Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động tự do không cản của hệ dao động nhiều bậc tự do. Dao động tự do không cản là mô hình dao động đơn giản. Việc nghiên cứu trong bài này là cơ sở để nghiên cứu các mô hình phức tạp hơn, cụ thể là khi có cản ma sát và khi có kích động. Bài này sẽ trình bài một số định nghĩa, khái nhiêm cơ bản của dao động tuyến tính nhiều bậc tự do: như phương trình tần số, vector riêng, ma trận dạng riêng. Bài học cũng nghiên cứu và chứng minh tính trực giao của các véc tơ riêng, đưa ra các tọa độ chính để tìm nghiệm hệ phương trình vi phân dao động.
Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus MỞ ĐẦU Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động tự do không cản của hệ dao động nhiều bậc tự do. Dao động tự do không cản là mô hình dao động đơn giản. Việc nghiên cứu trong bài này là cơ sở để nghiên cứu các mô hình phức tạp hơn, cụ thể là khi có cản ma sát và khi có kích động. Bài này sẽ trình bài một số định nghĩa, khái nhiêm cơ bản của dao động tuyến tính nhiều bậc tự do: như phương trình tần số, vector riêng, ma trận dạng riêng. Bài học cũng nghiên cứu và chứng minh tính trực giao của các véc tơ riêng, đưa ra các tọa độ chính để tìm nghiệm hệ phương trình vi phân dao động. I. CÁC TẦN SỐ RIÊNG VÀ CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG PTVP dao động của hệ tự do không cản n bậc tự do có dạng: 0Mq Cq+ = && (6.1) M, C là các ma trận vuông cấp n có các phần tử là các hằng số. Trong nhiều bài toán M và C có dạng đối xứng 1. Nghiệm của hệ PTVP Nghiệm của dao động tự do không cản có dạng dao động điều hòa. Vậy hệ phương trình (6.1) có nghiệm dưới dạng sin( )q a t ω α = + (6.2) Thế biểu thức (6.2) vào (6.1) rồi đơn giản biểu thức sin( )t ω α + ta được: 2 ( ) 0C M a ω − = (6.3) Để thu được biểu thức (6.3) ta phải hiểu nghiệm của phương trình có dạng: 1 ; 1, T j n q q q j n q = = = M ; T j q - Dạng ma trận chuyển vị. Ở đó: 1 1 1 1 sin( )q a t ω α = + ; sin( ) j j j j q a t ω α = + Suy ra 2 ; 1, T j j q q j n ω = − = && ; , 1, ij M m i j n = = ; , 1, ij C c i j n = = Lúc này phương trình (6.1) có dạng: 2 0 T T ij j j ij j m q c q ω − + = 2 0 T ij j ij j c m q ω ⇔ − = (6.3a) Để phương trình có nghiệm không tầm thường, thì điều kiện cần là định thức Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 1 Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus 2 0C M ω − = (6.4) - PT (6.4) là một phương trình đại số bậc n đối với 2 ω và được gọi là phương trình tần số hoặc phương trình đặc trưng. - Các nghiệm k ω (k=1,…n) của phương trình tần số được gọi là các tần số riêng. Thay lần lượt các giá trị của k ω (k=1,…n) vào phương trình (6.3) ta nhận được các hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất với các biến a k . Giải hệ phương trình này ta xác định được a k : 2 ( ) 0 k k C M a ω − = (6.5) Các véc tơ a k này được gọi là các véc tơ riêng. 2. Các dạng dao động riêng Phương trình (6.5) là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất có định thức hệ số bằng 0 nên các thành phần của véc tơ a k được xác định sai khác 1 hằng số nhân. Tức là một vector a k có dạng [ ] T k ik a a= thì mọi tọa độ của vector này có thể có nhiều giá trị khác nhau, nhưng phải đảm bảo tỷ lệ giữa các tọa độ là một hằng số. Chọn a 1k một cách tùy ý và đưa vào kí hiệu: 1 ik ik k a v a = hoặc ( ) ( ) ( ) 1 k k i i k a v a = ; i,k=1,2,…n. (6.6) Thay lần lượt các n ωωω , ,, 21 vào phương trình (6.5) ta xác định được ma trận: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n nn n n v v v v v v V v v v = (6.7) Mỗi cột của ma trận (6.7): ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 T T k k k n k k k nk v v v v v v v = = Cho ta biết một dạng dao động riêng của hệ dao động (6.1) Ma trận V được gọi là ma trận dạng riêng. Vì vậy ma trận dạng riêng cho ta biết tất cả các dạng dao động riêng có thể có của hệ dao động. II. TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC VECTO RIÊNG Xét phương trình dao động tự do không cản của hệ n bậc tự do: 0Mq Cq+ = && (6.8) Nếu các ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng C là các ma trận thực đối xứng thì các véc tơ riêng v k tương ứng với các tần số riêng k ω sẽ trực giao với ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng C. Ta có: 0; 0 T T j i j i v Mv v Cv= = khi i j ω ω ≠ (6.9) Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 2 Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus Chứng minh: Từ (6.5) 2 i i i Mv Cv ω ⇒ = (6.10) 2 j j j Mv Cv ω = (6.11) 2 T T i j i j i v Mv v Cv ω ⇒ = (6.12) 2 T T j i j i j v Mv v Cv ω = (6.13) Do tính chất đối xứng của các ma trận M và C ta có: T T j i i j v Mv v Mv= ; T T j i i j v Cv v Cv= (6.14) 2 2 2 ( ) 0 i j j i v Mv ω ω ⇒ − = (6.15) Vậy: 2 0 j i v Mv = khi i j ω ω ≠ Khi đó 0 T j i v Cv = khi i j ω ω ≠ . Chú ý: Nếu 2 2 i j ω ω = , từ (6.15) ⇒ không thể suy ra tính chất trực giao của các véc tơ riêng tương ứng. III. CÁC TỌA ĐỘ CHÍNH. CÁC TỌA ĐỘ CHUẨN Như trên đã trình bày, PTVP dao động tự do không cản của hệ n bậc tự do có dạng: 0Mq Cq+ = && (6.16) Nếu ta có thể chọn được các tọa độ suy rộng đặc biệt sao cho với các tọa độ đó, các ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng đều có dạng đường chéo thì các tọa độ suy rộng đó được gọi là các tọa độ chính. Kí hiệu: 1 2 , , , n p p p . Thực hiện phép đổi biến: q=Vp (6.17) Trong đó V là ma trận dạng riêng. Thế (6.17) vào (6.16) ta có: 0 0 T T MVp CVp V MVp V CVp + = ⇒ + = && && (2.18) Do tính chất (6.9) ⇒ các ma trận MVV T và CVV T là các ma trận đường chéo. 1 2 0 0 0 0 0 T n V MV µ µ µ = ; 1 2 0 0 0 0 0 T n V CV γ γ γ = (6.19) Vậy phương trình (6.18) có dạng: 0; 1,2, , i i i i p p i n µ γ + = = && (6.20) Trong đó: ; T T i i i i i i v Mv v Cv µ γ = = (6.21) Kí hiệu: 2 i i i γ ω µ = ⇒ các phương trình (6.20) xác định các dạng dao động chính có dạng: 2 0; 1,2, , i i i p p i n ω + = = && (6.22) Các phần tử của vecto v i của ma trận riêng V được xác định sai khác 1 hằng số nhân. Nên ta có thể chọn các vecto v i một cách thích hợp sao cho. Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 3 Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T V MV E = = K K M M O M K (6.23) Ma trận dạng riêng được chọn như thế được gọi là ma trận dạng riêng chuẩn. Ta ký hiệu ma trận dạng riêng chuẩn bằng V n Ta có: 2 1 2 2 2 0 0 0 0 ; 0 0 T T n n n n n V MV E V CV D ω ω ω ω = = = K K M M O M K (6.24) Phép thế q = V n p đưa phương trình 0Mq Cq+ = && về dạng 0Eq D q ω + = && (6.25) Các tọa độ chính [ ] 1 2 , , , T n p p p p= trong phép thế q = V n p được gọi là các tọa độ chuẩn. Như vậy các tọa độ chuẩn