CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH PHẲNG Ví dụ (A – 2014): Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) và N(2; –1). Trước khi làm bất cứ một cách nào hay một phương hướng nào của giải tích phẳng, chúng ta phải tìm tất cả những gì có thể tìm được trong hình. Kéo dài MN cắt CD tại Q, ta dễ dàng thấy được:                                                             Sau khi tìm được điểm Q, ta có những con đường sau để viết được phương trình đường thẳng CD:  Tìm được 1 điểm nữa (C hoặc D) để viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm Q và C (hoặc D).  Tìm được vector pháp tuyến hoặc vector chỉ phương của đường thẳng CD. Để giải quyết được 1 trong 2 phương án trên, chúng ta có những cách sau: I. CÁCH 1: PHÁT HIỆN VÀ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC TRONG HÌNH. Vẽ chính xác “một hình vuông” ta sẽ phát hiện được tính chất đặc biệt là tam giác MND vuông cân tại N (Điều này có thể chứng minh bằng cách chỉ ra MKN = NHD). Khi đó ta có phương trình đường thẳng (DN) qua N và vuông góc với MN là (DN): x – 3y – 5 = 0. Gọi D(3t + 5; t) tham số trên đường thẳng DN sao cho DN 2 = MN 2  D(5; 0) hoặc D(–1; –2). Do đó (CD): y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta vẽ chính xác hình và phát hiện đƣợc một tính chất đặc biệt của hình vẽ. Khi đó ta sẽ chứng minh tính chất này và tận dụng vào việc giải bài toán. II. CÁCH 2: GÁN ĐỘ DÀI ĐỂ TIÊU DIỆT TỪNG ĐIỂM TRONG HÌNH VẼ. Mục đích của phương pháp này là một phép làm ngược, tức là:  Bước 1: Đặt độ dài cạnh hình vuông là a. Tính MN theo a, từ độ dài MN tính được ta chỉ ra giá trị của a.  Bước 2: Sau khi biết độ dài cạnh hình vuông, ta tính các độ dài AM và AN. Bƣớc 1: Ta có AM =   , AN =     . Do đó theo định lý hàm số cos, ta có: MN 2 = AM 2 + AN 2 – 2.AM.AN.cos45  MN =     . Vì M và N biết trước và MN =        = 10  a = 4. Bƣớc 2: Do đó AM = 2, AN = 3  . Vậy nếu gọi A(x; y) thì ta có tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:                                               Chú ý rằng         chính là vector chỉ phương của đường thẳng (CD). Do đó (CD): y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta thấy hình vẽ có thể đặt một độ dài của một cạnh nào đó là a, và ta tính đƣợc tất cả các cạnh theo giá trị a đó, đồng thời các dữ kiện về điểm và đường thẳng hay đường tròn do bài toán đưa ra đều gắn liền với tính chất của hình vẽ. Khi đó phương pháp này giải được 100% các bài toán hình có tính chất như trên. Tuy nhiên phương pháp này yêu cầu khả năng tính toán rất tốt. III. CÁCH 3: GỌI VECTOR PHÁP TUYẾN VÀ SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH. Ta thấy đường thẳng CD, các điểm M và N có mang một tính chất đặc biệt trong hình vuông ABCD. Vì vậy nếu như gọi đường thẳng CD ra, thì khoảng cách từ M và N đến đường thẳng này phải bằng một giá trị nào đó. Ta sẽ tận dụng điều này để giải bài toán. Gọi vector pháp tuyến của (CD) là (a; b) (a 2 + b 2  0). Ta có đường thẳng CD đi qua Q là: 3ax + 3by – 7a + 6b = 0. Đặt độ dài cạnh hình vuông là a, ta có AM =   , AN =     . Do đó theo định lý hàm số cos, ta có: MN 2 = AM 2 + AN 2 – 2.AM.AN.cos45  MN =     . Vì M và N biết trước và MN =        = 10  a = 4.                        Do đó 8a 2 + 6ab = 0  a = 0 hoặc 4a = –3b. Với a = 0, ta chọn b = 1, ta có đường thẳng (CD): 3y + 6 = 0 hay y + 2 = 0. Với 4a = –3b ta chọn a = 3, b = –4 ta được (CD): 9x – 12y – 45 = 0 hay 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta cần tìm trực tiếp luôn vector pháp tuyến của một đường thẳng đã đi qua sẵn 1 điểm. Khi đó ta sẽ dựa vào khoảng cách từ 1 điểm nào đó đến đường thẳng này để tìm ra vector pháp tuyến. Yêu cầu bắt buộc là phải tính được khoảng cách này trước. IV. CÁCH 4: GỌI VECTOR PHÁP TUYẾN VÀ SỬ DỤNG GÓC. Về cơ bản ta vẫn tiếp tục sử dụng cách gọi vector pháp tuyến của đường thẳng (CD) là (a; b) và chỉ ra phương trình đường thẳng (CD): 3ax + 3by – 7a + 6b = 0. Tuy nhiên khác với cách trước, ta sẽ tính góc tạo bởi đường thẳng CD (pháp tuyến (a; b)) và đường thẳng MN (pháp tuyến (3; 1)) (Chú ý góc giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 vector pháp tuyến). Đặt độ dài cạnh hình vuông là a, Ta có AM =   , AN =     . Do đó theo định lý hàm số cos, ta có: MN 2 = AM 2 + AN 2 – 2.AM.AN.cos45  MN =     . Mà MK =   vậy cos  = cos  =   =                                                                                                          Do đó 8a 2 + 6ab = 0  a = 0 hoặc 4a = –3b. Với a = 0, ta chọn b = 1, ta có đường thẳng (CD): 3y + 6 = 0 hay y + 2 = 0. Với 4a = –3b ta chọn a = 3, b = –4 ta được (CD): 9x – 12y – 45 = 0 hay 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta cần tìm trực tiếp luôn vector pháp tuyến của một đường thẳng đã đi qua sẵn 1 điểm. Khi đó ta sẽ dựa vào góc giữa đường thẳng này và một đường thẳng đã biết trước đó để tìm ra vector pháp tuyến. Yêu cầu bắt buộc là phải tính cosin của góc này trước. V. CÁCH 5: PHƢƠNG PHÁP SỐ ẨN BẰNG SỐ PHƢƠNG TRÌNH. Phương pháp này là ta gọi luôn ra điểm A(x; y) và không cần tính chất hình học nào, ta chỉ cần đưa ra được 2 phương trình (Vì ta đã gọi ra 2 ẩn) là sẽ tìm ra ngay điểm A. Mỗi phương trình là một đặc tính hình học, vì vậy:  Góc giữa AM và AN là 45 o nên phương trình số 1 là cos                = cos45 o (Dùng cos góc chính xác).  Nếu cạnh hình vuông là a, thì AM =   , AN =     , do đó 3.AM =  AN. Vậy phương trình số 2 là 9AM 2 = 2AN 2 . Do đó ta có hệ:                                                                            Chú ý rằng         chính là vector chỉ phương của đường thẳng (CD). Do đó (CD): y + 2 = 0 hoặc 3x – 4y – 15 = 0.  Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi ta gần như không có phương hướng giải bài, khi đó ta sẽ gọi ẩn cho các điểm. Chú ý rằng số phƣơng trình đƣa ra bằng số ẩn thì mới giải được. Riêng hệ thức vector thì mỗi hệ thức được tính là 2 phương trình. VI. CÁCH 6: PHƢƠNG PHÁP BẮN TỌA ĐỘ. Trở lại phương pháp sử dụng gọi vector pháp tuyến cho đường thẳng (CD) để có (CD): 3ax + 3by – 7a + 6b = 0. Vấn đề ở đây đặt ra là tình huống học sinh có khả năng giải hình “không tốt”, khi đó ta sẽ sử dụng hệ tọa độ để giải cả 4 cách đầu tiên một cách dễ dàng: Gắn hình vẽ vào hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ là D, đặt độ dài cạnh hình vuông là a, ta có tọa độ các đỉnh:                           CHÚNG TA QUAY TRỞ LẠI TỪNG CÁCH TRONG SỐ 4 CÁCH BAN ĐẦU VÀ GIẢI BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ: CÁCH 1: CẦN CHỨNG MINH TAM GIÁC MDN VUÔNG CÂN TẠI N:                                                                        CÁCH 2: CẦN TÍNH ĐỘ DÀI AM, AN ĐỂ TÌM RA A:                                          CÁCH 3: CẦN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ N ĐẾN CD:                                            CÁCH 4: CẦN TÍNH GÓC GIỮA MN VÀ CD.                                                                              Khi nào sử dụng phƣơng pháp này? Khi hình vẽ có thể đặt một độ dài của một cạnh nào đó là a, có thể gắn đƣợc toàn bộ hình vẽ lên hệ tọa độ. Ưu điểm của phương pháp này là có khả năng giải bài rất phong phú, chuyên chứng minh các tính chất hình học, chuyên thiết lập được các tỷ lệ độ dài giữa các cạnh, tính được một góc bất kỳ trong hình. Nhược điểm là phương pháp này dài gấp 2 lần phương pháp thường.