ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ MINH TRIẾT BÀI TOÁN PARA BOLI C NGƯC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 62 46 01 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG VÀ PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN Tp. Hồ Chí Minh - 201 4 1 Mục lục Một số kí hiệu được dùng trong luận án 4 Lời nói đầu 5 1 Một số kết quả sử dụng trong luậ n án 16 1.1 Các không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2 Đònh lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Tích chập và biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Khai triển sin Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền không bò chặn 28 2.1 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 2.1.3 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.4 Ví dụ mi nh ho ï a trườ ng hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền bò chặn 71 3.1 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.1 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.2 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1.3 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3 3.1.4 Ví dụ mi nh ho ï a trườ ng hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu và phụ thuộc vào thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.2 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3 Chỉnh hóa bà i toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.3.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào không gian và thờ i gian 121 4.1 Biến đổi bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2 Chỉnh hóa bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.2.1 Nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Kết luận 135 Danh mục công trình công bố củ a tác giả 137 Tài liệu tham khảo 138 5 Lời nói đầu Hiện nay, bài toán ngược là một bà i toán có nhiều ứng dụng trong khoa học và đời sống. Trong thực tế, chúng ta có rất nhiều loại bài toán ngược như: bà i toán t ru y e à n nhiệt ngược, bài toán tán xạ ngược, bài toán biên ngược, bài toán hình học (xem trong tài liệu [24]). Khi xét các bài toán ngược, ta có thể chia làm hai loại là bài toán chỉnh (well-pos e d problem ) và bài toán không chỉnh (ill-posed problem) dựa vào đònh nghóa của Hadamard. Theo Hadamard, chúng ta có đònh nghóa bài toán chỉnh như sau: Với X, Y là các không gian đònh chuẩn, K : X → Y là một ánh xạ (tuyến tính hoặc phi tuyến). Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các tính chất sau • Tính tồn tại nghiệm: Với mọ i y ∈ Y tồ n tại (ít nhất một) x ∈ X sao cho Kx = y. • Tính duy nhất nghiệm: Với mọi y ∈ Y tồn tại nhiều nhất một x ∈ X sao cho Kx = y. • Tính ổn đònh nghiệm: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào y; nghóa là, với mọi dãy x n ∈ X sao cho Kx n → Kx thì ta suy ra x n → x. Một phương trình không thỏa (ít nhất) một trong ba tính chất trên được gọi là không chỉnh. Thực tế, tính chỉnh hay không chỉnh của một bài toán phụ thuộc vào nhiều yếu tố ví dụ như dữ liệu của bài toán (xem ví dụ 1.14 trang 10 trong [24]) hoặc không gian nghiệm của bài toán (xem ví dụ 1.15 trang 11 trong [24]). Khi một bài toán là không chỉnh, từ một sai số nhỏ trong dữ liệu do đo đạc có thể dẫn đến sự khác biệt rất lớn của nghiệm bài to á n nếu nghiệm tồn tại. Chỉnh hóa bài toán này là đưa ra nghiệm xấp xỉ ổn đònh cho nó. Đây là một công việc cần thiết. Một trong những