Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP I MỆNH ĐỀ Mệnh đề  Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai  Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P  Mệnh đề "Không phải P" đgl mệnh đề phủ định P kí hiệu P  Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "Nếu P Q" đgl mệnh đề kéo theo kí hiệu P  Q  Mệnh đề P  Q sai P Q sai Chú ý: Các định lí tốn học thường có dạng P  Q Khi đó: – P giả thiết, Q kết luận; – P điều kiện đủ để có Q; – Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P  Q Mệnh đề Q  P đgl mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "P Q" đgl mệnh đề tương đương kí hiệu P  Q  Mệnh đề P  Q hai mệnh để P  Q Q  P Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu    "x  X, P(x)"  "x  X, P(x)"  Mệnh đề phủ định mệnh đề "x  X, P(x)" "x  X, P(x) "  Mệnh đề phủ định mệnh đề "x  X, P(x)" "x  X, P(x) " Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B Cách 1: Ta giả thiết A Dùng suy luận kiến thức toán học biết chứng minh B Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A khơng thể vừa vừa sai nên kết B phải Bổ sung Cho hai mệnh đề P Q  Mệnh đề "P Q" đgl giao hai mệnh đề P Q kí hiệu P  Q  Mệnh đề "P Q" đgl hợp hai mệnh đề P Q kí hiệu P  Q P Q  P Q  Phủ định giao, hợp hai mệnh đề: P  Q  P  Q , Trần Sĩ Tùng Baøi Trong câu đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến: a) Số 11 số chẵn c) Huế thành phố Việt Nam b) Bạn có chăm học khơng ? d) 2x + số nguyên dương e)   g) Hãy trả lời câu hỏi này! f) + x = h) Paris thủ nước Ý i) Phương trình x2  x   có nghiệm k) 13 số nguyên tố Baøi Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) Nếu a chia hết cho a chia hết cho b) Nếu a  b a2  b2 c) Nếu a chia hết cho a chia hết cho d) Số  lớn nhỏ e) hai số nguyên tố f) 81 số phương g) > < h) Số 15 chia hết cho cho Baøi Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng có cạnh c) Một tam giác tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 600 d) Một tam giác tam giác vuông có góc tổng hai góc cịn lại e) Đường trịn có tâm đối xứng trục đối xứng f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng g) Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với h) Một tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc vng Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? Phát biểu mệnh đề thành lời: a) x  R, x  b) x  R, x  x c) x  Q, 4x   d) n  N , n2  n e) x  R, x  x   f) x  R, x   x  g) x  R, x   x  h) x  R, x   x  i) x  R,5x  3x  k) x  N , x  x  hợp số l) n  N , n2  không chia hết cho m) n  N * , n(n  1) số lẻ n) n  N * , n(n  1)(n  2) chia hết cho Baøi Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để mệnh đề đúng: a)     b) ab  a  b  c) ab  a  b  d) ab  a  b  a  b  e) Một số chia hết cho chia hết cho … cho f) Một số chia hết cho chữ số tận … Baøi Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x  R Tìm x để P(x) mệnh đề đúng: a) P( x ) : " x  5x   0" b) P ( x ) : " x  5x   0" d) P( x ) : " x  x " e) P( x ) : "2 x   7" Baøi Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) Số tự nhiên n chia hết cho cho b) Số tự nhiên n có chữ số tận c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa d) Số tự nhiên n có ước số n Baøi Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: c) P( x ) : " x  x  0" f) P( x ) : " x  x   0" a) x  R : x  b) x  R : x  x c) x  Q : x   d) x  R : x  x   e) x  R : x  x   f) x  R : x  Trang Trần Sĩ Tùng g) n  N , n2  không chia hết cho h) n  N , n2  2n  số nguyên tố i) n  N , n2  n chia hết cho k) n  N , n2  số lẻ Baøi Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Nếu số tự nhiên có chữ số tận chữ số chia hết cho b) Nếu a  b  hai số a b phải dương c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d) Nếu a  b a2  b2 e) Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c Bài 10 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với b) Nếu hai tam giác chúng có diện tích c) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc với d) Nếu tứ giác H hình chữ nhật có ba góc vng e) Nếu tam giác K có hai góc Bài 11 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần đủ": a) Một tam giác vng có góc tổng hai góc cịn lại b) Một tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng c) Một tứ giác nội tiếp đường trịn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho chia hết cho cho e) Số tự nhiên n số lẻ n2 số lẻ Baøi 12 Chứng minh mệnh đề sau phương pháp phản chứng: a) Nếu a  b  hai số a b nhỏ b) Một tam giác tam giác có góc nhỏ 600 c) Nếu x  1 y  1 x  y  xy  1 d) Nếu bình phương số tự nhiên n số chẵn n số chẵn e) Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn f) Nếu tứ giác có tổng góc đối diện hai góc vng tứ giác nội tiếp đường trịn g) Nếu x  y  x = y = Trần Sĩ Tùng II TẬP HỢP Tập hợp  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa  Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp  Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu  Tập hợp – Tập hợp  A  B   x  A  x  B  + A  A, A +   A , A + A  B, B  C  A  C  A  B   A  B vaø B  A  Một số tập tập hợp số thực  N*  N  Z  Q  R  Khoảng: (a; b)   x  R a  x  b ; (a; )   x  R a  x ; (; b)   x  R x  b  Đoạn: [a; b]   x  R a  x  b  Nửa khoảng: [a; b)   x  R a  x  b ; (a; b]   x  R a  x  b ; [a; )   x  R a  x ; (; b]   x  R x  b Các phép toán tập hợp  Giao hai tập hợp: A  B  x x  A vaø x  B  Hợp hai tập hợp:  Hiệu hai tập hợp: Phần bù: A  B   x x  A hoaë c x  B A \ B  x x  A x  B Cho B  A C A B  A \ B Baøi Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó:   C =  x  R (6 x  x  1)( x  5x  6)  0 A = x  R (2 x  5x  3)( x  x  3)  E =  x  N x    x vaø 5x   x  1   B = x  R ( x  10 x  21)( x  x )  D =  x  Z x  x   0 F =  x  Z x   1 G =  x  N x  5 H =  x  R x  x   0 Baøi Viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trưng cho phần tử nó: A = 0; 1; 2; 3; 4 B = 0; 4; 8; 12; 16 C = 3 ; 9;  27; 81 D = 9; 36; 81; 144 E = 2,3,5,7,11 F =  3,6,9,12,15 G = Tập tất điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB H = Tập tất điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước có bán kính Bài Trong tập hợp sau đây, tập tập rỗng: A =  x  Z x  1   B =  x  R x  x   0   C = x  Q x2  4x   D = x Q x2   E =  x  N x  x  12  0 F =  x  R x  x   0 Bài Tìm tất tập con, tập gồm hai phần tử tập hợp sau: A = 1, 2 B = 1, 2, 3 C = a, b, c, d Trang Trần Sĩ Tùng  D =  x  R x  x   0  E = x  Q x2  4x   Baøi Trong tập hợp sau, tập tập tập nào? a) A = 1, 2, 3 , B =  x  N x  4 , C = (0;   ) , D =  x  R x  x   0 b) A = Tập ước số tự nhiên ; B = Tập ước số tự nhiên 12 c) A = Tập hình bình hành; B = Tập hình chữ nhật; C = Tập hình thoi; D = Tập hình vuông d) A = Tập tam giác cân; B = Tập tam giác đều; C = Tập tam giác vuông; D = Tập tam giác vuông cân Bài Tìm A  B, A  B, A \ B, B \ A với: a) A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12} b) A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4} c) A =  x  R x  x   0 , B =  x  R x   1 d) A = Tập ước số 12, B = Tập ước số 18   e) A = x  R ( x  1)( x  2)( x  8x  15)  , B = Tập số nguyên tố có chữ số   f) A =  x  Z x  4 , B = x  Z (5x  3x )( x  x  3)    g) A = x  N ( x  9)( x  5x  6)  , B = x  N x số nguyê n tố , x  5 Bài Tìm tất tập hợp X cho: a) {1, 2}  X  {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2}  X = {1, 2, 3, 4} c) X  {1, 2, 3, 4}, X  {0, 2, 4, 6, 8} d) Bài Tìm tập hợp A, B cho: a) AB = {0;1;2;3;4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10} b) AB = {1;2;3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9} Bài Tìm A  B, A  B, A \ B, B \ A với: a) A = [–4; 4], B = [1; 7] b) A = [–4; –2], B = (3; 7] c) A = [–4; –2], B = (3; 7) d) A = (–; –2], B = [3; +) e) A = [3; +), B = (0; 4) f) A = (1; 4), B = (2; 6) Bài 10 Tìm A  B  C, A  B  C với: a) A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2) b) A = (–; –2], B = [3; +), C = (0; 4) c) A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1] d) A = (−; 2], B = [2; +), C = (0; 3) e) A = (−5; 1], B = [3; +), C = (−; −2) Baøi 11 Chứng minh rằng: a) Nếu A  B A  B = A b) Nếu A  C B  C (A  B)  C c) Nếu A  B = A  B A = B d) Nếu A  B A  C A  (B  C) Trần Sĩ Tùng III SỐ GẦN ĐÚNG – SAI SỐ Số gần Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần Sai số tuyệt đối Nếu a số gần số a a  a  a đgl sai số tuyệt đối số gần a Độ xác số gần Nếu a  a  a  d a  d  a  a  d Ta nói a ssố gần a với độ xác d, qui ước viết gọn a  a  d Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a tỉ số sai số tuyệt đối a , kí hiệu  a  a a   a nhỏ độ xác phép đo đạc tính tốn lớn  Ta thường viết  a dạng phần trăm Qui tròn số gần  Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số  Nếu chữ số sau hàng qui trịn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn Nhận xét: Khi thay số số qui tròn đến hàng sai sơ tuyệt đối số qui trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng qui trịn Như vậy, độ xác số qui trịn nửa đơn vị hàng qui tròn Chữ số Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a, chữ số đgl chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Trang Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I HÀM SỐ Định nghĩa  Cho D  R, D   Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x  D với số y  R  x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị hàm số f x Kí hiệu: y = f(x)  D đgl tập xác định hàm số  T =  y  f ( x ) x  D đgl tập giá trị hàm số Cách cho hàm số  Cho bảng  Cho biểu đồ  Cho công thức y = f(x) Tập xác định hàm số y = f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f(x) xác định tập D tập hợp tất điểm M  x; f ( x )  mặt phẳng toạ độ với x  D Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y = f(x) đường Khi ta nói y = f(x) phương trình đường Sư biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K  Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Tính chẵn lẻ hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D  Hàm số f đgl hàm số chẵn với x  D –x  D f(–x) = f(x)  Hàm số f đgl hàm số lẻ với x  D –x  D f(–x) = –f(x) Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định hàm số  Tìm tập xác định D hàm số y = f(x) tìm tất giá trị biến số x cho biểu thức f(x) có nghĩa: D =  x  R f ( x ) có nghóa  Điều kiện xác định số hàm số thường gặp: 1) Hàm số y = P( x ) : Q( x ) Điều kiện xác định: Q(x)  2) Hàm số y = R( x ) : Điều kiện xác định: R(x)  Chú ý: + Đôi ta sử dụng phối hợp điều kiện với + Điều kiện để hàm số xác định tập A A  D A  + A.B    B  Trần Sĩ Tùng Bài 13 Tình giá trị hàm số sau điểm ra: a) f ( x)  5x Tính f(0), f(2), f(–2), f(3) b) f ( x )  x 1 x  3x  c) f ( x)  x   x   x    d) f ( x )   x   x   Tính f(2), f(0), f(3), f(–2)  Tính f(2), f(–2), f(0), f(1) x0  x  Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3) x2 1 x   x  Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5) e) f ( x )  0 1 x   Bài 14 Tìm tập xác định hàm số sau: 2x  x 3 a) y  b) y  c) y  x4 3x   2x x 1 3x x d) y  e) y  f) y  2 2 x  5x  x  3x  x  x 1 2x  x 1 g) y  h) y  i) y  x  2x2  x 1 ( x  2)( x  x  3) Bài 15 Tìm tập xác định hàm số sau: a) y  x  d) y  x   g) y  b) y  x 3 e) y   2x ( x  2) x  Bài 16 Tìm a để hàm số xác định tập K ra: 2x  a) y  ; K = R x  6x  a  3x  b) y  ; K = R x  2ax  d) y  x  3a   K = (0; +) xa ; K = (0; +) x  a 1 x  2a ; x  a 1 f) y    x  2a  ; xa e) y  x  a   ; xa e) y  f) y  x   x  ( x  2) x  h) y  x   c) y  x  a  x  a  ; c) y   x  x  2x  3 x i) y  x   ĐS: a > 11 ĐS: –2 < a < ĐS: a  ĐS:  a  K = (–1; 0) ĐS: a  a  K = (–1; 0) ĐS: –3  a  –1 K = (1; +) ĐS: –1  a  Trang x 4 Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 2: Xét biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K  y = f(x) đồng biến K  x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 ) 0 x2  x1  y = f(x) nghịch biến K  x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 ) 0 x2  x1 Baøi Xét biến thiên hàm số sau khoảng ra: a) y  x  ; R b) y   x  ; R c) y  x  x ; (–; 2), (2; +) d) y  x  x  ; (–; 1), (1; +) ; (–; –1), (–1; +) f) y  ; (–; 2), (2; +) 2 x x 1 Bài Với giá trị m hàm số sau đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định): a) y  (m  2) x  b) y  (m  1) x  m  e) y  c) y  m x 2 d) y  m 1 x VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ hàm số Để xét tính chẵn lẻ hàm số y = f(x) ta tiến hành bước sau:  Tìm tập xác định D hàm số xét xem D có tập đối xứng hay khơng  Nếu D tập đối xứng so sánh f(–x) với f(x) (x thuộc D) + Nếu f(–x) = f(x), x  D f hàm số chẵn + Nếu f(–x) = –f(x), x  D f hàm số lẻ Chú ý: + Tập đối xứng tập thoả mãn điều kiện: Với x  D –x  D + Nếu x  D mà f(–x)   f(x) f hàm số khơng chẵn khơng lẻ Bài Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a) y  x  x  b) y  2 x  x c) y  x   x  d) y  x   x  e) y  ( x  1)2 f) y  x  x g) y  x2  x h) y  x 1  x 1 x 1  x 1 i) y  x  x Trần Sĩ Tùng II HÀM SỐ BẬC NHẤT Hàm số bậc y = ax + b (a  0)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến R + Khi a < 0, hàm số nghịch biến R  Đồ thị đường thẳng có hệ số góc a, cắt trục tung điểm B(0; b) Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (d): y = ax + b: + (d) song song với (d)  a = a b  b + (d) trùng với (d)  a = a b = b + (d) cắt (d)  a  a Hàm số y  ax  b (a  0)  b x   ax  b  a y  ax  b   b (ax  b) x    a  Chú ý: Để vẽ đồ thị hàm số y  ax  b ta vẽ hai đường thẳng y = ax + b y = –ax – b, xoá hai phần đường thẳng nằm phía trục hồnh Bài Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y  x  c) y  b) y  3 x  Bài Tìm toạ độ giao điểm cặp đường thẳng sau: a) y  x  2; x 3 b) y  3 x  2; y  2x  d) y  5 x y  4( x  3) x 3 5 x ; y Baøi Trong trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị hàm số y  2 x  k ( x  1) : a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3) c) y  x; d) y  y  x  c) Song song với đường thẳng y  2.x Baøi Xác định a b để đồ thị hàm số y  ax  b : a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8) b) Đi qua điểm M(4; –3) song song với đường thẳng d: y   x  y c) Cắt đường thẳng d1:    x  điểm có hồnh độ –2 cắt đường thẳng d2: y  –3 x  điểm có tung độ –2 d) Song song với đường thẳng y  x qua giao điểm hai đường thẳng y   x  y  x  Baøi Trong trường hợp sau, tìm giá trị m cho ba đường thẳng sau phân biệt đồng qui: a) y  x; y   x  3; y  mx  y  3x  m b) y  –5( x  1); y  mx  3; c) y  x  1; y   x; y  (3  2m) x  Trang 10 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1 F2 = 2c (c > 0) M Ỵ ( E ) Û MF + MF2 = a (a > c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình tắc elip x2 + y2 =1 (a > b > 0, b2 = a2 - c2 ) a b · Toạ độ tiêu điểm: F1 (-c; 0), F2 (c; 0) · Với M(x; y) Ỵ (E), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1 = a + c c x , MF2 = a - x a a Hình dạng elip · (E) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng · Toạ độ đỉnh: A1 (- a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; - b), B2 (0; b) trục lớn: A1 A2 = a , trục nhỏ: B1B2 = b · Độ dài trục: c (0 < e < 1) a · Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b (ngoại tiếp elip) Đường chuẩn elip (chương trình nâng cao) a · Phương trình đường chuẩn Di ứng với tiêu điểm Fi là: x ± = e MF1 MF2 = =e · Với M Ỵ (E) ta có: (e < 1) d ( M , D1 ) d ( M , D2 ) · Tâm sai (E): e= VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (E) Các yếu tố: x2 y2 = Xác định a, b, c a2 b2 – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1 (-c; 0), F2 (c; 0) Đưa phương trình (E) dạng tắc: + – Toạ độ đỉnh A1 (- a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; - b), B2 (0; b) – Tâm sai e = c a – Phương trình đường chuẩn x ± Trang 39 a =0 e Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Baøi Cho elip (E) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai, phương trình đường chuẩn (E), với (E) có phương trình: x y2 a) + =1 x y2 b) + =1 16 x y2 c) + =1 25 x y2 d) + =1 e) 16 x + 25 y = 400 f) x + y = g) x + y = h) x + 25y = Baøi a) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (E) Để lập phương trình tắc (E) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (E) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (E): c + b2 = a2 - c + e= + Các tiêu điểm F1 (-c; 0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1 (- a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; - b), B2 (0; b) Baøi Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 6, trục nhỏ b) Độ dài trục lớn 10, tiêu cự c) Độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ tiêu cự d) Tiêu cự qua điểm M ( 15; -1) e) Độ dài trục nhỏ qua điểm M ( -2 5; ) e) Một tiêu điểm F1 (-2; 0) độ dài trục lớn 10 æ 3ö f) Một tiêu điểm F1 ( - 3; ) v i qua im M ỗ 1; ÷ è ø ỉ g) Đi qua hai im M (1; 0), N ỗ ;1 ữ è ø h) Đi qua hai điểm M ( 4; - ) , N ( 2;3) Bài Lập phương trình tắc (E), biết: a) Độ dài trục lớn 10, tâm sai b) Một tiêu điểm F1 (-8; 0) tâm sai c) Độ dài trục nhỏ 6, phương trình đường chuẩn x ± 16 = d) Một đỉnh A1 (-8; 0) , tâm sai ỉ 5ư e) Đi qua điểm M ç 2; - ÷ có tâm sai è 3ø Baøi a) Trang 40 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (E) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) Ỵ (E): c c MF1 = a + x , MF2 = a - x a a Baøi Cho elip (E) đường thẳng d vng góc với trục lớn tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 Baøi Cho elip (E) Tìm điểm M Ỵ (E) cho: i) MF1 = MF2 ii) MF2 = MF1 c) x + 16 y = 112 iii) MF1 = MF2 a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Bài Cho elip (E) Tìm điểm M Ỵ (E) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Bài Cho elip (E) Tìm điểm M Ỵ (E) nhìn hai tiêu điểm góc 60 , với: a) x + 25y = 225 b) x + 16 y = 144 c) x + 16 y = 112 Baøi a) VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1 + MF2 = a Þ Tập hợp elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a Dạng 2: x2 a2 + y2 b2 = (a > b) Þ Tập hợp elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b Bài Cho đường trịn (C): x + y - x - 55 = điểm F (-3; 0) : a) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (C¢) di động qua F1 tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tập hợp Bài Cho hai đường tròn (C): x + y + x - 32 = (C¢): x + y - x = : a) Chứng minh (C) (C¢) tiếp xúc b) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (T) di động tiếp xúc với hai đường tròn c) Viết phương trình tập hợp Bài Tìm tập hợp điểm M có tỉ số khoảng cách từ đến điểm F đến đường thẳng D e, với: 1 a) F (3; 0), D : x - 12 = 0, e = b) F (2; 0), D : x - = 0, e = 2 c) F (-4; 0), D : x + 25 = 0, e = d) F (3; 0), D : x - 25 = 0, e = 5 Baøi Cho hai điểm A, B chạy hai trục Ox Oy cho AB = 12 a) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB Trang 41 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng b) Tìm tập hợp điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k = - Bài a) VẤN ĐỀ 5: Một số tốn khác Bài Tìm tâm sai (E) trường hợp sau: a) Mỗi đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc vng b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc vng c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc 60 d) Độ dài trục lớn k lần độ dài trục nhỏ (k > 1) e) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục nhỏ tiêu cự Baøi Cho elip (E): x2 a2 lượt A B + y2 b2 a) Chứng minh = Một góc vng đỉnh O quay quanh O, có cạnh cắt (E) lần + khơng đổi OA OB b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB Suy đường thẳng AB ln tiếp xúc với đường trịn (C) cố định Tìm phương trình (C) 1 1 1 ab + b) = + = + Þ OH = HD: a) a2 b2 OH OA2 OB a2 b2 a2 + b x2 y2 = Gọi F1, F2 tiêu điểm, A1, A2 đỉnh trục lớn, M a2 b2 điểm tuỳ ý thuộc (E) Baøi Cho elip (E): a) Chứng minh: + MF1.MF2 + OM = a2 + b2 b) Gọi P hình chiếu M trục lớn Chứng minh: Baøi a) Trang 42 MP b2 = A1P A2 P a2 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG HYPEBOL Định nghĩa Cho F1, F2 cố định với F1 F2 = 2c (c > 0) M Ỵ ( H ) Û MF - MF2 = a (a < c) F1, F2: tiêu điểm, F1F2 = 2c : tiêu cự Phương trình tắc hypebol x2 - y2 =1 (a, b > 0, b2 = c - a2 ) a b · Toạ độ tiêu điểm: F1 (-c; 0), F2 (c; 0) · Với M(x; y) Ỵ (H), MF1 , MF2 đgl bán kính qua tiêu điểm M MF1 = a + c c x , MF2 = a - x a a Hình dạng hypebol · (H) nhận trục toạ độ làm trục đối xứng gốc toạ độ làm tâm đối xứng · Toạ độ đỉnh: A1 (-a; 0), A2 (a; 0) · Độ dài trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b c · Tâm sai (H): e= (e > 1) a · Hình chữ nhật sở: tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b · Phương trình đường tiệm cận: b y = ± x a Đường chuẩn hypebol · Phương trình đường chuẩn Di ứng với tiêu điểm Fi là: x ± · Với M Ỵ (H) ta có: MF1 MF2 = =e d ( M , D1 ) d ( M , D2 ) a =0 e (e < 1) VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (H) Các yếu tố: x2 y2 = Xác định a, b, c a2 b – Độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b – Tiêu cự 2c – Toạ độ tiêu điểm F1 (-c; 0), F2 (c; 0) Đưa phương trình (H) dạng tắc: - – Toạ độ đỉnh A1 (-a; 0), A2 (a; 0) – Tâm sai e = c a b – Phương trình đường tiệm cận: y = ± x a a – Phương trình đường chuẩn x ± = e Trang 43 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Baøi Cho hypebol (H) Xác định độ dài trục, tiêu cự, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, tâm sai, phương trình đường tiệm cận, phương trình đường chuẩn (H), với (H) có phương trình: a) x2 y2 =1 16 e) 16 x - 25y = 400 b) x2 y2 =1 16 c) f) x - y2 = x2 y2 =1 25 g) x - y = d) x2 y2 =1 h) x - 25y = Baøi a) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (H) Để lập phương trình tắc (H) ta cần xác định độ dài nửa trục a, b (H) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (H): c + b = c2 - a + e= + Các tiêu điểm F1 (-c; 0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1 (-a; 0), A2 (a; 0) Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Độ dài trục thực 6, trục ảo b) Độ dài trục thực 8, tiêu cự 10 x 13 d) Độ dài trục thực 48, tâm sai 12 e) Độ dài trục ảo 6, tâm sai Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Một đỉnh A(5; 0), tiêu điểm F(6; 0) b) Một tiêu điểm F(–7; 0), tâm sai e = c) Tiêu cự 13 , tiệm cận y = c) (H) qua hai điểm M ( 2; ) , N (-3; 4) d) Độ dài trục thực qua điểm A(5; –3) e) Tiêu cự 10 qua điểm A(–4; 3) f) Có tiêu điểm với elip (E): 10 x + 36 y - 360 = , tâm sai Bài Lập phương trình tắc (H), biết: a) Một đỉnh A(–3; 0) tiệm cận d: x - y = b) Hai tiệm cận d: x ± y = khoảng cách hai đường chuẩn c) Tiêu cự hai tiệm cận vng góc với d) Hai tiệm cận d: x ± y = hai đường chuẩn D: x ± 16 = e) Đi qua điểm E(4; 6) hai tiệm cận d: 3x ± y = Baøi a) Trang 44 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (H) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: · Các cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) Ỵ (H): c c MF1 = a + x , MF2 = a - x a a · Nếu M thuộc nhánh phải x ³ a c c Þ MF1 = x + a , MF2 = x - a (MF1 > MF2) a a · Nếu M thuộc nhánh trái x £ – a ỉc ỉc Þ MF1 = - ỗ x + a ữ , MF2 = - ç x - a ÷ (MF1 < MF2) èa ø èa ø Baøi Cho hypebol (H) đường thẳng d vng góc với trục thực tiêu điểm bên trái F cắt (H) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF1 , MF2 , MN a) 16 x - y = 144 b) 12 x - y = 48 c) 10 x + 36 y - 360 = Baøi Cho hypebol (H) Tìm điểm M Ỵ (H) cho: i) MF2 = MF1 ii) MF1 = 3MF2 iii) MF1 = MF2 iv) MF1 = MF2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 =1 b) =1 c) =1 d) - y2 = 16 12 Bài Cho hypebol (H) Tìm điểm M Ỵ (H) nhìn hai tiêu điểm góc vng, với: a) x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 - y2 = b) =1 c) =1 d) =1 4 12 16 Baøi Cho hypebol (H) Tìm điểm M Ỵ (H) nhìn hai tiêu điểm góc a, với: a) a) Baøi x2 y2 = 1, a = 120 b) x2 y2 = 1, a = 120 36 13 c) x2 y2 = 1, a = 600 16 a) VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF1 - MF2 = a Þ Tập hợp hypebol (H) có hai tiêu điểm F1, F2, trục thực 2a Dạng 2: x2 a2 - y2 b2 = Þ Tập hợp hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b Baøi Cho đường tròn (C): x + y + x = điểm F2 (2; 0) a) Tìm toạ độ tâm F1 bán kính R (C) b) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (C¢) di động ln qua F2 tiếp xúc với (C) c) Viết phương trình tập hợp Trang 45 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Bài Cho hai đường trịn (C): x + y + 10 x + = (C¢): x + y - 10 x + 21 = a) Xác định tâm tính bán kính (C) (C¢) b) Tìm tập hợp tâm M đường trịn (T) tiếp xúc với (C) (C¢) c) Viết phương trình tập hợp y2 HD: c) (H): x = 24 Baøi Cho hai đường thẳng D: x - y = D¢: x + y = a) Tìm tập hợp (H) điểm M có tích khoảng cách từ M đến D D¢ 100 29 b) Viết phương trình đường tiệm cận (H) c) Gọi N điểm (H) Chứng minh tích khoảng cách từ N đến đường tiệm cận (H) số khơng đổi