TẠP c m KHOA HỌC DẠI HỌC TỎNG HỢP HÁ NỘI. số 4. 1987 PHƯƠN G PH Á P GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG ĐƯƠNG TÔNG QUÁT DƯỚI DẠNG HỎI ĐẢP Đỏ F)ức GIẢO. VŨ NGỌC LOẴN' NGUYỀN nỉiNH THUYẾT I. Mộ hinh IS thuyéỉ dò thị qná trinh tinh toán vi cây tính toán. Ký hiệu N — tập các số lự nhiên ; 1» ( X) - tập lái cả rác tập con oủa tập N : X tập hữu hạn khác rỗng các phần tử nào đó; Y - tập các Documents. Một anh xụ 3 : X p (\) gọi là ốnh xạ kh ng đơn định lử tập X vào tập p (N). Nô i \ X X ma ị-i (X) huu hạn thì Ịỉ gọi là ánh xụ khỏng đơn định hữu hạn giá trị. Bặt Pp = max I ư li (x) 1 Tà B = Ị p/p: X — p (N)ị f xệ A t Y+ = Yu ị w Ị, w £ Y. Trín bộ [ B, Y+] ta đinh nghĩ a cây linh toán như sau : Định n g h ĩa : 1) M6i y £ Y+ gọi là một cây 2) Giả sử B và Tị TPjj là các cày kbi đó dãy ki hiệu p < I 1, Tpp > cflng là một cây. ! REE [ B, Y+ |. lặp lít cả cày định Iighĩrt nbir trên. bịnh nghĩa : Hàm ki t quô íỉech : 'I REE (B, Y+) X X — p (N). B 1) Hechf, (y, X) = I V j. V V Y+, Vx $ X. 12) Hechjj (3 < Tị I pj, , x) = w Rechg (Tịị , X). s € (3 (X) Dịnii nghĩa: Tị, Tị £ TREE (B, Y+) r, tưưng dưưutf vời r2 (kí hiệu T] Tj) (ỉn X. B Hecbn (Tlf X) = Re iijj (T2. liàt toán: Iỉẵy xây dựng thuật toán đề san một s6 hữu hạn bước làm việc tliuAttoán cho biết Tj, r 2 trong TREEE (B, Y+) có tương đuưng với nhíiu khổng? Trong bài báo này chúng !a giải quyít bài toán trên hằng phương pháp tiên đ? hóa. 2 I.ởrp các cây được thành lạp bâng câcb ghép nõl t i p cáe cây nhị ngurín. X. Y là các tập dirợccho như Irong phăn 1. Dặt A = I b/b ; X — Ị 0,1 ị ị ; 1 V - ị (bj, b„ bn) bj€ A.J * In, 11 > 1 ị. V X ệ X ti định nghĩa (hi, ba . bn (x) (b) (x), h2(x), b„ (x). Ta định nghĩa cây ghép trên bộ [ V. Y+ I nlni sau : Định nghĩa : 1) Mỗi y € Y+ gọi là một cAy. 2) Giii sử (bj bn) € V và Tj Tn là các cây. Khi đò (blf , bn) < T, T„ > cũng [à một cây. TREE (V, Y+) — tập tất cả các cây định nghĩa nhtr trên. Định nghĩa: Hàm kết quả Hechv : TREK (V, V‘)x X -♦ p (N) 1) Rcchy (y, x) «r Ị V j . V V € V •, Vx $ X. 2) Hechv ((b, bn) < T, . Tn > , x) - V/ Rc< hv (Tj. X) b.