TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TẬP & HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 1 CHỦ ĐIỂM 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = f(x) = x 1 x 2 + + 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số: a) y = | x | 1 | x | 2 + + b) y = | x 1| x 2 + + c) y = x 1 | | x 2 + + d) y = x 1 | x 2| + + Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2 x 3x 3 | x 1| + + + = m Bài 3: 1) Hãy vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số: 2 | x | y | x | 1 = − 2) Dùng (C 1 ) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (m – 2).|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2]. (ĐH QG TP HCM KD) Bài 4: Cho hàm số: y = 2x 3 – 9x 2 + 12x – 4 (C) (ĐH KA – 2006) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: y = 2|x| 3 – 9x 2 + 12|x| = m 2 VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – 3mx 2 + 9x + 3m – 5 a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó Bài 2: Cho hàm số: y = – x 3 + 3mx 2 +3(1 - m 2 )x + m 3 - m 2 (C m ) a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b)Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (C m ) (ĐH KA – 2002) Bài 3: Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 - 9x + m a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó Bài 4: Cho hàm số 2 x (m 1)x m 1 y x m + + − + = − a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT. b) Tìm m để y CĐ .y CT > 0 c) Viết phương trình qua hai điểm CĐ và CT của đồ thị. 3 VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM BẬC BA A. Phương pháp: Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (C), ta có các bài toán sau: g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ' f (x) max min > 0 y .y 0 ∆   <  g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ dương ⇔ ' f (x) max min max min > 0 y .y 0 x 0,x 0 ad 0 ∆   <   > >   <  g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ âm ⇔ ' f (x) max min max min > 0 y .y 0 x 0,x 0 ad 0 ∆   <   < <   >  g (C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm: (C) tiếp xúc với Ox) ⇔ ' f (x) max min > 0 y .y 0 ∆   =  hay hệ f (x) 0 f (x) 0 ' =    =   có nghiệm (Điều kiện tiếp xúc) 4 g (C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔ ' ' f (x) f (x) max min 0 > 0 y .y 0 ∆ ≤   ∆     >   g Ngoài ra dựa vào đồ thị ta còn có nhiều bài toán khác… B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm m để (C m ) tiếp xúc với hoành, biết: a) (C m ): y = x 3 - mx + m – 1 b) (C m ): y = 2x 3 – 3(m + 3)x 2 + 18mx – 8 c) (C m ): y = 2x 3 + 3mx 2 - 2m + 1 Bài 2: Cho (C m ): y = 2x 3 – 3(m + 2)x 2 + 6(m + 1)x – 3m + 6 Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau Bài 3: Cho (C m ): 3 3 2 2 x m y mx (m 1)x 3 3 = − + − − Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x 3 - 3x + m = 0 ĐS: -1< m < 1 VẤN ĐỀ 4 BÀI TOÁN TÌM THAM SỐ (m, a,…) ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH F(x,m) CÓ N NGHIỆM A. PHƯƠNG PHÁP: Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng một trong hai cách sau đây: • Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm (C): f(x) với đường thẳng (d): y = g(m) ( Chỉ cần lập BBT của f(x) ) Đặc biệt: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x). 5 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m 1x 2 + Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) m)x6)(x3(x6x3 =−+−−++ 2) x + 3 = m 2 1x + 3) m1xx1xx 22 =+−−++ 4) 6mx4xmx4x 4 44 =+++++ 5) m( 22422 x1x1x12)2x1x1 −−++−=+−−+ (ĐH KB – 2004) 6) 3 4 2 1x21xm1x −=++− (ĐH KA – 2007) 7) x 3 + 3x 2 - 2 3 2 x +3x + m -1 = 0 8) 2 2 4 4 log (16 8)x x x x m+ − = − + − Bài 3: CMR với ∀ m > 0: PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2x - 8 = .( 2)m x − (ĐH K B – 2007) Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: 1x22mxx 2 +=++ (ĐH K B – 2006) VẤN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A. PHƯƠNG PHÁP Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn: 1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc (C) có phương trình là: y – y 0 = f’(x 0 ).