Tiết 22. Hàm số liên tục 1 2 Mục tiêu Hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm , liên tục một phía, liên tục một khoảng, một đoạn, hàm số gián đoạn. Biết vận dụng các kiến thức đã học để làm bài toán về xét tính liên tục của hàm số. 1 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO 4 Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 2 (Giải tích toán học), NXB GD Việt Nam, 2009 1 2 3 5 Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, tập 2( Phép tính giải tích một biến số), NXB GD, 2005 Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 2 NXB GD, 2004 Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 2 , NXB Thống Kê 2007 Nguyễn Xuân Liêm ,Giải tích tập I, NXB GD ,2010 Tiết 22: Hàm số liên tục Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.Hàm số liên tục 4.4.1 Liên tục tại một điểm. Giả sử hàm số f(x) xác định tại và trong lân cận của . 0 x 0 x Hàm số f(x) gọi là liên tục tại nếu 0 x 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = Khi đó điểm gọi là điểm liên tục của hàm số f(x). 0 x Nhận xét: Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm mà nó xác định Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.Hàm số liên tục 4.4.2 Liên tục một phía. Liên tục phải: Nếu thì f(x) gọi là liên tục phải tại . 0 lim ( ) ( ) o x x f x f x + → = 0 x Liên tục trái: 0 lim ( ) ( ) o x x f x f x − → = Nếu thì f(x) gọi là liên tục trái tại . 0 x Nhận xét : Hàm số f(x) liên tục tại khi và chỉ khi 0 x 0 lim ( ) lim ( ) ( ) o o x x x x f x f x f x + − → → = = Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sin khi x 0 ( ) 0 khi x=0 x x f x  ≠  =    Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.Hàm số liên tục 4.4.2 Liên tục một phía. Ví dụ 2: Xác định a để hàm số liên tục trên miền xác định của nó:    ≤+ < = x xf 0 khi2x a 0 xkhi 2e )( x 1) 2 1 cos3 khi x 0 ( ) a khi x 0 x f x x −  ≠  =   =  2) Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.Hàm số liên tục 4.4.3 Liên tục trên một khoảng, đoạn. Ký hiệu: ( , ) ( ) a b f x C ∈ Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trong (a, b) và liên tục trái tại a, liên tục phải tại b. Ký hiệu: ],[ )( ba Cxf ∈ f(b) 0 f(a) a b x y Ý nghĩa hình học Hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a, b) nếu f(x) liên tục tại mọi ( , )x a b ∈ Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.Hàm số liên tục 4.4.4. Các phép tính về hàm liên tục Định lý 1: Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục tại điểm thì 0 x [ ] ( ) ( ) ;f x g x ± [ ] ( ). ( ) ;f x g x ( ) ( ) f x g x       với 0 ( ) 0;g x ≠ cũng liên tục tại 0 x Định lý 2: (Sự liên tục của hàm số kép) Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại và hàm liên tục tại (với ) thì hàm liên tục tại . 0 x 0 x ( )z y ϕ = 0 y 0 0 ( )y f x = ( )z y ϕ = Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.Hàm số liên tục 4.4.5. Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn a) Tính chất 1: (Tính bị chặn) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) bị chặn trên [a, b]. Tức là: [ ] 0: , : ( )M x a b f x M ∃ > ∀ ∈ < b) Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [a, b]. Tức là: [ ] 1 2 1 2 [a,b] [a,b] , , : ( ) min ( ); ( ) ax ( )x x a b f x f x f x m f x ∃ ∈ = = c) Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục trên [a, b], f(a) ≠ f(b) và k là một số nằm giữa f(a) và f(b).Khi đó tồn tại ít nhất một số c thuộc (a, b) sao cho f(c)= k Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.Hàm số liên tục 4.4.5. Các tính chất của hàm liên tục trên một đoạn f(b) 0 f(a) a b x y c Ví dụ 3 : a) Cho hàm số 2 ( ) 5f x x x = − − + Chứng minh rằng : [ ] 1 ;2c ∃ ∈ sao cho ( ) 2f c = b) Cho phương trình 5 3 1 0x x − + = Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trên đoạn [ ] 0,1 Hệ quả: : Nếu và f(a).f(b) < 0 khi đó tồn tại 1 điểm sao cho f(c)=0. [ , ]. ( ) a b f x C ∈ ( , )c a b ∈ [...]... đoạn loại 1 của hàm số f(x) nếu tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn của hàm số f(x) tại x0 Các điểm gián đoạn của hàm số không phải là điểm gián đoạn loại 1 thì gọi là điểm gián đoạn loại 2 Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số 4.4 .Hàm số liên tục Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.6 Điểm gián đoạn của hàm số Ví dụ: Xét tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của hàm số:  sin x khi... ≤ 2 Chương IV: Phép tính vi phân hàm số một biến số Tiết 22: Hàm số liên tục Củng cố và dặn dò 1 Hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, liên tục một phía, liên tục một khoảng, một đoạn và định nghĩa điểm gián đoạn Biết xét tính liên tục của hàm số 2 Làm các bài tập từ 12 -16 ( trang 115- học liệu [6] tập 2) 3 Chuẩn bị phần kiến thức về đạo hàm và vi phân của hàm một biến ... phân hàm số một biến số 4.4 .Hàm số liên tục Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.6 Điểm gián đoạn của hàm số a) Điểm gián đoạn Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm x0 nếu f(x) không liên tục tại x0 Khi đó điểm x0 gọi là điểm gián đoạn của hàm số Ví dụ : 1 có điểm gián đoạn x = 0 1) f ( x) = x  2x2 − 2x khi x ≠ 1  2) Chứng minh f ( x) =  x − 1 gián đoạn tại x=1 5 khi x = 1  Chương IV: Phép tính vi phân hàm. .. hàm số một biến số 4.4 .Hàm số liên tục Tiết 22: Hàm số liên tục 4.4.6 Điểm gián đoạn của hàm số b) Các trường hợp gián đoạn Điểm x0 là điểm gián đoạn của f(x) nếu thuộc một trong các trường hợp sau: - Hàm số f(x) không xác định tại x0 - xlim− f ( x ) ≠ xlim+ f ( x ) → x0 → x0 - lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ≠ f ( x0 ) x → x0 x → x0 c) Phân loại điểm gián đoạn Giả sử điểm x0là điểm gián đoạn của hàm số