1 Sơ Lược Về Phương Trình Bậc Cao Nguyễn Thành Luân, K33, SP Toán, ðại Học Cần Thơ Mai Quốc Tuấn, Tống Hoàng Nguyên, Võ Minh Nhật, lớp 10T1 THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long 1. Lời giới thiệu Con người ñã biết về phương trình và các cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai khá sớm (khoảng 2000 TCN ) nhưng mãi ñến ñến thế kỷ thứ XVI, các nhà toán học La Mã là Tartlia ( 1500 - 1557), Cardano (1501 - 1576) và nhà toán học Ferrari (1522 - 1565) mới giải ñược các phương trình bậc ba và bậc bốn dạng tổng quát. ðến tận ñầu thế kỷ XIX, nhà toán học người Na Uy Henrik Abel chứng minh ñược rằng không có cách giải phương trình tổng quát bậc lớn hơn bốn bằng các phương toán học thông thường của ñại số. Không lâu sau ñó, nhà toán học người Pháp Évariste Galois ñã hoàn tất công trình lý thuyết về phương trình ñại số của loài người. Chính vì vậy, trong chuyên ñề kì này chúng ta sẽ tìm hiểu kỉ hơn về cách giải các phương trình trên, kèm theo ñó là một số ví dụ cụ thể về các phương trình dạng ñặc biệt hơn. 2. Phương Trình Bậc 3 2.1 Phương trình bậc 3 có dạng 3 2 0 AX BX CX D + + + = ( ) 0 A ≠ (1) Vào n ă m 1545, Cardano ñ ã công b ố cách gi ả i ph ươ ng trình (1) Tr ướ c h ế t do 0 A ≠ nên chia hai v ế c ủ a (1) cho A , ta ñượ c ph ươ ng trình d ạ ng 3 2 0 X mX nX c + + + = (2) B ằ ng cách ñặ t 3 m X x = − , ta ñư a (2) v ề ph ươ ng trình b ậ c 3 thi ế u 3 0 x ax b + + = (3) , với 2 3 m a n= − và 3 2 27 3 m mn b c= + − ðặt x u v = + . Như thế v có thể chọn giá trị tùy ý. Thay vào (3) ta có 3 3 3 ( ) ( ) 0 ( ) ( )(3 ) 0 u v a u v b u v b u v uv a + + + + = ⇔ + + + + + = Ch ọn v sao cho 3 0 uv a + = , bài toán quy về hệ phương trình 3 3 3 u v b a uv   + = −     −  =     hay 3 3 3 3 3 27 u v b a u v   + = −     −  =     Nh ư vậy 3 3 , u v là nghiệm của phương trình 3 2 0 27 a t bt + − = (4) ðặt 3 2 4 27 a b∆ = + . N ếu 0 ∆ > thì phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt 3 2 b v − − ∆ = , 3 2 b u − + ∆ = Do ñó công thức nghiệm tồng quát của phương trình (3) là : 3 2 b x − + ∆ = + 3 2 b − − ∆ v ớ i 3 2 4 27 a b∆ = + V ậ y công th ứ c nghi ệ m t ổ ng quát c ủ a ph ươ ng trình (1) là 2 3 3 2 2 3 b b m X − + ∆ − − ∆ = + − V ớ i tr ườ ng h ợ p 0 ∆ ≤ thì c ũ ng có th ể s ử d ụ ng công th ứ c Cardano nh ư ng khi 0 ∆ < ph ả i bi ế t khai c ă n b ậ c ba c ủ a s ố ph ứ c, ñ ó là m ộ t v ấ n ñề r ấ t ph ứ c t ạ p. Sau ñ ây chúng tôi s ẽ gi ớ i thi ệ u v ớ i các b ạ n ph ươ ng pháp l ượ ng giác s ử d ụ ng khi 0 ∆ ≤ . Trong 3 3 0 x ax b x ax b + + = ⇔ + = − . Ta ñặ t cos x k y = thì 3 3 cos cos k y ak y b + = − (5) ðặt 2 4 3 a k = − (vì 0 ∆ ≤ thì 0 p ≤ ) thì phương trình (5) trở thành 3 3 3 3 4cos 3cos 4 b b y y ka a a − = = − . Nh ưng 3 2 4 3 3 3 0 1 