bài toán kho â ng chỉnh được khảo sát khá nhiều là bài toán parabolic ngược thời gian hay cò n gọi là bài toán giá trò cuối. Tổng 6 quát, chúng ta có bài toán ngược t hơ ø i gian cho phương trình paraboli c nhằm tìm hàm u : [0, T ] → H thỏa mãn u t + A(t)u = f(t, u(t)), t ∈ (0, T ), (1) u(T ) = g, (2) trong đó A(t) là toán tử tuyế n t ính, xác đònh dương trong không gian H thích hợp, f là một hàm cho trước và g là dữ liệu của bài toán. Chúng ta có thể khái quát lại lòch sử nghiên cứu bài toán (1)-(2) nhằ m đưa ra hướng nghiên cứu mới và chọn phương pháp nghiên cứu hiệu quả áp dụng vào bài toá n. Bắt đầu từ năm 1967, Lattes và Lion [62] đã khảo sát bài toán (1)-(2) t ro ng trường hợp thuần nhất (f = 0) và toán tử A(t) ≡ A không phụ thuộc vào thời gian u t + Au = 0, t ∈ (0, T ), (3) u(T ) = g, (4) với t o á n tử A tuyến tính, tự liên hợp, dương tro ng kho â ng gi an Hi l be rt H đồng thời đề xuất phương pháp quasi-reversibility (QR) để chỉnh hóa bài toán. Ý tưởng chính của phương pháp QR là t he â m một lượng chỉnh hóa thích hợp vào phương trình chính của bài toán. Phương pháp QR sau này đượ c áp dụng trong nhiều bài báo có khác biệt so với phương pháp QR lần đầu được Lattes và Lions sử dụng nhưng ý tưởng được bắt nguồn từ phiên bản gốc nên các tác giả t ro ng bài báo [9, 22] gọi phươ ng pháp được sử dụng là phương pháp QR có điều chỉnh. Trong tài liệu [62], Lattes và Lions đã sử dụng lượng chỉnh hóa A − αA 2 với α = α(ε) là tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số dữ liệu ε sao cho α(ε) → 0 khi ε → 0 để thay thế cho toán tử A ban đầu. Từ đó, các tác giả xét bài toán chỉnh hóa như sau v  α (t) + Av α (t) −αA 2 v α (t) = 0, t ∈ (0, T ), (5) v α (T ) = g, (6) 7 với A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H. Sau đó, v α (0) sẽ được sử dụng làm điều kiện đầu cho nghiệm u α của phương trình (3). Tiếp theo, các tác giả xét bài toán u  α (t) + Au α (t) = 0, t ∈ (0, T ), (7) u α (0) = v α (0), (8) và sử dụng u α (t) làm nghiệm xấp xỉ cho nghiệ m của bài toán (3)-(4). Tuy nhiên, các tác giả chỉ khẳng đònh u α (T ) hội tụ về g khi α → 0 mà không đề cập đến tốc độ hội tụ của các u α (t) với t < T . Sau đó, vào năm 1973 Miller [30] đã tổng quát hóa phương pháp QR bằng một phương pháp mà tác giả gọi là phương pháp stabilized quasi-reversibility (SQR) để chỉnh hóa bài toán (3)-(4) trong trường hợp thuần nhất. Cụ thể, Miller khảo sát bài toán chỉnh hóa như sau v  α (t) + f α (A)v α (t) = 0, t ∈ (0, T ), (9) v α (T ) = g, (10) với α = α(ε) là tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số dữ liệu ε và f α (A) thỏa m o ä t số đie à u kiện cho trước sao cho có thể sử dụng làm lượng chỉnh hóa tối ưu cho toán tử A. Năm 1974, Showalter [42] khảo sát bài toán (3)-(4) trong trường hợp toán tử A là toán tử tuyến tính, trội cực đại và dựa vào phương pháp QR đưa ra một dạng bài toán chỉnh hóa khác với Lattes và Lions v  α (t) + αAv  α (t) + Av α (t) = 0, t ∈ (0, T ), (11) v α (T ) = g. (12) Sau đó, v α (0) được sử dụng làm điều kiện đầu cho nghiệm u α của phương trình (3) và xét bài toán tương tự bài toán (7)-(8). Trong [42], Showalter đã chứng minh rằng lim α→0 u α (T ) = g. Hơn nữa, nếu tồn tại một nghiệm chính xác u của bài toán (3)-(4) thì nghiệm xấp xỉ u α và các đạ o hàm cấ p m của 8 nghiệm xấp xỉ là u (m) α lần lượt hội tụ đều về nghiệm chính xác u và đạo hàm u (m) của bài toán giá trò cuối (3)-(4). Đây là điểm cải tiến hơn so với kết quả trong tài liệu [62] của Lattes và Lions. Cùng khảo sát bài toán (3)-(4), Clark và Oppenheimer [11], Denche và Bessila [13] đã sử dụng phương pháp quasi-boundary value (QBV) để chỉnh hóa bài toán. Ý tưởng chính của phươ ng phá p QBV là thêm một lượng chỉnh hóa thích hợp vào điều kiện biên theo thời gian. Ý tưởng này được Showalter đề xuất vào năm 1985 trong [43]. Cụ thể, trong [11] Clark và Oppenheimer đã sử dụng điều kiện u ε (T ) + εu ε (0) = g. Trong [13], Denche và Bessila đã sử dụ ng điều kiện u ε (T ) − εu  ε (0) = g. Từ đo ù , các tác giả kế t hợp phư ơ ng t rình chính ban đầu với đ i e à u kiện biên theo thời gian đã được thay thế để có được bài toán chỉnh hóa và thu được nghiệm chỉnh hóa ổn đònh cho bài toán ban đầu. Từ năm 1998 đến nay, nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán parabolic ngược phi tuyến (3)-(4) bằng các phương pháp khác nhau như Alekseeva với phương pháp QR trong bài báo [6], Đặ ng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn với phương pháp SQR trong bài báo [48] và phương pháp chặt cụt chuỗi trong [51], Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả với phương pháp chỉnh hóa trực tiếp trên dạng nghiệm trong [52], Phan Thành Nam với phương pháp chặt cụt chuỗi trong [31] và Nguyễn Huy Tuấn với phương pháp QR có điều chỉnh trong [56]. Với toán tử A(t) = −∆, bài toán (1)-(2) trở thà nh bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt với hệ số hằng như sau u t (x, t) −u xx (x, t) = f(x, t, u), t ∈ [0, T ), (13) u(x, T ) = g(x), (14) là một bài toán đã được khảo sát nhiều gần đây. 9 Trong mie à n kho â ng bò chặn R, bài toán (13)-(14) t ro ng trường hợp nguồn nhiệt thuần nhất f = 0 đã được nghiên cứu bằng nhiề u phương pháp khác nhau bởi các tác giả như Fu và các đồng tác giả [15] với phương pháp chặt cụt tích phân, Qian và các đồ ng tác giả [37 ] với phư ơ ng phá p chỉnh hóa trư ï c t i e á p trên dạng nghiệm, Đinh Nho Hào và đồng tác giả [19] vơ ù i phương pháp mollification, Rashidinia và đồng tác giả [40] với phương pháp chặt cụt tích phân, Wang và các đồng tác giả [59] với phương pháp chỉnh hóa Shannon Wavelet, Tổng quát hơn, bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt phi tuyế n đã được nghiên cứu bởi các tác giả như Nguye ã n Huy Tuấn và đ o à ng tác giả đã vơ ù i phương pháp chặt cụt tích phân trong bài báo [53] và phương pháp QBV có điều chỉnh trong bài báo [54], Phạm Hoàng Quân và đồng tác giả trong bài báo [36]. Trong miền bò chặn, bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt thuần nhất f = 0 đã được nghiê n cứu bởi Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả trong bài báo [55] với phương pháp QR điều chỉnh bắt nguồn từ ý tưởng của Clark và Oppenheimer trong bài báo [11]. Tiếp theo, Nguyễn Huy Tuấn và các đồng tác giả nghiên cứu tiếp tục nghiên cứu bài toán (13)-(14) trong trườ ng hơ ï p ngu o à n nhiệt không thuần nhất (f = 0) bằng phương pháp QR trong bài báo [46] và phương pháp chặt cụt chuỗi trong bài báo [49]. Tổng quát hơn, Phạm Hoàng Quân, Đặ ng Đức Trọng và các đo à ng tác giả [35, 38, 47] cũng đã chỉnh hóa bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt phi tuyế n. Ngoài ra, bài toán (13)-(14) còn được xét trong trường hợp hai chiều [0, π] ×[0, π] bởi Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả [50], Phan Thành Nam và các đồng tác giả [32]. Với trường hợp toán tử A trong bài toán (3)-(4) phụ thuộc vào thời gian nghóa là A ≡ A(t), bài toán (3)-(4) trở thành u t + A(t)u = 0, t ∈ (0, T ), (15) u(T ) = g. (16) Bài toán (15)-(16) tổng quát hơn bài toán (3)-(4) và hiện nay được chú ng tôi và một số tác giả khác nghiên cứu khảo sát. Dù vậy, the o sự tìm kiếm của 10 chúng tôi số lượng bài báo nghiên cứu trường hợp toán tư û A phụ thuộc vào thời gian ít hơn rất nhiều so với trường hợp t o á n tử A không phụ thuộc vào thời gian. Bắt đầu từ bài báo của Krein [25] năm 1957, tác giả đã nghiên cứu bài toán (15)-(16) và sử dụng phương pháp log-convexity để đưa ra ước lượng sai số dạng H older. Sau đó, phương pháp này được phát triển bởi Agmon và Nirenberg [4, 61] và các tác giả đã đưa ra đánh giá sai số u(t) ≤ c u(T ) µ(t) u(0) 1−µ(t) trong đó c là một hằng số dương. Năm 2011, Đinh Nho Hào và Nguyễ n Văn Đức [21] đã sử dụng phương pháp non-local boundary value method (phương pháp này đã được sử dụng trong các bài báo [18, 20]) để chỉnh hóa bài toán thuần nhất (15)-(16) (f ≡ 0) và đưa ra đánh giá sai số dạng H older với s o á mũ của sai số được cải thiện hơn so với kết quả của Agmon và Nirenberg. Với trường hợp bài toán không thuần nhất (f = 0), Nguyễn Thò Ngọc Oanh [34] xét hệ ∂u ∂t − n  i=1 ∂ ∂x i  a i (x, t) ∂u ∂x i  + a(x, t)u = f, (x, t) ∈ Ω ×[0, T ), u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω ×[0, T ), u(x, T ) = g(x), x ∈ Ω, trong đó Ω là một ô (tích các khoảng mở) trong R n , n = 2, 3. Tác giả đã sử dụng phương pháp gradie nt lie â n hợp với một bước dừng được cho ï n thích hợp nhằm tính toán nghi e ä m xấp xỉ của bài toán. Tuy nhi e â n, trong [34] tá c gi ả đã viết: We note that the question of the convergence rate of the method when noise level, s pace and time-st e p sizes approach zero, as for most general ill-posed problems, is open and out of the scope of this paper. [...]... xác và bò nhiễu Bài toán 2: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không thuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bò chặn R ut (x, t) − a(t)uxx (x, t) u(x, T ) = f (x, t), = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ), x ∈ R, 14 với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L2 (R) và f (·, t) ∈ L2 (R), ∀t ∈ [0, T ] thỏa một số điều kiện cho trước Bài toán 3: Bài toán ngược thời gian... trong luận án Chương 2: Chúng tôi khảo sát các bài toán sau Bài toán 1: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bò chặn R ut (x, t) = a(t)uxx (x, t), u(x, T ) = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ), x ∈ R, với a(·) ∈ C[0, T ] thỏa mãn điều kiện tồn tại p, q > 0 sao cho 0 < p ≤ a(t) ≤ q, với mọi t ∈ [0, T ] và g ∈ L2 (R) Khi xét bài toán 1,... đưa bài toán (2.1)-(2.2) về dạng 13 bài toán nhiệt ngược với hệ số hằng Tuy nhiên, khi xét bài toán trong trường hợp tổng quát hơn như: nguồn nhiệt không thuần nhất, phi tuyến và hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu, phụ thuộc vào không gian và thời gian thì phương pháp tiếp cận này khó áp dụng Vì lí do đó, trong luận án chúng tôi đònh hướng sử dụng phương pháp tác động trực tiếp trên dạng nghiệm của bài toán. .. trình parabolic phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bò chặn R ut (x, t) − a(t)uxx(x, t) = u(x, T ) = f (x, t, u), (x, t) ∈ R × [0, T ), g(x), x ∈ R, với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L2 (R) và f là hàm Lipschitz toàn cục theo u thỏa f (·, t, 0) ∈ L2 (R), ∀t ∈ [0, T ] Chương 3: Chúng tôi khảo sát các bài toán sau Bài toán 4: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic. .. trong bài toán 1, g ∈ L2 (0, π) Bài toán 5: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không thuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bò chặn [0, π] ut (x, t) − a(t)uxx (x, t) = u(0, t) = u(x, T ) = f (x, t), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ), u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ], g(x), x ∈ (0, π), trong đó a(·) được cho như trong bài toán 1 và g ∈ L2 (0, π) và f (·, t) ∈ L2 (0, π), ∀t ∈ [0, T ] Bài. .. sử nghiên cứu bài toán đã phân tích ở trên, ta thấy rằng các phương pháp được sử dụng để khảo sát bài toán parabolic ngược rất đa dạng Ta có thể khái quát lại các cách xử lí như sau 1 Phương pháp tác động trực tiếp trên bài toán: ta thêm một lượng chỉnh hóa thích hợp vào phương trình chính hoặc điều kiện biên theo thời gian (phương pháp QR hoặc QR điều chỉnh, SQR, QBV, ) rồi giải bài toán để tìm nghiệm... xác của bài toán mà chỉ đưa ra một nghiệm xấp xỉ có thể tính toán số được bằng một phép lặp cho bởi phương pháp gradient liên hợp đồng thời đưa ra một số ví dụ trong các trường hợp cụ thể minh họa cho tính hiệu quả của phép lặp Từ những liệt kê các bài toán liên quan đến phương trình parabolic đã được khảo sát từ trước đến nay, chúng tôi thấy rằng bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic. .. lượng công trình nghiên cứu trường hợp hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc t rất ít và hạn chế nên vấn đề mà chúng tôi khảo sát trong luận án này là có tính mới mẻ Cụ thể, trong luận án chúng tôi sẽ tập trung khảo sát và chỉnh hóa một trường hợp cụ thể của bài toán parabolic ngược là bài toán ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt loại này Trong thực tế, sự truyền nhiệt của một vật phụ thuộc vào nhiều yếu tố trong... và các ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa Ngoài ra, chúng tôi cũng xét thêm trường hợp hệ số dẫn nhiệt bò nhiễu khi xét bài toán thuần nhất 2.1 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất Trong khi khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất, chúng tôi đồng thời xét hai trường hợp sau: 1) Trường hợp hệ số dẫn nhiệt a(t) chính xác và phụ thuộc... trong đó a(t) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L2 (0, π) và f là hàm Lipschitz toàn cục theo u thỏa f (·, t, 0) ∈ L2 (0, π), ∀t ∈ [0, T ] Chương 4: Chúng tôi khảo sát bài toán sau Bài toán 7: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào không gian và thời gian trong miền không bò chặn R ut (x, t) − a(x, t)uxx (x, t) u(x, T ) = f (x, t, u, ux , uxx . tán xạ ngược, bài toán biên ngược, bài toán hình học (xem trong tài liệu [24]). Khi xét các bài toán ngược, ta có thể chia làm hai loại là bài toán chỉnh (well-pos e d problem ) và bài toán không. nay, bài toán ngược là một bà i toán có nhiều ứng dụng trong khoa học và đời sống. Trong thực tế, chúng ta có rất nhiều loại bài toán ngược như: bà i toán t ru y e à n nhiệt ngược, bài toán tán. kho â ng chỉnh được khảo sát khá nhiều là bài toán parabolic ngược thời gian hay cò n gọi là bài toán giá trò cuối. Tổng 6 quát, chúng ta có bài toán ngược t hơ ø i gian cho phương trình paraboli