|(x> = 1 Định nghĩa: Tị, la € TREE (V, V ) T, tương đương (kí hiệu T, T2) K e c h y (I 1, X) ~ Kechy (r 2, X)V X — X- x,v (In 5. Quan hệ giữa hai tập TREE (B. Y + ) rà TREE (V. Y+). tìịnh li 1: Cố tồn tại ánh xạ i (t) từ tập TREK (B, V ) vào tập TREE (V. \ ♦-) (tư tập TTKE (V, Y+) vào lập TRKK (B, Y+)) có các lính chẫỉ sau đày : a) (p (^) lồ áah xạ đơn trị. b) V T € TREE (BY+) (V T’ € TREE (V, Y4-)) ta luỏn cỏ Rechg (T, X) — = Rechy (ệ (T), x) V X € X. (Hcchy (T’, X) = RechB (1|- ('! ’), X) V X € X). C) V Tu T2 6 THEE (B, Y+) (V TỊ, Ti € TREE (V. Y+)> Ta c ò : T| *= 1 ■> H ĩ (T|| <** <T.2) X,B x.v T, <=* To 'ị1 ( 1 ) ~ vfl’v ))■ x.v X.B ( hừm/ Itìtnh : Ta chỉ ra sự tồn lại cùa ị (cỏn sự 1«MI lạ rú;i tị' đirọc chi ra tưưn*! tụ). Vói inAi ịi £ B ta ứng với phàn tử (b, bn) £ V như sau : (ỉiả sử p (X) = I in mk I vái 111, < 11», mk < Pf (X) Vòi Ịỉ (x) nlnr vậy ta cho úng Vi.*i bộ (t*, ( X) I)m; I \ > brn^ (x), (1 ); € V ,ở đây bj (x) — , 1, nốu j $ p (x) 0. nếu j <Ề p (V) Tiếp theo chúng ta địah nphĩa Anh xa í : THKK (M. Y+) ♦ rRKE (V, \ ‘r ) ĩ)hư *.‘1u : 1) Ẳ (V) - V, V y e Y •. 2) é <p T. Tp >) - (b, bni . bn,k !)pa I ' ( r t ị (I Pí >* > •) Itf tlifiy anil xạ cIỊnỉi n ^ 'ii như tròiầ sẽ Ihoa ni3n cấc điều kiện a/, k/, 6,/ troing địrỉi lý 1. [ I huật toán giải I>ài ioíiA tuo ■' ; ilư.rng t ổn ỉửp rRlỉIí (V,Yf) ll;;iciy biỉ kỳ ! , vá 1 ‘6 '1 HKli (V, Y+) (iirợr nối với phau hởi kỷ hiệu a w ill /.: a oi ỉ< mồỉ olỉtrírng (rinh Cfiv. K: iiu u !• Q’ • í T TV T. r* * = TRIiK (V, Y + )ị. Gia •■><* X CZ í ’ Ql’ \ ,i 1 — ỉ\ l'-QL\ Piiưưng .rỉnh cây T, ~ T í?ọi là ‘.'all được từ lập X kh: và chỉ khi liuặc ] , í , - X lioạc im') nhạn lỉươc từ (áo p hũ 11 ử i ro 11 <4 X hằng cách áp dụnft một sỏ lúửu h;Mì làn các qui liỉí* đản xuiíl Sill! iỉảy: Ụui /ãc 1 Nẻ 1 r € t h e e (V,Y ) Mù X j-T = T- Oíii /uc 2: Ne 11 Xf— I — Tj l! 1 ì Xị—T2 I |. (Jill tác ?> : Nếu XỊ—Tj = T, và X[— r — r 3 thi Xị— r 1 = 1 3 Qui tâc 4 : X u Xp-T ~ T’ và Xị—(1>i hn) < T i, rnj> *= (b,. bn) < I 1 , In ■> t hi \ r (!» ••• ^ . I i—1T, 1 A n > ^ *v 'C T ỉ Xỉ—1 , T, 1 i-f-l Tn J>. Qui tấc .5: Neu Xị-Ti * T2 thỉ X r ( b ) < T, > - (b) < T 2> Vb £ A. Ọrn’ /ức 6: Neu XỊ— (b,, bn) <c 1 . Tn > = (bì ♦ bm) ■ ; Tỉ , i ; > thỉ X I— (b, bn. b) < T , Tn, T > = (bỉ b'm , b) < T 1 Tm. r > \ ĩ b 6 A.VT € rREE(v, Y+). Quy lắc ? : Ni u X Ị— (bj, bn) < I . Tn >• = ( b Ị b ; n)<c 1 i* ••• > thl X r - (b. b, bm) < T, Tu I n > = (b. bi bm) < T. T; > , V b € A. V T‘$ I dỉlE iV, Y+). Qug tác s : Nếu X \— (blf f bn) " Ti, , Tn > = (bỊ bm )<T| 1*B > thi X U- (b, Lj — I. I). bi+l# , hn) ^ TN Ti-,. T. Ti4 Tn > = (b1# bi-,, h. I)., f b;„) < Ti , T;_,, T, T;+I T m J> , V b ệ A, VT^TREE (V.Y + ) Ta gọi các phưưng trinh cìiv sau clfly là các tiỗn dề. 1'iin dề l (a.x,) : y — V, Vy 6 Y+. Tiin đè '2 (ax,) : (h, b) < y, V ,> = (b) < y > , V b C- A. Vy€ Y+. Títn dè ,ì (ax:j) : (b) < (b) < y > = (b) < y > , V I) A. Vy ỄE Y t • r/^n Ạ (ax4) : (b,. b2) < y 1( y, > = (b2 b i X j i , y, > , Vb,( b2A. Tièn đe ủ(a x5) : ( b ,X ( b a) < y > - (b2) < ( b . X y > , Vb,. b, A, Vy^Y+. / i(-n de (i (fi.\6) r (b) <c (b|, b2) <c y y 2 ;> = (b, b)' ' (h,) <c y I >. (b,) < yi > Vb|. b2. b ^ A, Vy,. V-*- i .1 /I /(■' 7 • n.V->: f b ) < ( h )< y > = w. V b.íE A, V y ‘E \ f. Tiin đề 8 (ax8) : (b, b) < y , y ;> = V. V b ệ A , V y t- V. 8 u Đặt ax = j_, *Xj 5. Dạng chnkn t&«. Định nghĩa : Cây ENTREE (V, Y+) được gọi lá city cơ sò l ố Ihứ tự ừng \ ứi bộ (bj, b2, , bn) nếu và chà nếu E có dạng sau : E SB ( b f ^ x tb f * ) < < (b?")< y > _> với b?* < b®í,+ ' i = 1/2 , II —1. Ở đáv bơj < bi, nếu ơj = 1 i — ) b,, nếu ơị = 0 Kl hiệu T 1’ có Dgliĩa là T dồng nhãl bằng I”. Bịnh nghĩa : N ệ TREE (V. Y+) gọi là cây chuốn ùng với bộ ( b , b„) nếu và chỉ nễu ho ặc N'=J hoặc có tồn tại ni(rn > 1) cây co sở có thứ tự K,, Eri ừng với b> (b bn) với Ej ĩệi Ej (i k ji) sao cho rt ^ cl ^ ct /y ỉ ct 111 tĩ ^ N s ( b f ', b f ' )< ( b .f2 )< < " (h?» ) < y , (I>2 ) (brơ" ) < y,„>- • ■>. b dây Kị (b,ì ) < b22) < (bnn) < j-j > , >, i = 1,2, , n Bịnh ỉỷ ? • (lia sir Ni và N2 là haicảy chuần ứng vởl các bộ (l)j, b2, , b„ỉ yầ (bi, b:2 b^). Níu X, - N, thì V, - \ , X.V Chứng minh : Dùng phương pháp phàn cliung. tìịnh /ý 3 : Vái mỗi cầy bẫt kỳ T^THEE (V. Y4), có tồn tại (ỈIIV iihát một cáy cbuàn N úng V/ri hộ (hi bn) (chỉ sổ n phụ thuộc a câv T) sao cho a) I ** N X V I)) aX r \ c.ỉúru^ minh : Dùng phương pháp quy nạp thí*o định nghĩa của T. f’>. rinh phi mâu thuẩn rà tính dầT đủ của hệ ax MiuẠt toán Ịỉiài bai to»àn ỉv<rng (ỉirơng trên lớp FREE ( B, V 1 ) !>Ịíih l Ị 4 : Với mọi cày l)ăt kv r jt T ^T H K K (V. Y ) la cố ỉ j kh 1 và chỉ khi ax Tị I- T . X. V ( lnniị4 minh. ■A) \ ỉ u a \ — Tj — ỉ , thi T| ^ ỉ . Mệnh đề nồvđưọcsu\ ra tư việc kiềm tri X V lạỉ các tiên đe clc* 1.1 được chọn từ các cây tirưng <tư<rng nhau và các quy tắc (lẫn xu;ìt lại bao toàn tính tương đương (ỉó. I)) \ MI Tị ỉ í lì ì aX — ị'ị i \l " b đ è Uiỉv vìirưe suy ra từ Áp d u n e X. V cá<* i1ịu \ì ]ý 2 và 3. Thuật Ỉoáỉị. ((ii;II bái toán tirong lĩir<y! f trê: I RKE (H, Y+)). Cho Ty T2 £ TỈỈRK (B. V f) kiềm tra xem 1\ cỏ tirrng đir-riiií VM hav không, ta xét các <•;!