học đối với sự phát triển của các khoa học khác, của kỹ thuật và kinh tế - xã hội v.v Thứ năm, toán học với tư cách là ngôn ngữ của khoa học. Tác giả của luận án kế thừa những thành quả nghiên cứu của các tác giả đi trước, đi sâu vào phân tích nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, khai thác ý nghĩa triết học của các tri thức toán học, chủ yếu là vấn đề nhận thức luận. 3. Mục đích và nhiệm vụ của luận án Mục đích của luận án là làm sáng tỏ nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học từ lập trường duy vật biện chứng, đồng thời chỉ ra vai trò của toán học trong nhận thức khoa học, những yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển của đối tượng toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của toán học. Để thực hiện mục đích trên, luận án tập trung giải quyết những nhiệm vụ sau đây: Phân tích và làm rõ bản chất đối tượng của toán học, chỉ ra được mối quan hệ chặt chẽ giữa toán học với thế giới hiện thực cũng như giữa toán học với các khoa học khác theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng. Phân tích vai trò của tri thức toán học đối với nhận thức khoa học thông qua các quan điểm khác nhau trong lịch sử triết học cũng như thực tế vận dụng của toán học trong các khoa học cụ thể. Phân tích những ảnh hưởng của hoàn cảnh thực tiễn xã hội, khả năng phát triển nội tại cũng như các lĩnh vực hoạt động khoa học khác với 4 tư cách là động lực của sự phát triển toán học. Từ đó xác định được con đường biện chứng của sự phát triển các tri thức toán học. 4. Cơ sở lý luận, thực tiễn và phương pháp nghiên cứu của luận án - Luận án dùa trên cơ sở lý luận chủ nghĩa duy vật biện chứng về vị trí và vai trò của các khoa học đối với quá trình phát triển của xã hội. - Luận án được trình bày dùa trên thực tiễn hoạt động của các nhà toán học qua các thời đại lịch sử khác nhau, dùa vào các tác phẩm kinh điển, sách báo, tạp chí, những công trình khoa học trong nước và ngoài nước. - Luận án vận dụng phương pháp luận chung là phương pháp duy vật biện chứng và các phương pháp khác như mô tả, phân tích, tổng hợp, lôgíc và lịch sử, so sánh v.v 5. Những đóng góp mới về mặt khoa học của luận án Trước hết, chúng tôi phải khẳng định rằng, cái mới của luận án ở đây không phải là một phát minh khoa học độc đáo hoặc một vấn đề hoàn toàn mới mẻ chưa hề được đề cập đến. Cái mới mà luận án đạt được là ở chỗ, xuất phát từ lập trường duy vật biện chứng tác giả đã phân tích một cách có hệ thống và cô đọng những vấn đề về nguồn gốc, bản chất và quá trình phát triển của đối tượng toán học. Từ đó, tác giả làm rõ tính độc lập tương đối của nhận thức toán học trong quá trình nhận thức nói chung. Tính độc lập tương đối của nhận thức toán học được thể hiện ở chỗ, toán học là một khoa học có tính trừu tượng rất cao nhưng nó lại thể hiện sự phản ánh tích cực, sáng tạo của con người về thế giới khách quan; ở lôgic phát triển nội tại của mình, đặc biệt là ở nét đặc thù trong việc kiểm nghiệm tính chân lý của toán học. Tất cả các điều nói trên được luận án làm sáng tỏ đã khẳng định giá trị nhận thức của toán học thông qua sự phân tích đối tượng của nó, đặc 5 biệt là trong điều kiện phát triển mạnh mẽ và phức tạp của khoa học hiện đại. 6. Ý nghĩa của luận án - Những kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm sáng tỏ quan điểm khoa học của chủ nghĩa duy vật biện chứng về sự khẳng định toán học là một bộ môn khoa học rất hiện thực. Từ đó làm rõ vai trò của toán học trong nhận thức khoa học và tính quy luật trong sù phát triển của đối tượng toán học. Luận án có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu, giảng dạy và học tập các bộ môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt là triết học trong khoa học tự nhiên ở các trường đại học, cao đẳng. Luận án có thể dùng làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên, nhất là đối với những giáo viên giảng dạy và nghiên cứu toán học. 7. Kết cấu của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận án bao gồm 3 chương, 7 tiết. 6 Chương 1 QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA TOÁN HỌC vÒ ®èi tîng cña to¸n häc 1.1. ĐỐI TƯỢNG HIỆN THỰC VÀ ĐỐI TƯỢNG TRỰC TIẾP CỦA TOÁN HỌC XÉT TỪ QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG 1.1.1. Khái lược về lịch sử hình thành và phát triển của đối tượng toán học Toán học là một trong những khoa học được hình thành rất sớm. Từ thời cổ đại đến nay, toán học đã trải qua nhiều thời kỳ phát triển khác nhau. Mỗi thời kỳ đó được đánh dấu bởi mức độ phát triển của đối tượng toán học nói riêng và khoa học nói chung. Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tượng của toán học là các hình thức không gian và các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực. Quan điểm trên chỉ được luận chứng trên cơ sở xem xét một cách cô đọng và có hệ thống các thời kỳ phát triển khác nhau của lịch sử toán học. Ở thời kỳ đầu, còn gọi là giai đoạn toán học kinh nghiệm, bắt đầu từ thời cổ đại đến thế kỷ thứ VII - VI (Trước công nguyên), các hiểu biết toán học gắn liền với các yêu cầu của cuộc sống kinh tế. Có thể nói rằng, ở ngay thời kỳ đầu của sự phát triển xã hội, khi con người còn sống thành bầy đàn, nhờ vào hái lượm, săn bắn để sinh tồn, thì đời sống vật chất cũng đã đòi hỏi những sự cân đối, đồng bộ trong việc phân công, sử dụng công cụ lao động và phân chia sản phẩm. Phép đếm đã nảy sinh từ nhu cầu cần thiết là xác định số lượng động vật trong một bầy và số lượng sản phẩm thu hoạch mùa màng. Khi con người đã biết sản xuất thì nhu cầu về sự cân đối, đồng bộ ngày càng tăng, chỉ có đếm chưa đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh và 7 sắp xếp thứ tự. Lúc đầu, nhu cầu chính xác còn thấp, số lượng việc đong, đo, ước lượng chưa nhiều, người ta có thể đong đo trực tiếp hoặc ước lượng bằng kinh nghiệm, chẳng hạn như dùng nước hay cát để đong mà so sánh các thể tích. Chính sự đo lường các đại lượng là nguyên nhân xuất hiện các phân số. Đồng thời các nhu cầu đơn giản nhất về đo diện tích các khu đất, đo thể tích các vật thể khác nhau, đo các chi tiết kiến trúc, đã mang lại sự tích lũy tài liệu thực tế to lớn về hình học. Có thể nói rằng, lượng tài liệu khổng lồ về hình học đã được tích lũy ở thời Ai Cập cổ đại. Lịch sử còn ghi lại việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sông Nin khiến cho lưu vực sông Nin là cái nôi sinh ra môn hình học. Những tài liệu toán học ở Babylon cổ đại chủ yếu là chỉ ra các phương pháp khác nhau để giải các bài toán số học, trong đó có cả các phương pháp không liên quan trực tiếp đến nhu cầu kinh tế. Do đó, chúng ta có đầy đủ cơ sở để khẳng định rằng, một phần công việc hệ thống hóa và tinh chế lý thuyết các tư liệu thực tế về số học và hình học đã bắt đầu được thực hiện ngay trong toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt là toán học Babylon và Ai Cập. Nói tóm lại, đây là thời kỳ hình thành những khái niệm đầu tiên của toán học. Các tri thức toán học của thời kỳ này gắn liền với những nhu cầu của đời sống kinh tế. Các khái niệm như số và hình xuất phát trực tiếp từ những khách thể hiện thực, tức là từ những sự vật cụ thể, cảm tính. Toán học chưa được xem là một khoa học lý thuyết trừu tượng, vì thế thời kỳ này được coi là thời kỳ phôi thai và ra đời của toán học, hay nói chính xác hơn, đây là thời kỳ hình thành toán học như là một khoa học. Đối tượng của toán học thời kỳ này gắn liền với các khách thể cụ thể. Thời kỳ thứ hai trong sự phát triển của toán học bắt đầu từ những người cổ Hy Lạp và kéo dài liên tục cho đến đầu thế kỷ XVII. Thời kỳ này được gọi là thời kỳ phát triển toán học về các đại lượng không đổi. Vào thời kỳ này sức sản xuất đã phát triển mạnh mẽ, sản phẩm dư thừa tăng lên, vì 8 vậy nhu cầu về trao đổi, lưu thông hàng hóa trở nên cấp thiết. Đồng thời, phương pháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp không còn thích hợp nữa. Trước thực trạng đó, con người bắt đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng trong cùng một vấn đề và từ đó rót ra kết luận là trong việc cân, đong, đo, đếm, ta chỉ cần thực hiện một số công đoạn nhất định rồi dùng lập luận mà suy ra các kết quả khác. Chẳng hạn, trong lĩnh vực hình học xuất hiện lý luận về so sánh các hình dùa trên sự so sánh một số đoạn thẳng hay góc nào đó (ví dụ như trường hợp bằng nhau hay đồng dạng của các tam giác). Trong đại số xuất hiện các công thức, các phương trình để tìm các số chưa biết theo các số đã biết. Nhưng chính những sự phát triển đó trong toán học lại là nguyên nhân xuất hiện những mâu thuẫn mới, chẳng hạn, như sự bế tắc trong việc tính chính xác độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh là đơn vị, sự bất lực trong việc tìm nghiệm của phương trình x + 1 = 0, v.v Mặt khác, kinh nghiệm của cuộc sống cũng cho thấy, có những đại lượng có thể tính theo hai chiều như đường đi thì có ngược xuôi, chiều cao thì có trên dưới, tiền nong thì có lỗ, lãi, v.v Những mâu thuẫn nói trên đòi hỏi phải bổ sung thêm vào các số tự nhiên và phân số những loại số mới như: số âm, số vô tỷ. Chính khái niệm số thực cũng từ đó mà sinh ra. Thực tế cuộc sống đã thúc đẩy việc nghiên cứu các số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến các vấn đề như số nguyên tố, ước số, bội số, các phương trình với nghiệm số nguyên v.v Có thể nói rằng, từ một loạt các phương pháp khác nhau để giải các bài toán thực tế, các nhà toán học thời kỳ đó đã xây dựng số học thành một khoa học về các số và các phép tính trên các số đó. Hình học cũng đạt được trình độ cao của sự hoàn thiện về mặt logic. Điều đó được thể hiện rõ nhất ở việc lần đầu tiên người ta đã xây dựng nó bằng phương pháp tiên đề. Trong số các tác phẩm lý luận về toán học, tiêu biểu nhất là tác phẩm "Cơ sở" của 9 nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít. Tác phẩm này xuất hiện vào thế kỷ thứ ba trước công nguyên, những nguyên lý nổi tiếng trong đó là nguồn cung cấp tri thức toán học cho các thế hệ sau đó trong suốt một thời gian dài. Đồng thời, nó cũng là một tác phẩm mẫu mực về cách lập luận toán học một cách sáng sủa. Tóm lại, ở giai đoạn này, toán học từ trình độ kinh nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận. Tuy vậy, lý luận này mới chỉ dừng ở chỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật được thể hiện trong các định lý, các công thức, trong những sự vật và hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ. Do sự kìm hãm của chế độ phong kiến, cơ học và vật lý chưa phát triển được, vì thế vận động lúc đó chưa thể đi vào toán học được, chính vì thế mà từ tác phẩm "Cơ sở" của Ơclít trở đi đến hết thế kỷ XVI, toán học không tiến xa hơn được bao nhiêu, chỉ đến thế kỷ XVII toán học mới bắt đầu vượt xa hơn thời kỳ cổ đại. Giai đoạn thứ ba trong sự phát triển của toán học được bắt đầu từ thế kỷ thứ XVII. Thời kỳ Phục hưng ở châu Âu đã giải phóng cho xã hội loài người thoát khỏi những sự kìm hãm của chế độ phong kiến, mở đường cho khoa học và công nghệ phát triển. Nhu cầu nghiên cứu các dạng vận động cơ học và vật lý đã thúc đẩy toán học bước sang mét giai đoạn mới. Những vấn đề như vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào đó là phương pháp tọa độ của Đêcactơ đã làm nảy sinh và phát triển mạnh mẽ các phép tính vi phân, tích phân. Có thể nói rằng, vào thời kỳ này sự vận động đã thực sự đi vào toán học. Trọng tâm của toán học hướng vào việc nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số theo các biến số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên hàm và tích phân. Phương pháp tọa độ đã cho phép biểu diễn các hàm số bằng đồ thị, chính điều đó làm nảy sinh ra hình học giải tích rồi hình học vi phân. Những khái niệm như đạo hàm, tích phân được liên hệ chặt chẽ với các khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích, v.v Những bài toán cơ học, vật lý làm nảy sinh vấn đề tìm các hàm số chưa biết căn cứ 10 [...]... quyết vấn đề đối tượng của toán học, Ăngghen đã chú ý đến tính hai mặt của nó Theo ông, toán học là một khoa học trừu tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối tượng Êy suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan Các trừu tượng toán học như số, điểm, đường, các nhóm, các cấu trúc v.v chính là đối tượng trực tiếp của toán học Đồng thời, Ăngghen cũng nhấn mạnh rằng, sự nghiên... tăng của các tri thức toán học Nhận thức toán học quan hệ không phải với các đối tượng trừu tượng, mà là với các hình thức không gian và quan hệ số lượng của thực tại Nếu chúng ta chỉ thao tác một cách độc lập các đối tượng toán học trừu tượng, mà không liên hệ gì với hiện thực khách quan thì không thể đi tới những kết quả mới Bản thân các đối tượng toán học trừu tượng chỉ là sản phẩm "tĩnh tại" của nhận. .. khoa học như vật lý học, hóa học, sinh vật học v.v khác với toán học ở chỗ, đối tượng trực tiếp của chúng là những khách thể vật chất cụ thể trong thế giới khách quan Chính vì vậy, việc xem xét các đối tượng của chúng dễ hơn rất nhiều so với đối tượng trừu tượng của toán học 26 Xuất phát từ quan niệm về tính thứ nhất của tư tưởng, triết học duy tâm đã khẳng định rằng, đối tượng trực tiếp của toán học. .. trong toán học như là những đối tượng lý tưởng - đó là hàm số, v.v Trong lịch sử toán học, vấn đề tồn tại của đối tượng toán học luôn luôn được nhiều trường phái triết học quan tâm đến, chẳng hạn, các số 1, các không gian n chiều và vô số chiều tồn tại theo nghĩa nào, v.v Từ quan điểm mácxít về đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học, lẽ đương nhiên, chúng ta không thể quy đối tượng toán. .. các đối tượng trừu tượng không phải là mục đích tự thân của toán học, mà chung quy lại toán học có nhiệm vụ của mình là phản ánh hiện thực Từ đó, đối tượng trực tiếp của toán học có mối liên hệ chặt chẽ với sự nghiên cứu những hình thể xác định của các mặt của thế giới hiện thực, đó là: Tự nhiên, xã hội và nhận thức của con người Tất cả những cái đó có thể xem như là đối tượng gián tiếp của toán học. .. quan hệ của các khái niệm toán học với hiện thực, đồng thời phân biệt được sự trừu tượng hóa trong toán học với sự trừu tượng hóa trong các khoa học khác Từ việc xem xét quá trình lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy rằng, các phương pháp trừu tượng hóa phổ biến nhất trong toán học là sự trừu tượng đồng nhất hóa, sự trừu tượng phân tích hoặc cô lập và các sự trừu tượng khác nhau về khả... Như vậy, sự tồn tại của các đối tượng trực tiếp toán học luôn luôn gắn liền với sự phản ánh các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực Quan điểm cho rằng toán học chỉ quan hệ với thực tại thông qua các đối tượng trừu tượng của bản thân toán học sẽ đóng khung các nhà khoa học trong khuôn khổ của các mảnh thực tại đã được lý tưởng hóa và không 23 thể giải thích được sự kiện... lại, đối tượng trực tiếp của toán học chính là các hệ thống các trừu tượng toán học, nó được hiểu là tập hợp các đối tượng trừu tượng cùng với các quan hệ tồn tại giữa chúng Những đối tượng nói trên được lý 19 tưởng hóa, có nghĩa là chúng là những đối tượng lý tưởng không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà toán học thiết lập chúng để phản ánh thế giới hiện thực Đối tượng trực tiếp của toán học rất... trừu tượng và phiến diện của toán học Từ việc xem xét toán học như là khoa học về các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực đã cho chóng ta khả năng hiểu một cách đúng đắn nội dung khách quan của đối tượng toán học, cũng như khả năng nắm được xu hướng chung của sự phát triển toán học Để làm sáng tỏ thực chất của vấn đề, trước hết chúng ta cần phải hiểu một cách khoa học. .. Đối tượng của toán học thuần túy là những hình không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực Như vậy, đặc thù của toán học với tư cách là một khoa học riêng biệt là ở chỗ, toán học tách riêng một cách đặc biệt 24 các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian vốn có trong tất cả các đối tượng và các hiện tượng, đồng thời biến chúng thành đối tượng nghiên cứu của mình Như vậy, toán học . chọn đề tài " ;Vấn đề nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học& quot; làm đề tài cho luận án của mình. 2. Tình hình nghiên cứu đề tài Xung quanh vấn đề triết học trong toán học. nghiên cứu của các tác giả đi trước, đi sâu vào phân tích nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, khai thác ý nghĩa triết học của các tri thức toán học, chủ yếu là vấn đề nhận thức luận. 3 tượng toán học. Từ đó, tác giả làm rõ tính độc lập tương đối của nhận thức toán học trong quá trình nhận thức nói chung. Tính độc lập tương đối của nhận thức toán học được thể hiện ở chỗ, toán