27 4 a b b b ka a a ∆ = + ≤ ⇔ = ≤ − . ðặ t 3 cos b G ka = , thì 2 4cos 3cos cos y y G − = . Suy ra nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 3 0 x ax b + + = là 1 2 3 2 4 cos ; cos ; cos 3 3 3 G G G x k x k x k π π     + +     = = =             . Do ñó nghiệm tổng quát của phương trình (1) khi 0 ∆ ≤ là 1 2 3 2 4 cos , cos , cos 3 3 3 3 3 3 G m G m G m X k X k X k π π     + +     = − = − = −             . Nhận xét. 0 ∆ > thì phương trình (1) có 1 nghiệm ñơn. 0 ∆ = thì phươ ng trình (1) có 2 nghi ệ m, trong ñ ó có 1 nghi ệ m kép. 0 ∆ < thì ph ươ ng trình (1) có 3 nghi ệ m phân bi ệ t. Một số trường hợp ñặc biệt: N ế u 0 a b c d + + + = thì ( ) 1 có nghi ệ m 1 x = . N ế u 0 a b c d − + − = thì ( ) 1 có nghi ệ m 1 x = − . N ế u , , ,a b c d ∈ ℤ thì ( ) 1 thì có nghiệ m h ữ u t ỉ p q thì , p q theo th ứ t ự là ướ c c ủ a d và a . N ế u ( ) 3 3 , 0 ac db a d = ≠ thì ( ) 1 có nghi ệ m c x b = − Ví dụ. Giải phương trình 3 2 2 2 2 0 x x x + − − = . Lời giải. Nhận xét. Vì ( ) 3 3 3 1. 2 2 2 ac db= − = = − nên phương trình có nghiệm 2 c x b = − = . Bi ế n ñổ i ph ươ ng trình v ề d ạ ng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 2 1 2 0 2 2 1 2 0 x x x x x x x  − =  − − + + = ⇔ ⇔ =  − + + =   . 2.2 Một số ví dụ Ví dụ 1. Giải phương trình 3 2 3 12 16 0 y y y + + − = . Lời giải. ðặ t 1 y x = − , ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 12 1 16 0 9 26 0 x x x x x − + − + − − = ⇔ + − = . Ta có 3 3 2 2 4 4.(9) ( 26) 784 0 27 27 a b ∆ = + = − + = > , 3 26 784 27 3 1 2 2 b u u v − + ∆ + = = = ⇒ = ⇒ = − . 3 Vì phương trình 3 9 26 0 x x + − = có nghiệm 3 1 2 x = − = nên phương trình ñã cho có một nghiệm 1 y = . Ví dụ 2. Giải phương trình 3 2 7 11 5 0 3 9 y y y + + − = . Lời giải. ðặt 5 , 3 y x= − ta có 3 2 3 5 5 7 5 11 5 0 6 4 0 3 3 3 3 9 x x x x x             − + − + − − = ⇔ − + =                   3 3 2 2 2 4 4.( 6) 4 4 16 0, 8 2 2 27 27 3 a a b k k − − ∆ = + = + = − < = = ⇒ = Suy ra 3 3.4 1 cos 135 6.2 2 2 b G G ak − = = = ⇒ = ° − . Do ñ ó : 1 135 1 2 2.cos. 2 2. 2 3 2 x ° = = = , ( ) 2 135 360 2 2.cos. 2 2 cos165 2 2 cos15 3 1 3 x °+ ° = = ° =− ° =− − , 3 135 720 2 2.cos 2 2.cos285 2 2. cos75 3 1 3 x °+ ° = = ° = ° = − . Do ñ ó ph ươ ng trình ñ ã cho có nghi ệ m là 1 5 1 2 3 3 y = − = , ( ) 2 5 3 3 8 3 1 3 3 y − − = − + − = và 3 5 3 3 8 3 1 3 3 y − = − − = . 