là các tọa độ chính đặc biệt. Quan hệ ma trận dạng riêng V và V n [ ] 1 2 , , , n V v v v= 1 2 1 2 1 1 1 , , , n n n V v v v α α α = (6.26) T i i i i v Mv α µ = ± = ± (6.27) IV. BÀI TẬP Tính toán các tần số riêng và dao động riêng của mô hình dao động 3 bậc tự do như hình 6.1. Bỏ qua các loại cản Giải Biểu thức động năng và thế năng 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 2 4 T mx mx mx= + + & & & Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 4 x 1 x 2 x 3 c 2c c 2c m/2mm Hình 6.1 Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus 2 2 2 2 1 2 1 3 2 3 1 1 ( ) ( ) 2 2 cx c x x c x x cx∏ = + − + − + Thế T và ∏ vào phương trình Lagrange II ta nhận được hệ phương trình vi phân dao động: 1 1 2 2 3 3 0 0 3 2 0 0 0 0 2 3 0 0 0 / 2 0 3 0 m x c c x m x c c c x m x c c x − + − − = − && && && Phương trình đặc trưng có dạng 2 2 2 3 2 0 2 3 0 1 0 3 2 c m c c c m c c c m ω ω ω − − − − − = − − hay 3 2 0 2 3 1 0 0 1 3 2 λ λ λ − − − − − = − − Với 2 m c λ ω = phương trình đặc trưng có dạng 3 2 12 39 24 0 λ λ λ − + − + = Giải phương trình trên ta được 1 1 2 2 1 3 0,7985 0,8936 / 4,4549 2,1107 / 6,7466 2,5974 / c m c m c m λ ω λ ω λ ω = → = = → = = → = Phương trình xác định các vecto riêng có dạng 1 2 3 3 2 0 0 2 3 1 0 0 1 3 / 2 0 a a a λ λ λ − − − − − = − − Từ phương trình thứ nhất 1 2 1 2 2 (3 ) 2 0 3 i i i i i i a a a a λ λ − − = → = − Từ phương trình thứ ba 1 2 1 2 2 (6 ) 2 0 6 i i i i i i a a a a λ λ − − = → = − Cho a 2i = 1 ( i = 1,2,3) thế các giá trị i λ vào biểu thức trên ta nhận được ma trận riêng dạng: Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 5 Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus 0,9085 1,3747 0,5338 1 1 1 0,3845 1,2944 2,6789 V − − = − KẾT LUẬN Kết hợp với kết quả thiết lập ptvp trong bài học trước, ở bài học này học viên nghiên cứu trường hợp hệ dao động nhiều bậc tự do không cản. Cụ thể là đi xác định nghiệm của hệ ptvp chuyển động. Qua bài học học viên cần năm chắc các khái niệm như các vector riêng, mà ứng với nó là các dạng dao động riêng. Từ đó tìm ra các tọa độ chính, và tọa độ chuẩn thể hiện qui luật dao động của các dạng dao động riêng của cơ hệ. HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU Để thuận tiện cho việc tự học tập và nghiên cứu tại đơn vị, củng cố và nắm chắc kiến thức bài học, học viên cần thực hiện các nội dung sau: - Nắm chắc kiến thức trọng tâm của bài mục I.2 và III - Nghiên cứu và tự giải lại bài toán mẫu ở mục IV. - Nghiên cứu thí dụ 3.6[129], 3.7 [132] SGT, thí dụ 2.6,2.10 [60] SBT - Làm các bài tập 2.2.2, 2.2.3, 2.2.6 SBT Ngày tháng năm 2015 NGƯỜI BIÊN SOẠN Kalyrus Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 6 . Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus MỞ ĐẦU Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động tự do không cản của hệ dao động nhiều bậc tự do. Dao động tự do không cản là mô hình dao động. (6.3a) Để phương trình có nghiệm không tầm thường, thì điều kiện cần là định thức Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 1 Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus 2 0C M ω − = (6.4) -. 0; 0 T T j i j i v Mv v Cv= = khi i j ω ω ≠ (6.9) Chương 2: Dao động tuyến tính nhiều bậc tự do 2 Bài 6: Dao động tự do không cản Kalyrus Chứng minh: Từ (6.5) 2 i i i Mv Cv ω ⇒ = (6.10)