▼ <ĩ> (T, V. <!> (T2) (rong ló Ị) TKEK (V, Y+). íiSi vời (Ti), o (r,) ta (la cỏ thuàf íoán iĩề ) iêni !ia sir tưr/ng đươnịí của nỏ V ì tir ! ) V'fírií4 cho la kít luận Tị có tưorng(ìxxơug vcVI T. (rong TREE (B Y+) ha- k h AI i g TÀI LIỆU THAM KHẢO . L. Ile:ỉkin : The* completeness of the first— order functional Caleulus. Tho journal of Symbolic logic 11. 159—160 (1919). é2. I). K. Kmith : The Ali Computer Programming. Vol. 3, Sorting and S e a ỉ v L i Addison — weselv Publisinj* rcinpanv 79. H. Maurer, Til. (Him arm : Manipuỉatiniị sets of pointa—a survey. Berichte /Ur prakliocher Informatik. Bd. 1979. S — 9— 29. 1. H. rhiele : On a gva ph — iheoretic realization of retrieval Systems using a iunotional calculus as basic. Language. Proceedings of the Colloque Inlerna- tional rln c. \. H. s. «Les đéveloppements réoents de la theorie đe L’informa tion et ieurs applications)). K. s. E. T ., Cachan. Franco, t — 5 juiilet 1977. 5. H. Thiele : Kin Ansitz zur graplicnthuorctiachen Modellierung Von lỉrrhưrchepiT ze « so n Nfanu^kript. Seklion Mafhematik, Humboldt — Tni. /U Berlin, 1976. ti. f)S Đức Giáơ : Ternary Seaech Trees. 'V6 Symposium on Mathematical Foundation of Com pilfer Science, Poland — (fDH, Ztfborenv, January. 21 —26, 1980. 7. ĐỖ B/rc GỈAo : Ầq i.valeute Uinfonniingen n dimensions (T ternaver Such bail me. Pus'ikntion icn 1. Freunclsdi *.fiakolloquiu (DDK —U(iSSH), in Belin, 11 — 16, Fe ỉ>r uar, 1980. H. ĐS í)ức Giáo. lính phi ỉn\u thuẫn và lính đà? (tú của hộ CÁC. liên (1$ của lờpcAy tam ngíiyỏn 1 chiều vái lẠp níịòn ngữ VÀ là ỉập hữu h in cắc pbàn tử. rhỏng !>£o khoa học khoa Toán cư 19S3, 64 — 70, BHTH Hà Nội. (.K Bỏ Dừc Giáo. Tính phi máu Ibuẫn và tính đáy đủ của ( ác tiên đè của lờp cấy ?am nguyên II chièu \ởi ‘ặp ngôn ngừ vào là tập hữu hạn các bộ Ị.ồm a phin lử. l ap (‘hí khoa học (Toan — iv), 1985, 22-21). Ỉ BHTH Hà Nội. 13Ồ tìừc (iiáo. Sự biến (lồi tưưng điivng của lóprày nliỊ Ĩ1ỊÍIIvẻn n ohiÊu. * 1 II tà! iúo cáo Hội nghị Toán học Vỉệ! Xam 1:1 n thứ 3 (J2 — 25-7-1985). 