2.3 ðịnh lí Viète của phương trình bậc ba N ế u ph ươ ng trình b ậ c ba ( ) 3 2 0 0 Ax Bx Cx D A + + + = ≠ có 3 nghi ệ m 1 2 3 , , x x x thì 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 B x x x A C x x x x x x A D x x x A  −   + + =       + + =      −  =     . Bài tập áp dụng. Gi ả s ử ph ươ ng trình 3 2 0 x ax bx c + + + = có ba nghi ệ m 1 2 3 , , x x x . Hãy tìm m ố i liên h ệ gi ữ a , , a b c khi 2 1 3 2 x x x = . Lời giải. Theo ñị nh lí Viét, ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 6 7 8 x x x a x x x x x x b x x x c  + + =−     + + =    =−    . Gi ả s ử 2 1 3 2 . x x x = Có 2 kh ả n ă ng x ả y ra * 2 1 0 0 x x = ⇒ = ho ặ c 3 0 0 x b c = ⇒ = = * 2 0 x ≠ . Lúc này ta có th ể vi ế t h ệ th ứ c ñ ã cho là 1 2 2 3 . x x t x x = = T ừ ñ ó có th ể tính ñượ c 1 3 , x x theo t và 2 x : 1 2 x tx = và 2 3 x x t = . Thay vào (6), (7) và (8), ta thu ñượ c 2 3 2 2 2 1 1 1 , 1 , t x a t x b x c t t         + + =− + + = = −             . Chú ý r ằ ng 1 1 0 t t + + ≠ , ta suy ra h ệ th ứ c 3 3 3 3 2 2 b b x x c b a c a a   −   = − ⇒ = =− ⇒ =       . H ệ th ứ c này v ẫ n ñ úng khi 0 b c = = . V ậ y 3 3 b a c = là h ệ th ứ c c ầ n tìm. 4 3. Phương trình bậc 4 Ph ươ ng trình b ậ c b ố n là ph ươ ng trình có d ạ ng 4 3 2 0 Ax Bx Cx Dx E + + + + = , trong ñ ó x là ẩ n s ố còn , , , , A B C D E là các h ệ s ố v ớ i 0 a ≠ . Tr ướ c h ế t ta hãy xét m ộ t s ố d ạ ng ph ươ ng trình b ậ c b ố n mà qua phép bi ế n ñổ i ho ặ c ñặ t ẩ n ph ụ ta có th ể quy v ề vi ệ c gi ả i m ộ t ph ươ ng trình b ậ c hai 3.1 Phương trình trùng phương Ph ươ ng trình có d ạ ng 4 2 0 ax bx c + + = . ðặ t 2 0 y x = ≥ ta ñư a v ề vi ệ c gi ả i 2 0 0 ay by c y   + + =    ≥   . 3.2 Phương trình dạng ( ) ( ) 4 4 x a x b c + + + = . Có th ể ñư a v ề ph ươ ng trình trùng ph ươ ng nh ờ phép ñặ t ẩ n ph ụ 2 2 a b a b y x x y + + = + ⇒ = − . Khi ñ ó ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 a b a b a b b a x a x b y a y b y y         + − − −         + + + = − + + + + = + + +                         ðặ t 2 a b k − = . Ta có ( ) ( ) 4 4 4 2 2 4 2 12 2 y k y k y y k k c + + − = + + = . V ậ y ta có ph ươ ng trình trùng ph ươ ng 4 2 2 4 2 12 2 0 y y k k c + + − = v ớ i 2 a b k − = Ví dụ. Gi ả i ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) 4 4 1 3 256 1 x x− + + = Lời giải. ðặ t 1 y x = + . Khi ñ ó ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 1 2 2 256 2 48 112 0 y y y y ⇔ − + + = ⇔ + − = ðặ t 2 0 t y = ≥ , ta ñượ c 2 2 2 48 224 0 t t + − = 4 28 t t  =  ⇔  = −  . Vì 0 t ≥ nên 4 t = 2 y ⇒ = ± 1 x ⇒ = ho ặ c 3 x = . *Chú ý. N ế u c ầ n ki ể m tra ph ươ ng trình b ậ c b ố n d ạ ng t ổ ng quát 4 3 2 0 ax bx cx dx e + + + + = , ( ) 0 a ≠ có trùng ph ươ ng hay không ,ta ch ỉ c ầ n ñặ t ẩ n ph ụ 4 b t x a = + . N ế u sau khi thay vào ph ươ ng trình ñ ã cho ta không ñượ c ph ươ ng trình trùng ph ươ ng theo bi ế n t thì ph ươ ng trình ñ ã cho không thu ộ c thu ộ c d ạ ng trùng ph ươ ng. 3.3 Ph ươ ng trình d ạ ng ( ) ( ) ( ) ( ) x a x b x c x d m + + + + = v ớ i a b c d + = + . Vi ế t ph ươ ng trình ñ ã cho d ướ i d ạ ng ( ) ( ) 2 2 x a b x ab x c d x cd m     + + + + + + =         ðặ t ( ) 2 t x a b x ab = + + + ñư a v ề ph ươ ng trình b ậ c hai theo t . Ví dụ. Gi ả i ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 3 x x x x + + + + = ( ) 1 Lời giải. Nh ậ n xét 1 4 2 3 + = + nên ph ươ ng trình ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 2 5 4 5 6 3 x x x x + + + + = ðặ t 2 5 4 t x x = + + . Ta có ( ) 1 ( ) 2 3 t t ⇔ + = 2 2 3 0 1 3 t t t t ⇔ + − = ⇔ = ∨ = − Khi 2 2 5 13 1 5 4 1 5 3 0 2 t x x x x x − ± = ⇒ + + = ⇔ + + − ⇔ = . Khi 2 2 3 5 4 3 5 7 0 t x x x x = − ⇔ + + = − ⇔ + + = ph ươ ng trình vô nghi ệ m V ậ y ph ươ ng trình ( ) 1 có 2 nghi ệ m 1 2 5 13 5 13 , 2 2 x x − + − − = = 5 Chú ý. Ph ươ ng trình trên m ở r ộ ng thành ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 a x a b x b c x c d x d m + + + + = , v ớ i ñ i ề u ki ệ n 1 1 1 1 a b c d = và 1 2 2 1 1 2 2 1 a b a b c d c d + = + . Khi ñ ó ta ñặ t ( ) ( ) 1 2 1 2 t a x a b x b = + + Ví dụ. Gi ả i ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 3 9 x x x x − − − + = − Lời giải. Ph ươ ng trình vi ế t l ạ i d ướ i d ạ ng ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 3 9 9 x x x x − + − − = − . ðặ t 2 2 3 1 t x x = − + . Ta có ph ươ ng trình ( ) 10 9 t t − = − 2 10 9 0 1 9 t t t t ⇔ − + = ⇔ = ∨ = . V ớ i 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3 0 0 2 t x x x x x x = ⇒ − + = ⇔ − = ⇔ = ∨ = . V ớ i 2 2 3 73 9 2 3 1 9 2 3 8 0 4 t x x x x x ± = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ = . V ậ y ph ươ ng trình có 4 nghi ệ m 1 2 3 4 3 3 73 3 73 0, , , 2 4 4 x x x x + − = = = = . 3.4 Phương trình ñối xứng bậc bốn (Phương trình hối quy) Ph ươ ng trình ñố i x ứ ng b ậ c b ố n là ph ươ ng trình có d ạ ng 4 3 2 0 ax bx cx bx a + + + + = ( 0 a ≠ ) Cách giải. B ướ c 1. Ki ể m tra 0 x = có là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình hay không? B ướ c 2. Tìm nghi ệ m 0 x ≠ . Chia c ả hai v ế c ủ a ph ươ ng trình cho 2 x ta ñượ c 2 2 2 2 1 1 0 0 b a ax bx c a x b x c x x x x         + + + + = ⇔ + + + + =             (2) ðặ t 2 2 2 1 1 2 t x x t x x = + ⇒ + = − . Khi ñ ó ph ươ ng trình (2) tr ở thành 2 2 ( 2) 0 0 a t bt c at bt c − + + = ⇔ + + = V ớ i cách ñặ t 1 t x x = + , s ử d ụ ng b ấ t ñẳ ng th ứ c AM – GM, ta có 2 2 1 1 1 1 2 x x t x x x x x x + + = + = = = + ≥ . Nh ư v ậ y t ừ ph ươ ng trình ñố i x ứ ng b ậ c 4 ta chuy ể n v ề ph ươ ng trình b ậ c 2 theo bi ế n t v ớ i 2 t ≥ . Ví dụ. Gi ả i ph ươ ng trình 4 3 2 2 2 1 0 x x x x + + + + = . Lời giải. Vì 0 x = không là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình, chia hai v ế cho 2 x , ta ñượ c 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 0 2. 1 0 x x x x x x x x         + + + + = ⇔ + + + + =             . ðặ t 1 t x x = + , ta có 2 2 2 1 0 1 2 t t t − + + = ⇔ = − ± . Vì 2 t ≥ nên 1 2 t = − + . Suy ra ( ) 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 0 2 x x x x x − − ± − + = − − ⇔ + + + = ⇔ = . Chú ý. ðố i v ớ i ph ươ ng trình b ậ c 4 có h ệ s ố ñố i x ứ ng l ệ ch (ph ươ ng trình ph ả n h ồ i quy), d ạ ng ( ) 4 3 2 0 0 ax bx cx bx a a + + − + = ≠ thì ta v ẫ n có cách t ươ ng t ự và ñư a ph ươ ng trình ñ ã cho v ề d ạ ng 2 2 0 at bt c a + + + = . 6 3.5 Phương trình bậc 4 có hệ số ñối xứng tỉ lệ (phương trình phản hồi) Ph ươ ng trình ph ả n h ồ i là ph ươ ng trình có d ạ ng 4 3 2 2 0( 0, 0) ax bx cx bkx ak a k + + + + = ≠ ≠ . Cách gi ả i. T ươ ng t ự nh ư cách gi ả i các ph ươ ng trình trên h ồ i quy và ph ả n h ồ i quy, b ằ ng cách chia hai v ế cho 2 x (n ế u 0 x = không là nghi ệ m ), và ñặ t ẩ n ph ụ k t x x = + , ta ñượ c ph ươ ng trình 2 2 0 at bt c ak + + − = . Ví dụ. Gi ả i ph ươ ng trình 4 3 2 2 21 34 105 50 0 x x x x − + + + = . Lời giải. Ta có 0 x = không là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình, chia hai v ế c ủ a ph ươ ng trình cho 2 x . 2 2 2 2 105 50 25 5 2 21 34 0 2 21 34 0 x x x x x x x x         − + + + = ⇔ + − − + =             ðặ t 5 x t x − = 2 2 2 25 10 x t x ⇒ + = + , ta ñượ c ( ) 2 2 10 21 34 0 6 9 2 t t t t + − + = ⇔ = ∨ = . * Tr ườ ng h ợ p 1. 6 t = 5 6 x x ⇒ − = , ta có 2 6 5 0 3 14 x x x − − = ⇔ = ± . * Tr ườ ng h ợ p 2. 9 5 9 2 2 t x x = ⇒ − = , ta có 2 9 161 2 9 10 0 4 x x x ± − − = ⇔ = . 3.6 Cách giải tổng quát phương trình bậc 4 Không m ấ t tính t ổ ng quát (b ằ ng cách chia hai v ế c ủ a ph ươ ng trình cho h ệ s ố c ủ a 4 x ) ta ñư a ph ươ ng trình v ề d ạ ng 4 3 2 4 3 2 0 x ax bx cx d x ax bx cx d + + + + = ⇔ + = − − − Thêm 2 2 4 a x vào c ả hai v ế , ta ñượ c 2 2 2 2 . 2 4 ax a x x b cx d          + = − − −              . C ộ ng vào hai v ế c ủ a ph ươ ng trình này cho tam th ứ c 2 2 2 4 ax y x y     + +       v ớ i y là h ằ ng s ố ( ) 2 2 2 2 2 . 1 2 2 4 2 4 ax y a ay y x b y x c x d                   + + = − − + − + −                           Ch ọ n y sao cho tam th ứ c b ậ c hai ở v ế ph ả i có nghi ệ m kép, hay ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 4 0 4 4 0 2 2 4 4 ay a ay c b y d y by ac d y d c b c              ∆ = − − − + − = ⇔ − + − − − − =                    ð ây là m ộ t ph ươ ng trình b ậ c ba và ta ñ ã bi ế t cách gi ả i. ðặ t ( ) 2 2 2 2 . 4 2 4 a ay y b y x c x d Ax B               − + + − + − = +                     Gi ả s ử 0 y là m ộ t nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (2). Khi ñ ó thay 0 y vào ta ñượ c ph ươ ng trình (1) có d ạ ng ( ) 2 2 2 2 2 . 0 2 2 2 2 2 2 ax y ax y ax y x Ax B x Ax B x Ax B             + + = + ⇔ + + + + + + − − =                   2 2 0 0 2 2 2 2 ax y ax y x Ax B x Ax B ⇔ + + + + = ∨ + + − − = . Nh ư v ậ y vi ệ c gi ả i ph ươ ng trình b ậ c b ố n qui v ề vi ệ c gi ả i hai ph ươ ng trình b ậ c hai và m ộ t ph ươ ng trình b ậ c ba. Ví dụ. Gi ả i ph ươ ng trình 4 3 2 8 15 4 2 0 x x x x + + − − = . Lời giải. Ta có 7 ( ) 2 4 3 2 4 3 2 2 2 8 15 4 2 0 8 4 2 15 4 4 2 x x x x x x x x x x x x + + − − = ⇔ + = + − ⇔ + = + + . C ộ ng hai v ế c ủ a ph ươ ng trình trên cho ( ) 2 2 4 4 y x x y + + , ta ñượ c ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 4 4 2 2 4 y y x x y x y x          + + = + + + + +              (3). L ư u ý ch ọ n y sao cho v ế ph ả i là m ộ t bình ph ươ ng, mu ố n v ậ y, bi ệ t s ố ∆ c ủ a tam th ứ c b ậ c hai ñố i v ớ i x ph ả i b ằ ng 0 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 1 2 0 1 16. 1 8 0 4 y y y y y y        ∆ = + − + + = ⇔ + + − + =            . Ta có ngay giá tr ị 1 y = − . Thay vào (3) ph ươ ng trình tr ở thành 2 2 1 9 4 2 4 x x     + − =       2 2 1 3 4 2 2 1 3 4 2 2 x x x x   + − =  ⇔   + − = −    2 3 2 6 x x  = − ±  ⇔  = − ±   . 3.7 ðịnh lí Viète cho phương trình bậc 4 N ế u ph ươ ng trình b ậ c b ố n 4 3 2 0 ax bx cx d e + + + + = ( ) 0 a ≠ có b ố n nghi ệ m thì 1 2 3 4 1 2 2 3 3 4 1 3 1 4 2 4 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 b x x x x a c x x x x x x x x x x x x a d x x x x x x x x x x x x a e x x x x a    + + + =−       + + + + + =       + + + =−        =    Ví dụ. Cho ph ươ ng trình 4 3 2 8 19 2 0 x x x ax − + + + = . Bi ế t r ằ ng ph ươ ng trình có b ố n nghi ệ m 1 2 3 4 , , , x x x x tho ả mãn ñiều kiện 1 2 3 4 x x x x + = + . Hãy tìm a và giải phương trình ñã cho. Lời giải. Theo ñịnh lí Viète, ta có 1 2 3 4 1 2 3 4 8 4 x x x x x x x x + + + = ⇒ + = + = . M ặt khác ( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 1 3 1 4 2 4 1 2 3 4 1 3 4 2 3 4 . . . x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + = + + + + + ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 . . 19 x x x x x x x x = + + + + = . Do ñó 1 2 3 4 . . 3 x x x x + = . Ta l ại có 1 2 3 4 . . . 2 x x x x = , suy ra 1 2 3 4 1, 2 x x x x = = hoặc 1 2 3 4 2, 1 x x x x = = Nếu 1 2 . 1 x x = thì 3 4 . 2 x x = . Khi ñó ( ) 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 3 4 1 2 . . . . 2 12 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = . V ậy 12 a = − . Vì 1 2 1 2 4 . 1 x x x x  + =     =   và 3 4 3 4 4 . 2 x x x x  + =     =   nên suy ra 1,2 3,4 2 3 2 2 x x   = ±     = ±    . Tr ường hợp 3 4 1 x x = cũng làm tương tự nhưng hoán ñổi vai trò của 1 2 , x x với 3 4 , x x . 4. Phương trình ñối xứng bậc n Phương trình ñối xứng bậc n là phương trình có dạng 1 0 1 1 0 n n n n a x a x a x a − − + + + + = Trong ñó dãy các hệ số là ñối xứng, nghĩa là 0 0 n a a = ≠ , 1 1 n a a − = … 8 Cách giải - ðối với phương trình ñối xứng bậc chẵn, giả sử bậc của phương trình là 2 n m = . Do 0 x = không th ể là nghiệm nên ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho m x . Sau ñó bằng cách nhóm thích h ợp, vế trái của phương trình có thể ñưa về dạng 1 k k x x + . Chúng ñều là các biểu thức ñối xứng v ới x và 1 x . Do ñó, nếu ta biết ñặt 1 t x x = + thì sẽ ñưa ñến phương trình bậc k ñối với t . - ðối với phương trình ñối xứng bậc lẻ, ta dễ dàng thử lại rằng phương trình luôn nhận 1 x = − là 1 nghi ệm. Do vậy, với giả thiết 1 0 x + ≠ sao cho khi chia hai vế cho 1 x + , ta sẽ ñược 1 phương trình ñối xứng bậc chẵn. Ví dụ 1. Giải phương trình 6 5 4 3 2 3 6 7 6 3 1 0 x x x x x x − + − + − + = . Lời giải. Chia cả hai vế cho 3 x , ta ñược 3 2 3 2 2 3 3 2 6 3 1 1 1 1 3 6 7 0 3 6 7 0 x x x x x x x x x x x x             − + − + − + = ⇔ + − + + + − =                   . ðặt 1 t x x = + , ta có 3 3 3 1 3 x t t x + = − ; 2 2 2 1 2 x t x + = − . Bởi vậy ta ñược phương trình 3 2 3 3 3 1 0 ( 1) 0 1 t t t t t − + − = ⇔ − = ⇔ = . Từ ñó phương trình ban ñầu tương ñương với phương trình 2 1 1 1 0 x x x x + = ⇔ − + = . D ễ thấy phương trình trên vô nghiệm. Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình 7 6 5 4 3 2 5 8 8 5 2 0 x x x x x x − − − − − + = (Xem như bài tập) Một số bài tập tham khảo Bài 1. Giải các phương trình a) 3 2 3 1 0 x x x − + + = b) 3 2 5 7 0 x x x − + + = c) 3 2 5 3 0 x x + − = d) 3 2 0 x x − − = e) 3 2 3 9 9 0 x x x − + − = f) 3 2 1 3 x x x − − = g) 3 2 6 1 x x = + h) 3 2 8 2 1 0 x x x − − + = Bài 2. Cho phương trình 3 1 0 x x − + = có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 , , x x x . Tính 8 8 8 1 2 3 S x x x = + + . Bài 3. Biết rằng phương trình 3 0 x px q + + = có ba nghiệm. Chứng minh 3 3 3 1 2 3 1 2 3 3 x x x x x x + + = . Bài 4. Giải và biện luận phương trình ( , a b là tham số) 3 3 3 3 0 x abx a b − + + = . Bài 5. Giải các phương trình sau a) 4 3 2 2 5 5 2 0 x x x x + + + + = c) ( ) 4 2 1 ( 2 2) 0 x x x x + − − + = b) 4 3 2 2 8 2 1 0 x x x x − + − + = d) 4 3 2 3 2 6 4 0 x x x x + − − + = Bài 6. Cho phương trình 4 3 2 0 x px qx rx s + + + + = . Tìm ñiều kiện ñể phương trình có hai nghi ệm thỏa ñiều kiện 1 2 0 x x + = . 9 5 . Phương trình bậc lớn hơn 4 và một số tính chất 5.1 Xét phương trình bậc năm dạng 5 0 x ax b + + = , , a b ∈ ℤ . ðịnh lý 1. Nếu 1(mod 2) a b ≡ ≡ thì phương trình không giải ñược bằng căn thức ðịnh lý 2. Nếu a là số nguyên tố, a ≡ ( ) 1 mod5 và ( ) , 1 a b = thì ph ươ ng trình ( ) 1 không gi ả i ñượ c b ằ ng c ă n th ứ c. Ta th ừ a nh ậ n các tính ch ấ t trên. T ổ ng quát h ơ n ta có ñị nh lý sau (và c ũ ng ñượ c th ừ a nh ậ n) 5.2 ðịnh lý. Xét phương trình ( ) 0 f x = , trong ñ ó ( ) f x là ñ a th ứ c h ệ s ố nguyên có b ậ c l ớ n h ơ n ho ặ c b ằ ng 5. N ế u f là ñ a th ứ c b ấ t kh ả quy trên ℚ và có ñúng 2 nghiệm phức trong ℂ thì phương trình ( ) 0 f x = không gi ả i ñượ c b ằ ng c ă n th ứ c. ðể minh h ọ a cho ñị nh lý trên, ta xét ví d ụ sau. “Ph ươ ng trình ( ) 5 6 3 0 f x x x = − + = không gi ả i ñượ c b ằ ng c ă n th ứ c”. Th ậ t v ậ y, theo tiêu chu ẩ n Eisenstein, ñ a th ứ c ( ) 5 6 3 f x x x = − + là ñ a th ứ c b ấ t kh ả trên ℚ . Do ñ ó, ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh ph ươ ng trình có ñ úng 2 nghi ệ m ph ứ c hay ch ứ ng minh ph ươ ng trình có ñ úng 3 nghi ệ m th ự c. ðể ch ứ ng minh ñ i ề u này ta c ầ n s ử d ụ ng m ộ t k ế t qu ả r ấ t quan tr ọ ng trong gi ả i tích, th ườ ng ñượ c g ọ i là ñịnh lý Rolle “Nếu hàm ( ) f x liên tục trên ñoạn [ ] , a b , khả vi trong kho ả ng ( ) , a b và ( ) ( ) f a f b = thì t ồ n t ạ i m ộ t ñ i ể m ( ) , c a b ∈ sao cho ( ) ' 0 f c = ”. V ớ i ( ) 5 6 3 f x x x = − + , ta có ( ) 4 ' 5 6 f x x = − . D ễ th ấ y r ằ ng ' f có hai nghi ệm là 6 4 5 ± . Sử dụng ñịnh lý Rolle, ta nhận thấy f chỉ có thể có tối ña 3 nghiệm thực. M ặt khác, ta lại có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 17, 1 8, 1 2, 2 23 f f f f − = − − = =− = , và f là hàm liên tục nên chỉ có th ể ñổi dấu mỗi khi ñồ thị của nó cắt trục hoành, nên f có ít nhất 3 nghiệm thực. Vậy f có ñúng 3 nghiệm thực. Suy ra ñiều phải chứng minh. Bài tập. Chứng minh rằng các phương trình sau ñây không giải ñược bằng căn thức a) 5 4 2 0 x x − + = b) 5 2 4 2 0 x x − + = c) 5 2 6 3 0 x x − + = d) 7 5 10 15 5 0 x x x − + + = Tài liệu tham khảo [1] Vũ Hữu Bình, “Nâng cao và phát triển toán 9 (tập 2)”, NXBGD, 2007. [2] ðặng Hùng Thắng, “Phương trình bất phương trình và hệ phương trình”, NXBGD, 1999. [3] Nguyễn Trường Chấng, “Phương trình bậc 3, bậc 4, bậc n ”. [4] Nguyễn Văn Mậu, “Phương pháp giải phương trình, bất phương trình”, NXBGD, 1996. [5] Hoàng Kỳ, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn ðức Thuận, “ðại số sơ cấp (Tập 2)”, NXBGD, 1979. [6] Bùi Xuân Hải, “Lý thuyết trường và Galois” (Lưu hành nội bộ), 2005. [7] Blair K. Spearman, Kenneth S. Williams. “Conditions for the Insolvability of the quintic equation 5 0 x ax b + + = ” . . Bình, “Nâng cao và phát triển toán 9 (tập 2)”, NXBGD, 2007. [2] ðặng Hùng Thắng, Phương trình bất phương trình và hệ phương trình , NXBGD, 1999. [3] Nguyễn Trường Chấng, Phương trình bậc 3,. ta ñược phương trình 3 2 3 3 3 1 0 ( 1) 0 1 t t t t t − + − = ⇔ − = ⇔ = . Từ ñó phương trình ban ñầu tương ñương với phương trình 2 1 1 1 0 x x x x + = ⇔ − + = . D ễ thấy phương trình trên. giải phương trình tổng quát bậc lớn hơn bốn bằng các phương toán học thông thường của ñại số. Không lâu sau ñó, nhà toán học người Pháp Évariste Galois ñã hoàn tất công trình lý thuyết về phương