Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập tổng và hiệu của hai vecto được chia thành 4 dạng từ cơ bản đến nâng cao bám sát chương trình Sách giáo khao cơ bản và nâng cao.Dạng 1: Tính tổng của hai vectoDạng 2: Tìm vecto đối, hiệu của hai vectoDạng 3: Chứng minh một đẳng thức vectoDạng 4: Tính độ dài tổng và hiệu của hai vecto
1 Tổng và hiệu của hai vecto I/ Tính tổng của các vecto 1. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a)Tìm tổng của hai vecto −→ NC và −→ MC; −→ AM và −→ CD; −→ AD và −→ NC. b)Chứng minh rằng −→ AM + −→ AN = −→ AB + −→ AD 2. Cho hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O. Hãy tính tổng −→ OA + −→ OB + −→ OC + −→ OD 3. Cho năm điểm A, B, C, D và E. Hãy tính tổng −→ AB + −→ BC + −→ CD + −→ DE. 4. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tính tổng: −→ OA + −→ OB + −→ OC + −→ OD + −→ OE + −→ OF. II/ Tìm vecto đối, hiệu của hai vecto. 1. Chứng minh rằng −( −→ a + −→ b ) = − −→ a − −→ b . 2. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi −→ IA = − −→ IB. 3. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao choAE = EF = FC, gọi BE giao AM tại điểm N. Chứng minh rằng −→ NA và −−→ NM là hai vecto đối nhau. 4. Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a)Tìm hiệu −→ AM − −→ AN, −−→ MN − −→ NC, −−→ MN − −→ PN, −→ BP − −→ CP. b)Phân tích −→ AM theo hai vecto −−→ MN và −→ MP. III/ Chứng minh đẳng thức vecto. 1. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng −→ AD + −→ BE + −→ CF = −→ AE + −→ BF + −→ CD. 2. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng : a) −→ AC + −→ DE − −→ DC − −→ CE + −→ CB = −→ AB. b) −→ AB + −→ BC + −→ CD = −→ AE − −→ DE. 3. Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng với O bất kì ta có: −→ OA + −→ OB + −→ OC = −−→ OM + −→ ON + −→ OP 4. Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng của C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: −→ OA + −→ OB + −→ OC = −→ OA + −−→ OB + −−→ OC . 5. Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: a) −→ CO − −→ OB = −→ BA. d) −→ DA − −→ DB + −→ DC = −→ 0 . b) −→ AB − −→ BC = −→ DB. f) −→ MA + −→ MC = −→ MB + −−→ MD. c) −→ DA − −→ DB = −→ OD − −→ OC. 6. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) −→ AD + −→ MB + −→ NA = −→ 0 . b) −→ CD − −→ CA + −→ CB = −→ 0 7. Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác dựng các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: −→ RJ + −→ IQ + −→ PS = −→ 0 . 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành ABCD. Các đường thẳng này cắt AB và CD tại M và N, cắt AD và BC tại E và F. Chứng minh rằng: 2 a) −→ OA + −→ OC = −→ OB + −→ OD. b) −→ BD = −−→ ME + −→ FN. 9. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. a)Chứng minh rằng: i) −→ AC + −→ BD = −→ AD + −→ BD ii) −→ AB + −→ CD = −→ AD + −→ CB iii) −→ AB − −→ CD = −→ AC − −→ BD b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD và O là trung điểm EF. Chứng minh rằng: i) −→ OA + −→ OB + −→ OC + −→ OD = −→ 0 ii) −→ MA + −→ MB + −→ MC + −−→ MD = 4 −−→ MD 10. Cho ta giác ABC nội tiếp trong đường tròn O, trực tâm H, vẽ đường kính AD. a)Chứng minh rằng −→ HB + −→ H C = −→ HD b)Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O chứng minh rằng −→ HA + −→ HB + −→ H C = −−→ HH 11. Cho tam giác OAB. Giả sử −→ OA + −→ OB = −−→ OM, −→ OA − −→ OB = −→ ON. Khi nào thì M nằm trên đường phân giác trong của góc OAB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB? 12. Cho tam giác ABC. a) Nếu G là trọng tâm ta giác ABC thì −→ GA + −→ GB + −→ GC = −→ 0 . b)Nếu −→ IA + −→ IB + −→ IC = −→ 0 thì I là trọng tâm tam giác ABC. 13. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC=OD và −→ OA + −→ OB + −→ OC + −→ OD = −→ 0 . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật. 14. Cho tam giác ABC biết rằng tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC và −→ OA + −→ OB + −→ OC = −→ 0 . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 15. Cho tam giác ABC có | −→ CA + −→ CB| = | −→ CA − −→ CB|. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. IV/Tính độ dài của tổng và hiệu các vecto. 1. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a, AC=2a. Tính | −→ AB + −→ AC|; | −→ AB − −→ AC|. 2. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính | −→ AB + −→ BC|; | −→ CA − −→ CB|. 3. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB=a và B = 60 0 . Tính | −→ AB + −→ BC|; | −→ AB − −→ AC|. 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính | −→ AB + −→ AC|; | −→ AB − −→ AC|; | −→ AB + −→ BH|. 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a.Tính | −→ BC + −→ AB|; | −→ AB − −→ AC|. 6. Cho hình thoi ABCD tâm O có cạnh a, BAD = 60 0 .Tính | −→ AB + −→ AD|; | −→ BA − −→ BC|; | −→ OB − −→ DC|. 7. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a.Tính | −→ OA − −→ CB|; | −→ AB + −→ CD|; | −→ CD − −→ DA|. 8. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O cạnh là a, b. Chứng minh rằng: a) Với mọi điểm M ta có −→ MA + −→ MC| = −→ MB + −−→ MD. b)| −→ AB + −→ AD| = | −→ AB − −→ AD|. |