5 n. B i Đức Giáo. Vẩn đè tôi chiều hòa hệ tiDi kirm thòng tin. Vũ Ngọc L<ều Tạp chí Khoa học —Toàn—Lv, 1986 ĐHTH Hả Nội. 12. Đô Đức Giốo. Vân đè biến đối tương dươDỊ^ rùa lớp cấj nhi lì^uyẻn một chiều. (Tóm tắt bầo cáo tại hội nghi kboa học Toán- I.Ư — Tin học 198B, tồ 'ỉhứe ngày 9 và 10-10-i9S6 nhAn kv niệm 30 năm thành lôp trirừng DHTll Mậ Nội) > ilo ỉỉìẩK >Kao, By HroK /loan. Hryen AHHb Ỉ X)<T o METOAE PELUEHHH OBlJlEft 3AHAMH 9BHBA/1HHTHOCTH B BHHE BOnPOCOB Vi OTBETOB B 1977 -1978 npenno;iara/iH rpaỘM^ccKiie MOJX&JIH BHHUíMHTe.ibHMT lipoue- CCOB li KViaCCHỘHKaUHH HH (Ị)OpM a II.HÌI. B OỐmeM BHAC 3aAaMa 9KBHBa.ieHHOCT!ĩ iia K ^ac ce 9THX MOAe/iefi AO TC.X n op nOKí! e m ẽ He peniCHa. Ha 9Toft 3aMeTKe MU npe;ino;iaraeM MCTOA 4 -1H peiuemifl 9T0II 3a;i3MM. Ha K/iacce AepcBbeB, nocTpoeHHhix 113 /iĐOỉimibix ;upeBbCB, npH IIOMOUỊH aKCMOMa- TnqecKoro M6T0A3 MU iiocMGTpiiM a.’i ropHỘH, KOTOphlíĩ ĨIOCMC KOHe^HOrO HHC/ia marOB paỐOTbl ABẽT HâM OT»eT Ha Iionpoc o 3KBHBa/ie HTHOCTH ;i»vx ,1K>f)blX paccMaTpHBacMbix. MOAe/ien. Do Đưc Giao, Vu Ngoe Loan, Ngayen Dinh Thuyet A METHOD FOR SOLVING GENERAL EQUIVALENCE PROBLEM 1M FORM OF QUESTIONS AND ANSWERS In 1977 —197s some authors T)ut forward graphical models in h)m of computation processes and classifying information. Kquivalencr problem OD the class of Ihose models has not been sc* I veil. In this paper we present it method f°r soltin^ that problem. By using a system of axians SVC have built an algorithm on fhe class of tr^es ciea’.ed by join:ng binary trees, which allows us to answer whether two 4IDV models arc equivalent or not ilffrr n fin ir nii:>ib(T of steps of transforming on those model*. Kbot town-CCT -tin hoc \biUi bùi ngày 3-11-to) trưòng Dili bọc Tfiu#hop Hả \ộỉ f> •í . 1987 PHƯƠN G PH Á P GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG ĐƯƠNG TÔNG QUÁT DƯỚI DẠNG HỎI ĐẢP Đỏ F)ức GIẢO. VŨ NGỌC LOẴN' NGUYỀN nỉiNH THUYẾT I. Mộ hinh IS thuyéỉ dò thị qná trinh tinh toán vi cây tính toán. Ký hiệu. toán: Iỉẵy xây dựng thuật toán đề san một s6 hữu hạn bước làm việc tliuAttoán cho biết Tj, r 2 trong TREEE (B, Y+) có tương đuưng với nhíiu khổng? Trong bài báo này chúng !a giải quyít bài toán. cho a) I ** N X V I)) aX r c.ỉúru^ minh : Dùng phương pháp quy nạp thí*o định nghĩa của T. f’>. rinh phi mâu thuẩn rà tính dầT đủ của hệ ax MiuẠt toán Ịỉiài bai to»àn ỉv<rng (ỉirơng trên