(x – x 0 ) (k = f’(x 0 ): là hệ số góc) 6 ♦ Các dạng khác nhau của đề bài: • Cho x 0 : Tính y 0 = f(x 0 ) và f ’ (x 0 ) • Cho y 0 : Giải phương trình y 0 = f(x 0 ) để có x 0 rồi tính f ’ (x 0 ) • Cho hệ số góc k của tiếp tuyến: Giải phương trình f ’ (x 0 ) = k để có x 0 rồi tính y 0 = f(x 0 ) 2. Tiếp tuyến của (C) đi qua (kẻ từ) điểm M(x 1 ,y 1 ) bất kỳ ( M(x 1 ,y 1 ) có thể thuộc hay không thuộc (C) ) ♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x 1 ,y 1 ) và có hệ số góc k y – y 1 = k(x – x 1 ) ⇔ y = k(x – x 1 ) + y 1 (1) • (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x 0 ⇔ x 0 và k là nghiệm của hệ phương trình: f(x) k(x x ) y 1 1 ' f (x) k = − +    =   (I) ⇒ k rồi thay vào (1). ♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x 0 ) • Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x 0 ,y 0 ) là: y – f(x 0 ) = f’(x 0 ).(x – x 0 ) (1) • Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x 1 ,y 1 ) nên x 1 và y 1 nghiệm đúng (1): y 1 – f(x 0 ) = f’(x 0 ).(x 1 – x 0 ) (2) • Giải (2) ta có x 0 rồi thế x 0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x 1 ; y 1 ) kẻ được n tiếp tuyến Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) f(x) k(x x ) y 1 1 ' f (x) k = − +    =   có n nghiệm ⇔ f(x) = f ’ (x)(x – x 1 ) + y 1 có n nghiệm 4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = 2 ax + bx + c ' ' a x + b (H) Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H): 7 • Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì: + M là trung điểm của AB + Tam giác AIB có diện tích không đổi • Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x 3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (T) của (C) trong các trường hợp sau: 1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8) 2) Biết hoành độ tiếp điểm bằng -2 3) Biết tung độ tiếp điểm bằng 27 4) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = - 1 3 x + 3 5) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 2 6) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0, 1). Bài 2: Cho hàm số y = -2x 3 + 6x 2 – 5 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (đi qua) A(- 1; -13) (ĐH DB KB 2007) Bài 3: Cho hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 + + + (H). Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0 Bài 4: Cho hàm số 2 x 2x 2 y x 1 + + = + (C), gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I. Bài 5: Cho (C m ): y = (m 1)x m x m − + − Tìm m để tiếp tuyến với (C m ) tại điểm trên (C m ) có hoành độ x 0 = 4 thì 8 song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ. Bài 6: Cho hàm số y = 2x + 2 x 1− (H) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) 2) Chứng minh rằng: a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi. b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số. c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên. Bài 7: Cho hàm số y = 2 x 3x 3 x 2 − + − (H) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng: 1) M là trung điểm của PQ 2) Tam giác AIB có diện tích không đổi 3) IQ.IP không đổi. CHỦ ĐIỂM 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 1 ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT A. PHƯƠNG PHÁP: • Dùng công thức tách, công thức vi phân… để cách biến 9 đổi các hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể sử dụng trực tiếp bảng các nguyên hàm cơ bản. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 10 [...]... 2008 > 2006.2 III DẠNG 3: Bài toán 1: Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng Bài toán 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển A PHƯƠNG PHÁP Bài toán 1: Ta thực hiện các bước sau đây: • Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)n = n k n −k k b ∑ Cn a (1) k =0 • Tính tổng số mũ của ẩn • Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng số mũ của ẩn đề cho ⇒ k ⇒ Hệ số cần tìm Chú ý: Tìm số hạng không chứa x: Cho số... +2c – b = 0 Nếu phương trình có nghiệm t0, ta giải phương trình: π 2cos(x − ) = t0 với − 2 ≤ t 0 ≤ 2 4 Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 2 π 2sin(x − ) ⇒ sinx.cosx = t − 1 : Đặt t = sinx – cosx = 4 2 cách giải tương tự B CÁC VẤN ĐỀ ÔN LUYỆN Vấn đề 1: CÁC DẠNG PTLG THƯỜNG GẶP: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 1: Giải các phương trình sau: π π 1) cos(x + ) + sin(... DẠNG 2: Chứng minh đẳng, bất đẳng thức & k k Tính tổng một biểu thức (Có chứa Pn , An , Cn ) A PHƯƠNG PHÁP • Cách 1: Dùng các công thức: k Pn = n!, A n = n! n! k , Cn = (n − k)! k!(n − k)! Hoặc dùng các tính chất: n +1 k Cn ; C k +1 = C k C k = C n −k ; C k +1 = n n n n +1 k + 1 n +1 + C k +1 n • Cách 2: Dùng khai triển (a + x)n sau đó chọn x thích hợp, với a cho trước Nhận dạng: o Mỗi số hạng có dạng: ... hợp B3: Tính tích phân hai vế ta được kết quả Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển: o Nếu một vế của khai triển có chứa C0 và Cn (C đầu và n n cuối) đồng thời mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm đều một đơn vị, … o Nếu hệ số của số hạng thứ k trong tổ hợp là: bk+1 – ak+1 o Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi đã loại bỏ các đặc trưng của tích phân B BÀI... dãy {ak} mà ⇒ (ak)max Cách 2: Tìm k để a k ≥ a k +1 và a k ≥ a k −1 ⇒ (ak)max B BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau: 1 1) (x + )12 x 28 n 2) (x 3 x + x − 15 )n , biết rằng: Cn + Cn −1 + Cn −2 = 79 n n 3 3) ( x + 4 1 7 ) x (ĐH KD 2004) Bài 2: Tìm hệ số chứa x12 trong khai triển (x2 + 1)n Biết tổng các hệ số của khai triển trên bằng 1024 Bài 3: Tìm hệ số của... | f(x) | g(x).dx a A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau: 1 π 1 I1 = ∫ 4x − 4x + 1 dx (ĐS: ) I2 = ∫ 1 + cos2x dx 2 0 0 (ĐS: 2 2 ) 2 3π 4 I3 = ∫ | sin 2x | dx (ĐS: 1) I4 = π 4 π ∫ 1 + sin 2x dx (ĐS: 2 2 ) 0 π I5 = ∫ | cos x | sin x dx 0 (ĐS: 4 ) 3 I6 = 2π ∫ 1 + sin x dx (ĐS: 4 2 ) 0 CHỦ ĐIỂM 3 CÁC DẠNG TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIUTƠN I DẠNG 1: Giải phương trình - Bất phương trình... = 72 n n 1 3 n Bài 12: Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển (x − ) bằng 5 Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển trên Bài 13: Tìm hệ số lớn nhất trong các khai triển sau: 1) (1 + 2x)n , ứng với: a) n = 12 b) n = 30 1 3 2 3 2) ( + x) 40 x 5 2 5 n Bài 14: Tìm n của khai triển ( + x) biết hệ số của số hạng thứ 9 lớn nhất Bài 15: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng, số tập con gồm 4... về dạng (1) ) 1 − cos2x 1 * Cách 1: Thay sin2x = ; sinx.cosx = sin2x ; cos2x = 2 2 1 + cos2x 1 1 1 ; Ta có: a (1 – cos2x) + b .sin2x + c 2 2 2 2 (1+cos2x) = 0 ⇔ b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c) Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải) * Cách 2: • Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành: bsinx.cosx +c.cos2x = 0 ⇔ cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải. .. x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15 Bài 4: Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + 2x)n bằng 59049 Tìm hệ số của x4 Bài 5: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển 1) ( 3 2 + 3)19 2) ( 4 9 + 7 )120 Bài 6: Tìm hệ số của x8 trong các khai triển sau đây: 1 n 1) ( 5 x + 3 ) biết: Cn +1 − Cn +3 = 7(n + 3) n +4 n x (ĐH KA 2003) 2) [1 + x 2 (1 − x)]8 (ĐH KA 2004) 1 7 n Bài 7: Tìm hệ số của x26 trong khai... ẩn ở (1) bằng số mũ của ẩn đề cho ⇒ k ⇒ Hệ số cần tìm Chú ý: Tìm số hạng không chứa x: Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng 0 Bài toán 2: (với ak > 0, ∀k = 0, n ) Cách 1: Ta thực hiện các bước sau đây: • Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)n = n k n −k k b ∑ Cn a (1) k =0 • Có hệ số tổng quát là ak = Ck … n • Xét tính đơn điệu (tăng: Z , giảm: ] ) của dãy số {ak} như sau: ° Nếu a k +1 − a k a k +1 . TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI TẬP & HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC 1 CHỦ ĐIỂM 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI A. PHƯƠNG PHÁP: Bài. 0,x 0 ad 0 ∆   <   > >   <  g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ âm ⇔ ' f (x) max min max min > 0 y .y 0 x 0,x 0 ad 0 ∆   <   < <   >  g (C). ta có các bài toán sau: g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ ' f (x) max min > 0 y .y 0 ∆   <  g (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ dương ⇔ ' f (x) max min max min >