Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẢNG
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương trình mặt phẳng Loại Tích có hướng hai véc-tơ A Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: cho u x;y;z , v x'; y ';z ' tích có hướng u v véc-tơ: y z z x x y ; ; yz ' y ' z;zx' z ' x;xy ' x'y y z z x x y u, v * Tính chất: 1) Tích có hướng vng góc với véc-tơ thành phần: u, v u , u, v v 2) Độ dài tích có hướng: u, v u v sin u, v * Ứng dụng 1: kiểm tra điều kiện phương đồng phẳng 1) Điều kiện phương hai véc-tơ: u v u, v Hệ quả: bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng AB, AC AD 2) Điều kiện đồng phẳng ba véc-tơ: u , v , w đồng phẳng u, v w Chú ý: biểu thức u, v w gọi tích hồn tạp ba véc-tơ u , v , w * Ứng dụng 2: tính diện tích, thể tích 1) Diện tích hình bình hành ABCD : S AB, AD 2) Diện tích hình tam giác ABC : S AB, AC 3) Thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C' D' : V AB, AD AA ' Thể tích khối tứ diện ABCD : V AC, AB AD THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG B Một số ví dụ C Bài tập Bài Cho a 2;3;1 , b 5;7;0 , c 3; 2;4 Chứng minh a , b , c không đồng phẳng Hãy biểu diễn d 4;12;3 qua a , b , c Bài Cho A 1;2; 3 , B 2;4;7 , C 0;2; 4 1) Tìm ràng buộc x , y , z để M x;y; z ABC 2) Xác định tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành Hãy tính diện tích hình bình hành 3) Gọi n véc-tơ vng góc với mp ABC có độ dài Hãy xác định tọa độ n Bài Cho tứ diện A , B , C , D với A 2;3;1 , B 1;1; 2 , C 2;1;0 , D 0; 1;2 1) Tính VABCD 2) Tính độ dài đường cao AH tứ diện 3) Xác định tọa độ H Đáp số: 14 2;3;1 Bài Cho A 0;1;1 , B 1;0;2 , C 1;1;0 , D 2;1; 2 1) Chứng minh A , B , C , D khơng đồng phẳng 2) Tính độ dài đường cao kẻ từ A tam giác ABC bán kính đường trịn nội tiếp tam giác 3) Tính góc CBD góc đường thẳng AB CD Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao kẻ từ D tứ diện THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Loại Phương trình mặt phẳng A Tóm tắt lý thuyết Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương mặt phẳng * Véc-tơ pháp tuyến: Véc-tơ n gọi véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng P n có giá vng góc với P Ký hiệu n P P n Chú ý: +) Mọi véc-tơ khác , phương với véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng ấy: n1 P n2 P n2 n2 n1 +) Hai véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng phương với nhau: n1 P n1 n2 n P * Véc-tơ phương: Véc-tơ u gọi véc-tơ phương mặt phẳng P u có giá song song nằm P Ký hiệu u P P u Chú ý: +) Mọi véc-tơ khác , phương với véc-tơ phương mặt phẳng véc-tơ phương mặt phẳng ấy: u1 P u2 u P u u1 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG +) Hai véc-tơ phương mặt phẳng chưa phương với * Quan hệ véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương mặt phẳng: +) Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương mặt phẳng vng góc với n P nu u P +) Véc-tơ khác , vng góc với véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng véc-tơ phương mặt phẳng n P u P u u n +) Véc-tơ khác , vng góc với véc-tơ phương mặt phẳng không là véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng Tuy nhiên, véc-tơ khác , vng góc với hai véc-tơ phương khơng phương mặt phẳng véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng n u1 P u P n P n u1 n u Từ suy ra: tích có hướng hai véc-tơ phương mặt phẳng véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng ấy: u1 P u1 ,u2 P u P Phương trình tổng quát mặt phẳng THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG * Bài tốn: lập phương trình mặt phẳng n A;B;C làm véc-tơ pháp tuyến P qua điểm M x0 ;y ;z , nhận véc-tơ Lời giải: Xét điểm M x;y;z Ta có M M x x0 ;y y ;z z M P n M 0M n.M 0M A x x0 B y y C z z Vậy P : A x x0 B y y C z z hay P : Ax By Cz D ( D Ax0 By Cz ) Kết luận: +) Mỗi mặt phẳng khơng gian có phương trình dạng: Ax By Cz D * ( A B C2 ) Phương trình * gọi phương trình tổng quát mặt phẳng +) Ngược lại, người ta chứng minh được: phương trình Ax By Cz D ( A B C2 ) phương trình mặt phẳng Một số dạng đặc biệt phương trình mặt phẳng * Phương trình mặt phẳng vng góc với trục tọa độ: +) P Ox phương trình P có dạng x m Đặc biệt Oyz : x +) P Oy phương trình P có dạng y m Đặc biệt Ozx : y +) P Oz phương trình P có dạng z m Đặc biệt Oxy : z * Phương trình mặt phẳng song song chứa trục tọa độ: THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG +) P song song chứa Ox phương trình P có dạng By Cz D ( B C2 ) +) P song song chứa Oy phương trình P có dạng Ax Cz D ( A C2 ) +) P song song chứa Oz phương trình P có dạng Ax By D ( A B ) * Phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ: P qua gốc tọa độ phương trình P có dạng Ax By Cz ( A B C ) * Phương trình dạng mặt chắn: P qua A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c ( a , b , c ) x y z P : a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng : Ax By Cz D ' : A'x B'y C'z D' * Hai mặt phẳng cắt hai số A;B;C , A ';B';C' không tỷ lệ, tức A tA ' không tồn t cho B tB' C tC' * Hai mặt phẳng song song hai số A;B;C , A ';B';C' tỷ lệ hai số A tA ' B tB' A;B;C;D , A';B';C';D' không tỷ lệ, tức tồn t cho C tC' D tD' THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG * Hai mặt phẳng song song hai số A;B;C;D , A';B';C';D' tỷ lệ, tức A tA ' B tB' tồn t cho C tC' D tD' Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng * Cho điểm A x0 ; y ; z mặt phẳng P : Ax By Cz D Ta có d A, P Ax0 By Cz D 2 A B C * Hệ quả: cho hai mặt phẳng P : Ax By Cz D Q :Ax By Cz D' Ta có d P , Q D D' A B C2 Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng P : A1x B1y C1z D1 Q : A 2x B 2y C2 z D2 Gọi n1 , n hai véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng P Q Góc hai mặt phẳng P Q góc hai véc-tơ pháp tuyến góc hai véc-tơ pháp tuyến nhỏ 90 bù với góc hai véc-tơ pháp tuyến góc hai véc-tơ pháp tuyến lớn 90 n1 ,n P , Q 180 n1 ,n Điều kiện để góc hai mặt phẳng P n1 , n2 90 n1 , n2 90 Q ( 90 ) cos n1 ,n cos THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC P , Q PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A1 A B1B C1C2 2 2 2 A1 B1 C1 A B C2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 cos BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG B Một số ví dụ Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng P qua A 2;0; 4 nhận n 2; 3;6 véc-tơ pháp tuyến Giải Ta có P qua A 2;0;4 P n 2; 3;6 P : x 3y z P : 2x 3x 6z 20 Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng P qua A 2;2;3 vng góc với đường thẳng BC , B 2;10; 7 , C 5;9; 12 Giải Ta có P qua A 2;0;4 P BC 3; 1; 5 P : x y z 4 P : 3x y 5z 14 Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng P qua A 1;4;6 vng góc với trục Oz Giải Ta có P Oz P k 0;0;1 P ñi qua A 1;4;6 Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng P P : z qua M 2;5;7 song song với Q : 3x 2y z Giải Ký hiệu f x;y;z vế phải phương trình mặt phẳng Q Ta thấy f M 3.2 2.5 M Q qua M tồn mặt phẳng P song song với Q Ta có THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG P Q Q n 3; 2;1 P n 3; 2;1 P : x 2 y z lại có P qua M 2;5;7 Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng P P : 3x 2y z mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A 3;1; 4 , B 3;0; 5 Giải x A xB 0 xI y yB 9 I trung điểm AB y I A I 0; ; 2 2 z A zB zI 2 P mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB P qua I P AB 6; 1; 1 6;1;1 1 9 z 2 2 P : x 0 y P : 6x y z Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng u 1;4; 4 véc-tơ phương P qua A 4;2;5 nhận u1 7;4;1 Giải Ta có P nhận u1 , u véc-tơ phương nên P nhận n u1 ,u làm véc-tơ pháp tuyến n u1 , u2 4 1 7 4 ; ; 4 1 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ví dụ 10 Viết phương trình mặt phẳng P qua A 1; 2;4 vng góc với mặt phẳng Q : x 2y 3z R : 3x 4z Giải P Q Q nQ 1; 2;3 Tương tự P n R 3;0; 4 Từ 1 suy P n nQ ,n R P nQ 1; 2;3 1 2 Ta có 2 3 1 n ; ; 8;13;6 4 4 3 Vậy P qua A 1; 2;4 P n 8;13;6 P : x 1 13 y 26 z P : 8x 13y 26z 86 Ví dụ 11 Viết phương trình mặt phẳng P qua ba điểm A 1;2;3 , B 1; 2; 3 , C ; 2;1 Giải P qua ba điểm A 1;2;3 , B 1; 2; 3 , C ; 2;1 P AB 2;0; 6 u1 1;0;3 P AC 1; 4; 2 u 1;4;2 P u1 1;0; P u 1;4;2 P n u1 ,u Ta có 0 3 1 0 n ; ; 12;1;4 12; 1; 4 4 2 1 4 Vậy THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC P qua A 1;2;3 P 12; 1; 4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG P :12 x 1 y z P :12x y 4z Ví dụ 12 Viết phương trình mặt phẳng P qua A 0;6; 5 giao tuyến với hai mặt phẳng Q : 3x 2y z R : x y z – Giải Cách 1: Xét hệ gồm phương trình mặt phẳng Q R 3x 2y z x y z 1 y 2y z 4 Từ 1 cho x B 0; ; P 3 y z z 3x z x 4 Từ 1 cho y C 1;0;3 P x z z P 4 qua ba điểm A 0;6; 5 , B 0; ; , C 1;0;3 3 16 19 P AB 0; ; u1 0;16; 19 3 P AC 1; 6;8 u 1;6; 8 P u1 0;16; 19 P u 1;6; 8 P n u1 ,u Ta có 16 19 19 0 16 n ; ; 14; 19; 16 14;19;16 8 8 1 Vậy THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG P qua C 1;0;3 P 14;19;16 P :14 x 1 19y 16 z P :14x 19y 16z 34 Cách 2: P mặt phẳng qua giao tuyến Q R nên phương trình P có dạng P : m 3x 2y z n x y z – , với m n P qua A 0;6; 5 m 3.0 2.6 5 n 5 – 2 17m n 17m n Từ 1 , cho m n 17 P : 3x 2y z 17 x y z – P : 14x 19y 16z 34 1 P :14x 19y 16z 34 Chú ý Giả sử P : A1x B1y C1z D1 Q : A x B y C2 z D2 hai mặt phẳng cắt Khi phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến P Q có dạng R : m A1x B1y C1z D1 n A x B 2y C2z D2 , với m n (phương trình chùm mặt phẳng chứa ) Việc sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng đặc biệt hiệu toán viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng Ví dụ 13 Viết phương trình mặt phẳng P qua A 4;9;11 chứa Ox Giải Ox giao hai mặt phẳng xOy : z xOz : y P chứa Ox phương trình P có dạng P : my nz , với m n j P qua A 9m 11n Từ đây, chọn m 11 n 9 Do P : 11y 9z Ví dụ 14 Cho A 1;2;3 P : x 2y z 14 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 15 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1) Tìm tọa độ hình chiếu H A lên P 2) Tìm tọa độ A ' đối xứng với A qua P Giải 1) H P tọa độ H có dạng H x0 ;y ;2x0 y 14 Ta có P n 1;2; 1 , AH x0 1;y 2;2x0 y 17 n, AH 4x0 3y 36; 3x0 y 18; 2x0 y H hình chiếu A lên P n AH n, AH 4x0 3y 36 3x0 y 18 2x y 0 18 x0 36 y 18 36 Vậy H ; ; 5 5 2) A ' đối xứng với A qua P A ' đối xứng với A qua H 31 x A ' 2xH x A 62 y A ' 2y H y A 11 z A' 2z H z A 31 62 11 Vậy A ' ; ; 5 5 Ví dụ 15 [B08] Cho A 0;1;2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1 1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A , B , C 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Q : 2x 2y z cho MA MB MC THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 16 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Giải 1) P qua ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1 P AB 2; 3; 1 P AC 2; 1; 1 P n AB, AC Ta có 3 1 1 2 n ; ; 2;4; 8 1;2; 4 1 1 2 1 Vậy P qua A 0;1;2 P 1;2; 4 P : x y 1 z P : x 2y 4z 2) Giả sử M x0 ; y ;z M Q 1 2x0 2y z MA MB MA MB 2 2 2 x y z x 2 y z 2x0 3y z 2 MB MC2 x 2 y z 2 x y z 2x y 3 Giải hệ 1 , , ta x0 , y , z 7 M 2;3; 7 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 17 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ví dụ 16 [A11] Cho A 2;0;1 , B 0; 2;3 P : 2x y z Tìm M P cho biết MA MB Giải M P tọa độ M có dạng M x0 ;y ;2x0 y MA MA x0 y 2 1 2x0 y 1 MB MB x0 2 y0 2x0 y 2 2 Trừ vế 1 ta 2x0 2y 4x0 2y x0 2y 3 Thay vào 1 ta 2y y0 1 3y 7y 11y y0 y +) y x0 M 0;1;3 12 +) y x0 M ; ; 7 7 Ví dụ 17 [B12] Cho A 0;0;3 , M 1;2;0 Viết phương trình mặt phẳng P qua A cắt trục Ox , Oy B , C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM Giải B Ox tọa độ B có dạng B b;0;0 , C Oy tọa độ C có dạng C 0;c;0 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG x A xB xC xG y yB yC b c G ; ;1 G trọng tâm tam giác ABC y G A 3 z A z B zC zG b c Ta có AM 1;2; 3 , AG ; ; 2 3 G thuộc đường thẳng AM AG AM k : AG k AM b k c k : k 3 k 2 Từ suy k 1 2 3 3 Thay k vào 1 ta 2 b 2, c B 2;0;0 , C 0;4;0 P : x y x Ví dụ 18 Tìm trục hồnh điểm cách điểm A 4;2;3 mặt phẳng P : x 3y 2z 17 Giải Gọi M điểm cần tìm Vì M thuộc trục hồnh nên tọa độ có dạng M m;0;0 Điểm M cách điểm A mặt phẳng P m 2 m 17 1 , hay m 13 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 m 17 14 19 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bình phương hai vế, rút gọn phương trình ta m 6m , phương trình có nghiệm m Vậy M 3;0;0 Ví dụ 19 [B09] Cho tứ diện ABCD có đỉnh A 1;2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;1 D 0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A , B cho khoảng cách từ C đến P khoảng cách từ D đến P Giải Cách 1: Giả sử P : Ax By Cz D , với A B C2 P qua A 1;2;1 A 2B C D 1 P qua B 2;1;3 2A B 3C D 2 Từ 1 , ta tính C , D theo A , B C A B D A B 2 A Bz A B 2 d C; P d D; P P : Ax By P : 2Ax 2By 3A B z A B 4A 2B 3A B A B 2A 2 2B 3A B 6B 3A B A B 2A 2 2B 3A B d C; P d D; P 2 2A 6B 2A 2 2B 3A B 2A 2B 2A 2 2B 3A B 2 , 2A 6B 2A 2B A 3B A B A 3B A B A 3B B A THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 20 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG B A 2B C A +) Trường hợp 1: B D A Az A 2 P : Ax P : 2x 3z C B +) Trường hợp 2: A 2B 15 D B P : 2Bx By 15 Bz B 2 P : 4x 2y 7z 15 Cách 2: Mặt phẳng P thỏa mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau +) Trường hợp 1: P CD Khi P AB 3; 1;2 u1 3;1; 2 P CD 2;4;0 u 1; 2;0 P n u1 ,u 4; 2; 7 4;2;7 P qua A 1;2;1 P 4;2;7 P : x y z 1 Như P : 4x 2y 7z 15 +) Trường hợp 2: P qua trung điểm I 1;1;1 CD Khi P IA 0;1;0 P IB 3;0;2 P n IA, IB 2;0;3 P qua A 1;2;1 P n 1;0;3 P : x 1 z 1 Như P : 2x 3z THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 21 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ví dụ 20 [B10] Cho A 1;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c , b , c mặt phẳng P : y z Xác định b , c cho ABC P d O, ABC Giải Ta có ABC : x y z 1 b c 1 ; , b c ABC n1 1; P n 0;1; 1 ABC P n1 n n1 n2 P : y z 1 0 b c 1 bc d O, ABC 1 1 b c 1 1 b c Giải hệ 1 , ta có b c 2 (lưu ý b , c ) Ví dụ 21 [D10] Cho P : x y z , Q : x y z Viết phương trình mặt phẳng R vng góc với P Q cho khoảng cách từ O đến R Giải R P n P 1;1;1 R Q nQ 1; 1;1 R n P 1;1;1 R nQ 1; 1;1 R n P ,nQ 2;0; 2 1;0; 1 phương trình P có dạng P : x z D THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 22 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG d O; R D 2 D 2 P : x z 2 0 Ví dụ 22 Lập phương trình mặt phẳng P biết P chứa hai điểm A 0;0;1 , B 1;1;0 tạo với mặt phẳng Oxy góc cho cos Giải Giả sử ( A B C2 ) véc-tơ pháp tuyến P Vì n vng góc với AB nên AB n , hay C A B Như tọa độ véc-tơ n có dạng n A;B; A B Mặt phẳng Oxy có véc-tơ pháp tuyến k 0;0;1 , từ điều kiện P tạo với mặt phẳng Oxy góc cho cos ta có AB A B2 A B , hay A B 2AB 2 2A 2B 2AB Phương trình tương đương với 2A 5AB 2B Dễ thấy B , chia hai vế phương trình cho B ta A B A B 2A A 2 B B A 2B A 2 B Với B 2A , ta có n A; 2A; A 1; 2;1 Mặt phẳng P qua A , suy P : x 2y z 1 , hay P : x 2y z Với A 2B , ta có n 2B;B; B 2; 1;1 Mặt phẳng P qua A , suy P : 2x y z 1 , hay P : 2x y z THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 23 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG C Bài tập Bài (Biết véc-tơ pháp tuyến) Viết phương trình mặt phẳng P biết 1) P qua A 1; 2;3 nhận n 2;3; 2 véc-tơ pháp tuyến 4 2) P qua A 3; ;7 vng góc với đường thẳng BC với B ; 2;1 , C 1; ;2 3 3) P qua A 2;4;5 vng góc với trục Oz 4) P qua A 2;0;1 song song với mặt phẳng Q : x 4y 3z 1) P : 2x 3y 2z 10 2) P : 7x 8y 3z 3) P : z Đáp số: 4) P : x 4y 3z Bài (Biết hai véc-tơ phương) Viết phương trình mặt phẳng P biết 1) P A 1; 5;7 nhận u1 2; 1;0 , u 2;0;5 làm véc-tơ phương 2) P A 2;4;7 , B 2; ; 2 nhận u 1;2; 3 làm véc-tơ phương 3) P qua A 3; 7;3 , B 2; 5;9 , C 4;7;2 4) P qua A 2; 1;2 , song song với Oy vng góc với mặt phẳng Q : 2x y 3z 5) P qua A 3; 1; 5 , vuông góc với hai mặt phẳng Q : 3x 2y 2z R : 5x 4y 3z 6) P qua hai điểm A 2;1;3 , B 1; 2;1 vng góc với mặt phẳng Q : 2x y z 7) P qua A 1;0;1 , B 5;2;3 song song với đường thẳng MN biết M 2;0; 1 N 3;3;4 1) P : 5x 10y 2z 59 2) P :15x 6y z 13 3) P : 2x y 4) P : 3x 2z 5) P : 2x y 2z 15 Đáp số: 6) P : 8x 2y 7z THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 24 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 7) P : 2x 15y 11z 13 Bài (Sử dụng chùm mặt phẳng) Viết phương trình mặt phẳng P biết 1) P qua M 2;1; 1 giao tuyến hai mặt phẳng Q : x y z , R : 3x y z 2) P qua giao tuyến hai mặt phẳng : x y z , : 3x y 5z song song với mặt phẳng : x y 2z 3) P qua giao tuyến hai mặt phẳng : 3x y z , : x 4y vuông góc với mặt phẳng : 2x z Đáp số: 1) P :15x 7y 7z 16 2) P : x y 2z 3) P : x 22y 2z 22 Bài (Một số toán liên quan đến khoảng cách) Viết phương trình mặt phẳng P biết 1) P qua A 4;2;1 , B 0;1;2 cách hai điểm C 7; 2;4 , D 9;8; 2 2) P qua M 1; 2; song song với mặt phẳng Q : 2x 5y 4z Tính khoảng cách hai mặt phẳng P , Q 3) P có khoảng cách đến Q : 3x 4y z Đáp số: 1) P : x 4y P : 2x 11y 19z 49 2) P : 2x 5y 4z , d P , Q 14 3) P : 3x 4y z 26 P : 3x 4y z 26 Bài Cho P : 2x 3y z M 2;4;6 1) Tìm tọa độ hình chiếu H M lên P 2) Tìm tọa độ M ' đối xứng với M qua P THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 25 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC Đáp số: 1) H ; 13 ; 47 7 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 2) M ' ; ; 52 7 Bài Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau 1) P : 3x 2y z Q : 3x 2y z 2) P : 3x 2y z Q : 3x 2y z 3) P : x y z Q : 3x 2x z 2 4) P : 3x y Q : x y 2 5) P : 3x y Q : x y 2 6) P : 3x y Q : y Đáp số: 1) Song song 2) Song song 3) Trùng 4) Trùng 5) Song song 6) Cắt Bài Xác định giá trị m n để cặp mặt phẳng sau song song 1) P : 2x ny 2z Q : mx 2y 4z 2) P : 2x y mz Q : x ny 2z Đáp số: 1) m 4 , n 1 2) m , n Bài Cho P : 2x my 3z m Q : m x 2y 5m 1 z 10 Với giá trị m 1) Hai mặt phẳng song song 2) Hai mặt phẳng trùng 3) Hai mặt phẳng cắt 4) Hai mặt phẳng vng góc Đáp số: 1) vơ nghiệm 2) m 3) m 4) m 19 Bài Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng P Q trường hợp sau 1) P : 2x y 4z , Q : x 4y 2z 2) P : 2x y 2z , Q : 6x 3y 2z THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 26 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 3) P : x 2y z , Q : x 2y z Đáp số: 1) Tập hợp cần tìm hai mặt phẳng : x 5y 2z : 3x 3y 6z 2) Tập hợp cần tìm hai mặt phẳng : 4x 16y 20z : 32x 2y 8z 13 3) Tập hợp cần tìm mặt phẳng : x 2y z Bài 10 Tìm điểm M Oz trường hợp sau 1) M cách điểm A 2;3;4 mặt phẳng P : 2x 3y z 17 2) M cách hai mặt phẳng P : x y z Q : x y z Đáp số: 1) M 0;0;3 2) M 0;0; 2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 27 ... THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG +) Hai véc-tơ phương mặt phẳng chưa phương với * Quan hệ véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương mặt phẳng: +) Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương mặt phẳng vng góc với... Cz D ( A B C2 ) phương trình mặt phẳng Một số dạng đặc biệt phương trình mặt phẳng * Phương trình mặt phẳng vng góc với trục tọa độ: +) P Ox phương trình P có dạng x m... ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Loại Phương trình mặt phẳng A Tóm tắt lý thuyết Véc-tơ pháp tuyến véc-tơ phương mặt phẳng * Véc-tơ pháp tuyến: Véc-tơ n gọi véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng