Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 1 Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400 Chuyên đề: ĐỒNG DƢ VÀ ỨNG DỤNG A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa và các điều kiện: Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho số tự nhiên 0m  có cùng số dƣ thì ta nói rằng a đồng dƣ với b theo Mô đun m - Kí hiệu: a  b (mod m) - Hệ thức: a  b (mod m) gọi là đồng dƣ thức. Ví dụ:19 chia 8 dƣ 3, 3 chia 8 dƣ 3 nên 18 đồng dƣ với 3 Mô đun 8 kí hiệu: 19  3 (mod 8) + 10  7 (mod 3) vì10 = 3.3 + 1 và 7 = 2.3 + 1 2. Các tính chất a) a  b (mod m) khi và chỉ khi a – b chia hết cho m b)Tính chất bắc cầu: nếu a  b (mod m), b  c (mod m) thì a  c (mod m) c) Có thể cộng hoặc trừ theo từng vế của đồng dư thức với cùng một mô đun, tức là Nếu a b (mod m) c d (mod m)      thì a c b d (mod m)   d) Có thể nhân theo từng vế của đồng dư thức với cùng một mô đun, tức là Nếu a b (mod m) c d (mod m)      thì ac bd (mod m) e) Có thể nâng 2 vế của một đồng dư thức với cùng một lũy thừa, tức là a  b (mod m) thì a n  b n (mod m) f) Định lí Fermac Một cách phát biểu khác của định lý nhƣ sau: nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với p, thì: g) Định lí Ơle Ơ le đã mở rộng định lí Fermac đối với n là số nguyên dƣơng bất kỳ và a là số nguyên tố cùng nhau với n, thì trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng nhau với n 3) Các hệ quả a) Nếu a  b (mod m) và c  Z + thì ac  bc (mod mc). Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 2 Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400 b) Nếu d là 1 ƣớc chung của a, b, m thì: a d  b d (mod m d ); B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 1) Dạng 1: Tìm số dƣ trong phép chia Phƣơng pháp - Để tìm số dƣ trong phép chia A cho m ta tìm số k < m sao cho: Ak (mod m) Ví dụ 1: Tìm số dƣ trong phép chia 1993 2000 cho số 3 ? Giải Ta có: 1993  1 (mod 3). Áp dụng tính chất 2e): 1993 2000  1 2000 (mod 3)  1 (mod 3) Vậy số 1993 2000 khi chia cho 3 thì dƣ là 1. Ví dụ 2: Tìm dƣ của phép chia 5 2008 cho 2003 Giải Vì 2003 là số nguyên tố và ƢC (5, 2003) = 1 nên áp dụng định lí Fermac, ta có 5 2002  1 (mod 2003). (1) Vì 7 là số nguyên tố và ƢC (7, 2003) = 1 nên theo định lí Fermac, ta có 6 51 (mod 2003) (2) Từ (1) và (2) suy ra 2002 6 6 5 .5 5 (mod 2003) (theo tính chất 2d) Mặt khác: 6 5 15625 7.2003 1064    6 5 1064 (mod 2003) Áp dụng tính chất 2b ta suy ra 2008 6 5 5 1064 (mod 2003) Vậy dƣ của phép chia 5 2008 cho 2003 là 1064 Ví dụ 3: Tìm số dƣ của 40 1991 cho 2008 Giải Ta có: 2 1991 289 (mod 2008) 3 1991 1111 (mod 2008)  5 1991 289.1111 (mod 2008) Mặt khác 289.111 1807 (mod 2008)  5 1991 1807    2 52 1991 1807 (mod 2008) Mà 2 1807 241 (mod 2008)  10 1991 241 (mod 2008)  40 4 1991 241 713 (mod 2008) Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 3 Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400 Do vậy dƣ của phép chia trên là 713 2) Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa Phƣơng pháp giải: - Để tìm n chữ số tận cùng của lũy thừa ta tìm số dƣ của phép chia lũy thừa đó cho 10 n nói cách khác là sử dụng đồng dƣ mod 10 n Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng cùng của 2 999 . Giải: Ta có: 999 20 (mod 2). + (2,5) = 1 nên theo định lí Fermac 4 21 (mod 5) 2000 2 1 6   (mod 5) Chia cả 2 vế của đồng dƣ thức cho 2 ta đƣợc 999 23 (mod 5) Vậy: 999 999 2 3 (mod 5) 8 (mod 5) 2 0 (mod2) 8 (mod 2)        999 28 (mod 10)  số 2 999 tận cùng có tận là chữ số 8. Ví dụ 5: Tìm 2 chữ số cuối cùng của 4444 4444 . Giải: Ta có: 4444  44 (mod 100) 4444 4444 4444 44 4444 44 0 (mod 4) 44 và 25 nguyên tố cùng nhau, 20 < 25 nên theo định lí Ơle ta có 20 44 1 (mod 25)   222 20 44 1 (mod 25) hay 4440 44 1 (mod 25) Ta lại có: 44 19 (mod 25) 2 44 11 (mod 25) 4 44 21 (mod 25) 4444 44 21 (mod 25) Ta có 4444 4444 44 0 (mod 4) 96 (mod 4) 44 21 (mod 4) 96 (mod 4)        Vậy hai chữ số tận cùng của 4444 4444 là 96 Vậy ta có: Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 4 Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400 Vậy hai chữ số tận cùng là 96. Dạng 3: Chứng minh chia hết, không chia hết Phƣơng pháp: - Để chứng minh số A chia hết cho số tự nhiên m ta chứng minh A0 (mod m) - Để chứng minh số B không chia hết cho số tự nhiên m ta chứng minh An (mod m) (n khác 0) Ví dụ 6. Chứng minh A = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19 Giải: 2 A = 7.5 12.6 7.25 12.6 n n n n    Ta có 25 6 (mod 19) nên 25 6 nn  (mod 19) A 7.6 12.6 19.6 n n n     (mod 19) Ví dụ 7: Chứng minh 2004 2003 1924 1920 n chia hết cho 124, * n  Giải Đặt n 2004 2003 B=1924 . Ta có 124 = 4.31. Dễ thấy B chia hết cho 4. Vậy ta cần chứng minh B chia hết cho 31 Có 1924 2 (mod 31), 1920 2 (mod 31) 2004 2003 B 2 2 n    (mod 31) (1) Lại có 5 2 32 1 (mod 31. Ta cần phải tìm số dƣ khi chia 2004 2003 n cho 5 n 2004 4 . Đặt n 2004 = 4k n 2004 4k 2003 = 2003 Vì 2003 3 (mod 5) nên 4k 4k k 2003 3 81 1   (mod 5) Vậy n 2004 2003 1 (mod 5). Đặt n 2004 2003 = 5m+1 2004 2003 5m+1 5m 2 2 2.2 2 n     (mod 31) Thay vào (1) suy ra B0 (mod 31) hay B chia hết cho 31 Từ đó suy ra B chia hết cho 124 Dạng 4: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết Ví dụ 8: Tìm tất cả các số nguyên dƣơng n sao cho nn A = n.2 +3 chia hết cho 5 Giải + Xét trƣờng hợp n = 2k (n chẵn) Ta có n n 2k 2k 2k 2k 2k A = n.2 +3 = 2k.2 +3 = (2k +1).2 +3 - 2 Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 5 Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400 Ta thấy   2k 2k k k 3 -2 = 9 -5 5  2k m A 5 (2k 1).2 5 2k +1 5 2k = 5m+ 4 k = 5t +2 (t = ) 2        n =10t+4 + Xét trƣờng hợp n = 2k + 1 (n lẻ) 2k+1 2k+1 2k+1 2k+1 2k+1 2k+1 A = (2k +1).2 3 2k.2 2 3 2k.2 5q       Do đó A 5 2k 5 k 5 k = 5m n =10m+1      Tóm lại để n =10m+1 A5 n =10m+4      C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm số dƣ trong các phép chia: a) 6 635 chia cho 11 b) 17 1999 chia cho 6 c) 2 70 + 3 70 chia cho 13. d) 53 999 chia cho 17 Bài 2. Tìm số dƣ của 3 2005 + 4 2005 khi chia cho 11 và 13 Bài 3. Tìm số dƣ của số A = 776 776 + 777 777 + 778 778 khi chia cho 3 và cho 5 Bài 4. Tìm 2 chữ số tận cùng bên phải của các số sau trong hệ thập phân: a) 2 1999 b) 9 99 c) 26 2000 d) 7 2003 Bài 5: Cho số A = 1994 2005 a) Tìm số dƣ trong phép chia A cho 7 b) Tìm chữ số tận cùng của A c) Tìm chữ số tận cùng của A Bài 6.Tìm 2 chữ số tận cùng của các số sau a) A = 2 2004 b) 9 9 9 B= 7 c) 14 14 C =14 d) 2002 9 D = 29 Bài 7. Một số chia 4 dƣ 3, chia 17 dƣ 9, chia 19 dƣ 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dƣ bao nhiêu Bài 8. Cho A là một số nguyên dƣơng có tận cùng là 5, chứng minh A n cũng có tận cùng là 5 với n là số nguyên dƣơng Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 6 Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400 Bài 9. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng 5 2n+1 + 2 n+4 + 2 n+1 chia hết cho 23 Bài10.Cho n là số tự nhiên chứng minh 700\(29 2n – 140n – 1) Bài 11. Chứng minh 9 n + 1 không chia hết cho 100 với nN Bài 12.Tìm số tự nhiên n sao cho a) 3 4 2 1 23 nn  chia hết cho 19 b) .2 1 n n  chia hết cho 3 Bài 13. Tìm n sao cho 10 1n  chia hết cho 10 Bài 14. Tìm 4n  nhỏ nhất sao cho 32 A = n +4n -20n -48 chia hết cho 125 Bài 15. Tìm số tự nhiên n sao cho 3 2 3 19851986nn Bài 16.Cho a, b, c là các số nguyên. Giả sử 3 3 3 a +b +c chia hết cho 9. Chứng minh abc chia hết cho 3 Bài 17. Giả sử số 2003 2002 đƣợc phân tích thành tổng của n số tự nhiên 1 2 n a , a , a , a . Xét số 2001 2002 2001 1 2 n A = a +a + + a . Hỏi số A chia cho 6 sẽ dƣ bao nhiêu Bài 18. Chứng minh rằng a) Nếu 1(mod2)a  thì 2 1 (mod8)a  b) Nếu 1(mod3)a  thì 2 1 (mod9)a  Bài 19.Chứng minh rằng hai số 7 7 7 và 7 7 7 7 có hai chữ số tận cùng giống nhau Bài 20 Tìm ba chữ số tận cùng của số sau 2001 6 A = 26 Bài 21 Cho x, y, z là ba số nguyên thỏa mãn 2 2 2 x y z . Chứng minh tích xyz chia hết cho 60 Bài 22. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: (2 p + 1)  p Bài 23. Cho m, n là 2 số tự nhiên lớn hơn 1 và (m,n) = 1. Chứng minh: m (n) + n (m)  1 (mod mn) Bài 25. Chứng minh: 1 2000 + 2 2000 + 3 2000 + + 10 2000  -1 (mod 11) Bài 26. Ngày 1 - 1 - 2004 là ngày thứ tƣ. Vậy ngày 2 - 9 - 1945 là ngày thứ mấy? Bài 27. Cho n nguyên dƣơng. Chứng minh: a) 73 n n 11n + + N 7 3 21     b) 75 n n 23n + + N 7 5 35     Bài 28. Cho aZ. Chứng minh rằng nếu Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 7 Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400 . Bài 29. Cho (a,m) = 1 và ,  là 2 số tự nhiên sao cho    (mod (m)) với (m): hàm Euler. Chứng minh: a   a  (mod m). . 40 199 1 cho 2008 Giải Ta có: 2 199 1 2 89 (mod 2008) 3 199 1 1111 (mod 2008)  5 199 1 2 89. 1111 (mod 2008) Mặt khác 2 89. 111 1807 (mod 2008)  5 199 1 1807    2 52 199 1 1807 . Ta có: 99 9 20 (mod 2). + (2,5) = 1 nên theo định lí Fermac 4 21 (mod 5) 2000 2 1 6   (mod 5) Chia cả 2 vế của đồng dƣ thức cho 2 ta đƣợc 99 9 23 (mod 5) Vậy: 99 9 99 9 2 3 (mod. dụ 1: Tìm số dƣ trong phép chia 199 3 2000 cho số 3 ? Giải Ta có: 199 3  1 (mod 3). Áp dụng tính chất 2e): 199 3 2000  1 2000 (mod 3)  1 (mod 3) Vậy số 199 3 2000 khi chia cho 3 thì dƣ