Bài Tìm tập hợp điểm M có tỉ số khoảng cách từ đến điểm F đến đường thẳng D e, với: 3 ,e= 3 d) F ( 3; ) , D : x - = 0, e = a) F (4; 0), D : x - = 0, e = c) F (6; 0), D : x - = 0, e = Baøi b) F (3 2; 0), D : x a) VẤN ĐỀ 5: Một số tốn khác Bài Cho hypebol (H): x - 16 y - 144 = a) Viết phương trình đường chuẩn (H) b) Viết phương trình đường tiệm cận (H) c) Gọi M điểm (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số khơng đổi Bài Cho hypebol (H): x - 16 y - 144 = a) Tìm điểm M (H) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái lần bán kính qua tiêu điểm bên phải M b) Tìm điểm N (H) cho · = 90 F NF c) Chứng minh đường thẳng d cắt (H) P, Q cắt hai đường tiệm cận P¢, Q¢ PP¢ = QQ¢ HD: c) Chứng tỏ hai đoạn PQ P¢Q¢ có chung trung điểm x2 y2 = a2 b a) Gọi M điểm tuỳ ý (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số khơng đổi b) Từ điểm N (H), dựng hai đường thẳng song song với hai đường tiệm cận, với hai đường tiệm cận tạo thành hình bình hành Tính diện tích hình bình hành Bài Cho hypebol (H): HD: a) Bài a b2 a +b - b) ab a) Trang 46 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng V PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PARABOL Định nghĩa Cho điểm F đường thẳng D khơng qua F M Ỵ ( P ) Û MF = d ( M , D) F: tiêu điểm, D: đường chuẩn, p = d ( F , D) : tham số tiêu Phương trình tắc parabol y = px · Toạ tiờu im: (p > 0) ổp F ỗ ;0÷ è2 ø · Phương trình đường chuẩn: D: x + p = · Với M(x; y) Î (P), bán kính qua tiêu điểm M MF = x + p Hình dạng parabol · (P) nằm phía bên phải trục tung · (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng · Toạ độ đỉnh: O(0; 0) · Tâm sai: e = VẤN ĐỀ 1: Xác định yếu tố (P) Đưa phương trình (P) dạng tắc: y = px Xác định tham số tiêu p Các yếu tố: ỉp – To tiờu im F ỗ ; ữ è2 ø – Phương trình đường chuẩn D: x + p = Baøi Cho parabol (P) Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn (P), với: a) ( P ) : y = x b) ( P ) : y = x c) ( P ) : y = 16 x d) ( P ) : y = x Baøi a) VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình tắc (P) Để lập phương trình tắc (P) ta cần xác định tham số tiêu p (P) Chú ý: Công thức xác định yếu tố (P): ỉp p – Toạ độ tiờu im F ỗ ; ữ Phng trỡnh đường chuẩn D: x + = è2 ø Bài Lập phương trình tắc (P), biết: a) Tiêu điểm F(4; 0) b) Tiêu điểm F(3; 0) c) Đi qua điểm M(1; –4) c) Đường chuẩn D: x + = d) Đường chuẩn D: x + = e) Đi qua điểm M(1; –2) Bài Lập phương trình tắc (P), biết: Trang 47 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng a) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải elip (E): x + y = 45 b) Tiêu điểm F trùng với tiêu điểm bên phải hypebol (H): 16 x - y = 144 c) Tiêu điểm F trùng với tâm đường tròn (C): x - x + y + = Bài a) VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm (P) thoả mãn điều kiện cho trước Chú ý: Cơng thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm điểm M(x; y) Ỵ (P): p MF = x + Baøi Cho parabol (P) đường thẳng d vng góc với trục đối xứng tiêu điểm F cắt (P) hai điểm M, N i) Tìm toạ độ điểm M, N ii) Tính MF , MN a) ( P ) : y = x b) ( P ) : y = x c) ( P ) : y = 16 x d) ( P ) : y = x Bài Cho parabol (P) i) Tìm điểm M Ỵ (P) cách tiêu điểm F đoạn k ii) Chọn M có tung độ dương Tìm điểm A Ỵ (P) cho DAFM vng F a) ( P ) : y = x , k = 10 b) ( P ) : y = x , k = c) ( P ) : y = 16 x , k = Baøi Cho parabol (P) đường thẳng d có hệ số góc m quay quanh tiêu điểm F (P) cắt (P) hai điểm M, N i) Chứng minh xM xN không đổi ii) Tính MF, NF, MN theo m a) ( P ) : y = x b) ( P ) : y = x c) ( P ) : y = 16 x d) ( P ) : y = x Baøi a) VẤN ĐỀ 4: Tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa dạng: Dạng 1: MF = d ( M , D) Þ Tập hợp (P) có tiêu điểm F ỉp Dạng 2: y = px Þ Tập hợp (P) có tiêu điểm F ç ; ÷ è2 ø Bài Tìm tập hợp tâm M đường tròn (C) di động qua điểm F tiếp xúc với đường thẳng D, với: a) F (2; 0), D : x + = b) F (3; 0), D : x + = c) F (1; 0), D : x + = Baøi Cho parabol (P) Đường thẳng d quay quanh O cắt (P) điểm thứ hai A Tìm tập hợp của: uuu r uuur r i) Trung điểm M đoạn OA ii) Điểm N cho NA + NO = a) y = 16 x b) y = x c) y = x Baøi a) Trang 48 d) y = x Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG III Bài Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y) a) Tìm hệ thức x y cho tam giác AMB vng M b) Tìm phương trình tham số phương trình tổng quát đường trung trực đoạn AB c) Tìm phương trình đường thẳng d qua A tạo với AB góc 60 HD: a) x + y - y - = b) x - y + = c) ( m 1) x - ( ± ) y ± - = Baøi Cho ba đường thẳng d1 : x + y - 12 = , d2 : x + y - = , d3 : x - y + = a) Chứng tỏ d1 d2 song song Tính khoảng cách d1 d2 b) Tìm phương trình đường thẳng d song song cách d1 d2 c) Tìm điểm M d3 cách d1 đoạn HD: a) b) x + y - = c) M(3; 2) M(1; 1) ì x = - 2m ì x = -5 + 4t , d : ợ y = -3 + m ỵ y = -7 + 3t a) Viết phương trình tham số đường thẳng D qua A cắt d, d¢ B, B¢ cho AB = AB¢ b) Gọi M giao điểm d d¢ Tính diện tích tam giác MBB¢ ì x = + 6t HD: a) D : í b) S = ỵ y = -3 + 2t Baøi Cho đường thẳng dm: (m - 2) x + (m - 1) y + 2m - = a) Chứng minh dm qua điểm cố định A b) Tìm m để dm cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0) Baøi Cho điểm A(2; –3) hai đường thẳng d : í c) Tìm phương trình đường thẳng qua A tạo với BC góc 450 d) Tìm m để đường thẳng dm tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R = HD: a) A(1; –3) b) £ m £ c) x + 5y + 14 = 0, x - y - = d) m = 3, m = Baøi Cho hai đường thẳng: d : x cos t + y sin t - 3cos t - sin t = d ¢ : x sin t - y cos t + cos t + sin t = a) Chứng minh d d¢ qua điểm cố định A, A¢ d ^ d¢ b) Tìm phương trình tập hợp giao điểm M d d¢ Viết phương trình tiếp tuyến tập hợp vẽ từ điểm B(5; 0) b) (C): ( x - 1)2 + ( y - 3)2 = x + 11y - 10 = 0, x + y - 10 = Baøi Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) trung điểm ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC a) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C b) Tìm phương trình trung tuyến AM, BN, CP c) Tính diện tích tam giác ABC HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1) b) x + y - 19 = 0, y = 3, x + y - 53 = c) S = 20 Baøi Cho tam giác ABC có A(8; 0), B(0; 6), C(9; 3) Gọi H chân đường cao vẽ từ C xuống cạnh AB a) Tìm phương trình cạnh AB đường cao CH HD: a) A(3; 2), A¢(–1; 4) Trang 49 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng b) Gọi I, K hình chiếu C Ox Oy Chứng minh I, H, K thẳng hàng Baøi Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2) Viết phương trình đường thẳng d biết: a) d qua A khoảng cách từ B đến d hai lần khoảng cách từ C đến d b) d qua C cắt trục Ox, Oy E F cho: OE + OF = -3 c) d qua B, cắt trục Ox, Oy M, N với x M > 0, y N > cho: + nhỏ OM ON HD: a) x - y - = 0, x - y - = b) x - y - = 0, x - y + = ii) x + y - 17 = c) i) x + y - = Bài Viết phương trình cạnh tam giác ABC, biết: a) Đỉnh B(2; 6), phương trình đường cao phân giác vẽ từ đỉnh là: x - y + 15 = 0, x + y + = b) Đỉnh A(3; –1), phương trình phân giác trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác là: x - y + 10 = 0, x + 10 y - 59 = HD: a) x - 3y + 10 = 0, x + y - 20 = 0, x + y - = b) x + y - 65 = 0, x - y - 25 = 0, 18 x + 13 y - 41 = Baøi 10 Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) đường thẳng d : x + y - = a) Viết phương trình đường trịn (C) qua A, B có tâm I Ỵ d ỉ1 b) Viết phương tiếp tuyến ca (C) k t im E ỗ ; ữ Tính độ dài tiếp tuyến è2 ø tìm toạ độ tiếp điểm c) Trên (C), lấy điểm F có xF = Viết phương trình đường trịn (C¢) đối xứng với (C) qua đường thẳng AF i) OM + ON nhỏ ii) HD: a) x + y - x + y - 15 = b) y - = 0, x - y + 10 = , d = , tiếp điểm (3; 4), (–1; 2) c) (C¢): x + y - 16 x - 8y + 55 = Baøi 11 Cho đường cong (Cm): x + y + mx - y - m + = a) Chứng minh với m, (Cm) đường trịn (Cm) ln qua điểm cố định A, B b) Tìm m để (Cm) qua gốc toạ độ O Gọi (C) đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm Viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng d : x + y - = chắn (C) dây cung có độ dài r c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có vectơ phương a = (-2;1) d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung Viết phương trình đường trịn ứng với m HD: a) A(1; 1), B(1; 3) b) m = 2, (C): x + y + x - y = , D1 : x + 3y - = 0, D2 : x + 3y + = c) x + y - = 0, x + y + = d) m = –2, x + y - x - y + = Baøi 12 Cho đường cong (Ct): x + y - x cos t - y sin t + cos 2t = (0 < t < p) a) Chứng tỏ (Ct) đường tròn với t b) Tìm tập hợp tâm I (Ct) t thay đổi c) Gọi (C) đường tròn họ (Ct) có bán kính lớn Viết phương trình (C) d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tạo với trục Ox góc 450 p HD: b) x + y = c) t = , (C ) : x + y - y - = Trang 50 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng d) x - y - = 0, x + y + = 0, x - y + = 0, x + y - = Baøi 13 Cho hai đường thẳng d1 : x - 3y + = 0, d2 : x + y + = a) Viết phương trình hai đường tròn (C1), (C2) qua gốc toạ độ O tiếp xúc với d1, d2 Xác định tâm bán kính đường trịn Gọi (C1) đường trịn có bán kính lớn b) Gọi A B tiếp điểm (C ) với d d Tính toạ độ A B Tính góc · AOB 1 c) Viết phương trình đường thẳng D cắt (C1) tạo dây cung nhận điểm E(4; –2) làm trung điểm d) Trên đường thẳng d3 : x + y - 18 = , tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến (C1) vng góc với HD: a) (C1 ) : x + y - x + y = 0, (C2 ) : x + y + x - y = c) D: x - y - = b) A(2; 2), B(0; –2), · = 1350 d) (5; 3), (7; –3) AOB Baøi 14 Cho đường tròn (C) qua điểm A(1; –1) tiếp xúc với đường thẳng D: x + = điểm B có yB = a) Viết phương trình đường trịn (C) b) Một đường thẳng d qua M(4; 0) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm d (C) HD: a) x + y - x - y - = 5 : điểm chung, k = : điểm chung, k > : không điểm chung 12 12 12 ì Bài 15 Cho số thực a, b, c, d thoả điều kiện: ía + b = Bằng phương pháp hình học, ỵc + d = b) k < chứng minh rằng: ac + cd + bd £ 9+6 HD: Xét đường tròn (C): x + y = đường thẳng d : x + y = Gọi M(a; b) Ỵ (C), N(c; d) Î d.Gọi A, B giao điểm (C) d với đường thẳng y = x ỉ 2ư (3 - ) ỉ3 3ư Þ Aỗ ; ữ , B ỗ ; ữ Tính MN = 10 – 2(ac + cd + bd ) , AB = è 2 ø è2 2ø Từ MN ³ AB ta suy đpcm Baøi 16 Cho elip (E): x + y - 36 = a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (E) b) Tính diện tích hình vng có đỉnh giao điểm (E) với đường phân giác góc toạ độ 144 HD: b) S = 13 Baøi 17 Cho elip (E): 16 x + 25 y - 400 = a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (E) æ 16 b) Viết phương trình đường phân giác ca gúc Ã2 vi M ỗ 3; - ữ v F1, F2 F1MF è 3ø tiêu điểm (E) 27 HD: b) x - y - 25 = 0, x + y =0 Baøi 18 Cho elip (E): x + y - 20 = điểm A(0; 5) Trang 51 Phương pháp toạ độ mặt phẳng Trần Sĩ Tùng a) Biện luận số giao điểm (E) với đường thẳng d qua A có hệ số góc k b) Khi d cắt (E) M, N, tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN é êk < - 1 : giao điểm, - < k < : không giao điểm, k = ± : giao điểm HD: a) ê 4 êk > ë b) x + y2 = 100 Baøi 19 Cho họ đường cong (Cm): x + y - mx + 2m - = (*) a) Tìm giá trị m để (Cm) đường trịn b) Tìm phương trình tập hợp (E) điểm M mặt phẳng Oxy cho ứng với điểm M ta có đường trịn thuộc họ (Cm) qua điểm M HD: a) –1 £ m £ x2 b) (E): + y = (Đưa PT (*) PT với ẩn m Tìm điều kiện để PT có nghiệm m nhất) x y2 + = 16 a) Viết phương trình tắc hypebol (H) có đỉnh tiêu điểm (E) tiêu điểm đỉnh (E) b) Tìm điểm M (H) cho bán kính qua tiêu điểm M vng góc với c) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm N (H) đến hai đường tiệm cận (H) số ỉ 9ư x2 y2 63 HD: a) =1 b) im M ỗ ; ± ÷ c) è 4ø 16 Baøi 20 Cho elip (E): Baøi 21 Cho hypebol (H): x - y - = a) Xác định độ dài trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh (H) b) Gọi d đường thẳng qua điểm A(1; 4) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm d (H) Baøi 22 Cho điểm A1 (-2; 0), A2 (2; 0) điểm M(x; y) Gọi M¢ điểm đối xứng M qua trục tung a) Tìm toạ độ điểm M¢ theo x, y Tìm phương trình tập hợp (H) điểm M thoả uuuur uuuuur MA2 M ¢ A2 = Chứng tỏ (H) hypebol Xác định toạ độ tiêu điểm phương trình đường tiệm cận (H) b) Viết phương trình elip (E) có đỉnh trục lớn (E) trùng với đỉnh (H) ỉ2 2 (E) qua điểm B ỗ ; ữ ố3 ứ c) Tỡm to độ giao điểm (H) với đường chuẩn (E) ỉ 3ư HD: a) x - y = b) (E): x + y = c) im ỗ ;± ÷ è 3 ø Bài 23 Cho hypebol (H): x - y - 20 = a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận (H) b) Gọi (C) đường trịn có tâm trùng với tiêu điểm F1 (có hồnh độ âm) (H) bán kính R độ dài trục thực (H) M tâm đường tròn qua tiêu điểm F2 tiếp xúc với (C) Chứng minh M (H) HD: b) (C): ( x + 3)2 + y = 20 Kiểm chứng MF1 - MF2 = = a Þ M Ỵ (H) Trang 52 Trần Sĩ Tùng Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi 24 Cho hypebol (H): x2 - y2 = ỉ 5ư a) Viết phương trình elip (E) có tiêu im vi (H) v i qua im P ỗ 2; ÷ è 3ø b) Đường thẳng d qua đỉnh A2 (E) (có hồnh độ dương) song song với đường thẳng D: x - 3y + 12 = Viết phương trình d Tìm toạ độ giao điểm B (khác A2) d với (E) Xác định điểm C Ỵ (E) cho tam giác A2BC có diện tích lớn HD: a) x y2 + =1 ỉ 20 æ 5ö b) d: x - 3y - = , B ỗ - ; - ữ , C ỗ -2; ữ ứ ố 3ứ ố x2 y2 = Gọi F1, F2 tiêu điểm A1, A2 đỉnh (H) a2 b Trên (H), lấy điểm M tuỳ ý, kẻ MP ^ Ox Chứng minh: Baøi 25 Cho hypebol (H): - a) ( MF1 + MF2 )2 = 4(OM + b ) b) PM A1P A2 P = b2 a2 HD: a) Viết ( MF1 + MF2 )2 = ( MF1 - MF2 )2 + MF1.MF2 b) Tính PM , A1P A2 P theo toạ độ điểm M Baøi 26 Cho parabol (P): y = x a) Tìm toạ độ tiêu điểm F phương trình đường chuẩn D (P) b) Tìm điểm M (P) mà khoảng cách từ M đến F HD: b) N(4; 4); N(4; –4) ỉ t2 Bài 27 Cho parabol (P): y = x có tiêu điểm F v im M ỗ ; t ữ (vi t 0) è2 ø a) Chứng tỏ M nằm (P) b) Đường thẳng FM cắt (P) N (khác M) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo t c) Tìm tập hợp (P¢) điểm I t thay đổi æ t + t2 - HD: b) I ỗ c) (PÂ): y = x ỗ ; 2t ữ ữ è 4t ø Baøi 28 Cho parabol (P): y = px (p > 0) Một đường thẳng d qua tiêu điểm F cắt (P) uuur M N Gọi t góc trục Ox FM 1 + không đổi FM FN b) Tìm giá trị nhỏ tích FM.FN Suy vị trí d p p 1 HD: a) FM = , FN = Þ + = - cos t + cos t FM FN p a) Chứng minh d di động quay quanh F tổng b) Áp dụng BĐT Cơ–si: 1 1 + ³2 FM FN FM FN ³2 Û FM FN ³ p2 p FM FN 1 p Dấu "=" xảy Û = Û cos t = Û t = Û d ^ Ox FM FN Û Baøi 29 a) Trang 53 ... = Tập ước số tự nhiên ; B = Tập ước số tự nhiên 12 c) A = Tập hình bình hành; B = Tập hình chữ nhật; C = Tập hình thoi; D = Tập hình vng d) A = Tập tam giác cân; B = Tập tam giác đều; C = Tập. .. tất tập con, tập gồm hai phần tử tập hợp sau: A = 1, 2 B = 1, 2, 3 C = a, b, c, d Trang Trần Sĩ Tùng  D =  x  R x  x   0  E = x  Q x2  4x   Baøi Trong tập hợp sau, tập tập tập. .. Tùng II TẬP HỢP Tập hợp  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa  Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập