TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ SEMINAR ĐIỆN HỌC Giải toàn tương tác vật dẫn cân điện trường phương trình Poisson phương pháp ảnh điện NHĨM THỰC HIỆN: Lớp Sư phạm Lý Thành viên: Lê Đại Nam (NT) Nguyễn Sơn Hoành Trần Thị Diệu Linh Thành phố Hồ Chí Minh, 2012 37102062 37102030 37102052 Mục lục nội dung Lý chọn đề tài: Sơ lược vật dẫn cân tĩnh điện tượng hưởng ứng tĩnh điện: 2.1 Vật dẫn cân tĩnh điện: 2.1.1 Vật dẫn : 2.1.2 Điều kiện cân tĩnh điện vật dẫn: 2.1.3 Các tính chất vật dẫn cân tĩnh điện: 2.2 2.3 Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (điện hưởng): Bài toán tương tác vật dẫn cân trường ngồi: Phương trình Poisson vật dẫn cân đặt trường ngoài: .6 3.1 Thành lập phương trình Poisson: 3.2 Đưa phương trình Laplace: .6 3.3 Điều kiện biên để khử phải phương trình Poisson: 3.4 Một số ví dụ bản: 3.4.1 3.4.2 Quả cầu kim loại nối đất điện trường đều: .7 Mặt phẳng kim loại vô hạn nối đất điện trường đều: Phương trình Poisson vật dẫn cân tương tác với điện tích điểm: 4.1 Điều kiện biên để khử phương trình Laplace: 4.2 Giải phương trình Laplace số tốn cụ thể: 10 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với điện tích điểm: 10 4.2.2 Quả cần kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm: 11 4.3 Phương pháp giải toán tổng quát: 13 Phương pháp ảnh điện: 13 5.1 Cơ sở lý thuyết 13 5.2 Một số ví dụ tiêu biểu: 13 5.2.1 5.2.2 Quả cầu kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm: 14 5.2.3 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nối đất tương tác với điện tích điểm: 13 Quả cầu kim loại lập tương tác với điện tích điểm: 15 Một số lưu ý dùng phương pháp ảnh điện: 16 6.1 6.2 Cách lấy ảnh điện: 16 Thế tương tác điện tích ảnh: 16 Một số tập áp dụng: 17 Lý chọn đề tài: Hưởng ứng tĩnh điện tượng phổ biến thiên nhiên Mặc dù, việc giải thích định tính tượng có liên quan tương đối dễ dàng việc giải định lượng tồn có liên quan cơng việc vơ khó khăn Tiêu biểu tốn vật dẫn cân tĩnh điện đặt điện trường ngồi Có nhiều phương pháp dùng để giải tốn trên: phương pháp giải phương trình Poisson, phương pháp hàm Green, phương pháp ảnh điện, … Ở cấp độ phổ thơng, thường gặp tốn vật dẫn cân tương tác với điện tích điểm giải chúng phương pháp ảnh điện Tuy nhiên, việc áp dụng máy móc phương pháp ảnh điện dễ dẫn đến sai lầm Để hiểu rõ phương pháp ảnh điện, phạm vi ứng dụng để tránh sai lầm mắc phải, chúng tơi so sánh cách giải tốn tương tác vật dẫn cân điện tích điểm theo phương pháp ảnh điện phương pháp giải phương trình Poisson Ngồi ra, chúng tơi cịn đưa lưu ý có liên quan đến phương pháp ảnh điện nhằm giải số toán cụ thể Sơ lược vật dẫn cân tĩnh điện tượng hưởng ứng tĩnh điện: 2.1 Vật dẫn cân tĩnh điện: 2.1.1 Vật dẫn : Vật dẫn vật có chứa hạt mang điện tích tự do; hạt mang điện chuyển động tồn vật dẫn Có nhiều loại vật dẫn (rắn, lỏng khí) chủ yếu đề cập đến vật dẫn kim loại Trong vật dẫn kim loại, điện tích tự electron tự do, hay electron dẫn chuyển động tự từ nguyên tử đến nguyên tử khác mạng tinh thể kim loại 2.1.2 Điều kiện cân tĩnh điện vật dẫn: Khi vật dẫn đạt trạng thái cân tĩnh điện, điện tích tự đứng n (khơng xuất chuyển động có hướng) vật dẫn Chính từ điều kiện này, ta có: xét điện tích q nằm cân bên vật dẫn Khi đó, lực điện tác dụng lên điện tích F = Do đó, điện trường bên vật dẫn cân tĩnh điện Ein = Như vậy, ta có điều kiện thứ vế cân tĩnh điện vật dẫn cân a) Điều kiện thứ nhất: “ Vector cường độ điện trường Ein điểm vật dẫn phải khơng: Ein = ” Ngồi ra, để khơng xuất dịng chuyển dời có hướng điện tích bề mặt vật dẫn, điện trường ngồi bề mặt vật dẫn phải vng góc với bề mặt vật dẫn Từ đó, ta có thêm điều kiện thứ hai cân t ĩnh điện vật dẫn cân b) Điều kiện thứ hai: “Thành phần tiếp tuyến vector cường độ điện trường E điểm mặt vật dẫn phải không: Et = ” Khi điều kiện thỏa mãn, hạt mang điện tự bên bề mặt vật dẫn khơng có chuyển động có hướng, chúng có chuyển động nhiệt hỗn loạn Và đó, cường độ dịng điện bên bề mặt vật dẫn cân 2.1.3 Các tính chất vật dẫn cân t ĩnh điện: a) Vật dẫn cân tĩnh điện vật đẳng thế: Từ định nghĩa, ta có: điện điểm M ψ M điện trường điểm M EM = − grad ψ M Do đó, điện trường bên vật dẫn cân t ĩnh điện E = − grad ψ = ⇒ ψ = const , hay nói cách điện mọ i điểm bên vật dẫn Đối với điểm nằm bề mặt vật dẫn, ta có: E = − grad ψ = E n ⇒ ψ = const , tức điện mọ i điểm bề mặt vật dẫn Như vậy, từ hai điều kiện cân t ĩnh điện vật dẫn, ta rút kết luận: vật dẫn cân t ĩnh điện vật đẳng b) Điện tích vật dẫn cân tĩnh điện nằm bề mặt vật dẫn, bên vật dẫn khơng có điện tích: Để chứng minh có điều này, ta xét định lý Ostrogradsky – Gauss cho mặt Gauss Σ bên vật dẫn cân tĩnh điện Khi đó, ta có: ∫D in dS = ∑ qin ⇒ ε ∫ Ein dS = ∑ qin = ⇒ ∑ qin = Điều với mọ i mặt Gauss bên vật, đó, bên vật dẫn cân t ĩnh điện khơng có điện tích Điều đồng nghĩa với việc điện tích vật dẫn cân t ĩnh điện nằm bề mặt vật dẫn c) Sự phân bố điện tích bề mặt vật dẫn cân tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng nó: Đây tính chất mà lý thuyết thực nghiệm chứng minh Đối với vật có hình dạng bất kỳ, điện tích phân bố không đồng Điều dễ hiểu, điện trường ln nằm vng góc với bề mặt vật dẫn, nên chỗ nhọn đường sức điện trường tập trung nhiều chỗ lõm, mà điện tích tập trung chỗ nhọn nhiều chỗ lõm Chính phân bố điện tích khơng chỗ lồ i lõm khác nên phân bố điện tích bề mặt vật dãn cân tĩnh điện phụ thuộc vào hình dạng d) Điện trường bề mặt vật dẫn cân tĩnh điện: Giả sử ta xét mặt Gauss hình bên, mặt Gauss mặt trụ có tiết diện dS, bao lấ y diện tích dS bé nằm bề mặt vật dẫn Điện trường bên ngồi vật dẫn điểm E, mật độ điện mặt điểm σ Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho mặt trụ trên, ta có: Dout dS + Din dS = dq ⇒ Eout = dạng vector, ta có: Eout = σ n ε0 σ Hay viết dướ i ε0 Ta thấy điện trường có độ lớn gấp đơi điện trường mặt phẳng vơ hạn tích điện với độ tương ứng gây Điều giải thích sau: Eout điện trường tổng hợp phần diện tích dS gây điểm M phần lại vật (S – dS) gây lên vật điểm M Hai thành phần điện trường E1 E2 Ta có: Eout = E1 + E2 Xét điểm N nằm bên vật dẫn, gần điểm M, đó: điệ n trường N 0, phần diện tích dS gây phần cịn lại (S – dS) ′ gây ra: Ein = E1′ + E2 =  E ′ = − E1  ⇒ Eout = E1 Ta dễ dàng thấy:  ′  E2 = E2  Điện trường E1 xem mặt phẳng rộng vô hạn gây với mật σ độ điện mặt σ Khi ta tính được: E1 = n Ta rút được: 2ε σ Eout = E1 = n ε0 2.2 Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (điện hưởng): Giả sử ta đặt vật dẫn A tích điện Q lại gần vật B Khi đó, vật dẫn B xuất hiệ n điện tích q Giữa hai vật A B xuất hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện Điện tích q gọi điện tích hưởng ứng Nếu mọ i đường sức từ vật dẫn A sang vật dẫn B |q| = |Q|, ta nói hai vật A B xả y tượng điện hưởng tồn phần Nếu khơng phải tất đường sức từ vật dẫn A sang vật dẫn B |q| < |Q|, ta nói hai vật A B xảy tượng điện hưởng phần 2.3 Bài toán tương tác vật dẫn cân trường ngồi: Giả sử ta có vật dẫn cân S đặt điện trường ( điện trường đều, điện trường điện tích điểm gây vật dẫn khác gây nên) Khi đó, cần phải tính tốn xác định số đại lượng vật lý có liên quan đến tương tác vật dẫn điện trường ngồi Tùy theo nhu cầu tính cụ thể, thường cần phải xác định: điện trường tổng hợp bên ngoài, điện bên ngoài, mật độ điện tích phân bố bề mặt vật dẫn, lực trường tác dụng lên vật dẫn, v.v.v Những dạng toán thuộc dạng toán tương tác vật dẫn cân điện trường ngồi Để giải tốn này, theo hai hướng: giải phương trình Poisson sử dụng phương pháp ảnh điện Chúng ta khảo sát cụ thể phương pháp 3 Phương trình Poisson vật dẫn cân đặt trường ngoài: 3.1 Thành lập phương trình Poisson: Đối với điện trường t ĩnh bất kỳ, ta ln có: E = − grad ψ (1) , với ψ điện tương ứng điểm Nếu ta xét chân khơng định lý Ostrogradsky – Gauss viết lạ i thành: mặt Gauss Σ thì: ε ∫ EdS = ∑ qi = ∫ ρ dV với ρ mật độ điện tích miền khơng gian V giới hạn mặt Gauss Áp dụng định lý Divergence cho vế trái phương trình, ta có: ρ ε ∫ divEdV = ∫ ρ dV ⇒ divE = ( ) ε0 Từ (1) (2) ta có phương trình Poisson: ∆ψ = − ρ ( 3) với ∆ toán tử Laplace ε0 Trong toán vật dẫn cân t ĩnh điện tương tác với điện trường ngoài, khác biệt toán toán tĩnh điện khác nằm điều kiện biên 3.2 Đưa phương trình Laplace: Để đưa phương trình Poisson (3) dạng phương trình Laplace, ta xét phương trình (3) đố i với điểm bên ngồi vật dẫn cân điện tích khơng gian Khi ρ = Phương trình (3) trở thành phương trình Laplace: ∆ψ = ( ) 3.3 Điều kiện biên để khử phải phương trình Poisson: Để giải phương trình Laplace (4) toán vật dẫn cân t ĩnh điện tương tác với trường ngoài, ta phải đưa điều kiện biên vào để việc khử phải phương trình Poisson (3) thích hợp Ở nhóm đưa số điều kiện biên đặc biệt thường sử dụng toán này: - Điều kiện biên thể xuất vật dẫn cân bằng: điện mặt S số ψ S = const , phương trình Laplace xét khơng gian bỏ mọ i điểm bên mặt S Điều kiện biên thể xuất điện trường đều: điện điềm nằm xa vật dẫn cân điện trường gây ra: ψ r ≫ S = − E.r Điều kiện biên thể xuất điện tích điểm: điện vị trí điện tích điểm M vơ lớn: ψ M = ∞ Tuy nhiên, để khử dạng vô điều kiện biên này, sử dụng thủ thuật nho nhỏ đề cập đến phần sau 3.4 Một số ví dụ bản: 3.4.1 Quả cầu kim loại nố i đất điện trường đều: Ta xét toán hệ tọa độ trụ ( r, ϕ , z ) đặt gốc Do cầu kim loại nối đất nên điện bề mặt kim loại ψ z + r = R2 = Ở cách tâm xa điện xem điện trường gây ra: ψ →− E.z z + r →∞ ( ) Do tốn lúc có tính đối xứng trụ (với trục trục Oz) nên toán tử Laplace viết ∂  ∂  ∂2 thành: ∆ = ( đối xứng trụ nên khơng phụ thuộc vào góc ϕ , tốn tử r + r ∂r  ∂r  ∂z ∂2 Laplace lúc khơng có thành phần ) r ∂ϕ ∂  ∂ψ  ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ =0⇔ + + = Phương trình (4) trở thành: r + r ∂r  ∂r  ∂z ∂r r ∂r ∂z Ta biết ψ →− E.z , đó, ψ ( r , z ) = − E.z +ψ ( r , z ) với ψ → ( z + r )→∞ ( z + r )→∞ Ngồi ra, ta lại có: ψ z + r = R2 = ⇒ψ z + r = R2 = − E z + ψ z + r = R2 = ⇒ ψ ( r , z ) = zψ ( r , z ) ψ →  ( z + r )→∞ Cuối ta có dạng: ψ ( r , z ) = − E.z + z.ψ ( r , z ) với điều kiện biên:  ψ z2 + r = R2 = E   Như ta dự đốn dạng nghiệm ψ ( r , z ) sau: n  R2  ψ ( r, z ) = E  2  r +z  Thay nghiệm ψ ( r , z ) = − E.z + z.ψ ( r , z ) ta dự đốn vào phương trình Laplace, ta tìm n Cụ thể là: ∂ 2ψ z ∂ψ ∂ 2ψ ∂ψ z + +z +2 =0 ∂r r ∂r ∂z ∂z n 2n ( 2n − 3) z  R  ⇔   =0 r2 + z2  r2 + z2  ⇔n=3   2   R  − 1 Do điện trường Thay vào ta nghiệm điện sau: ψ ( r , z ) = E z     r + z2       vật dẫn nên điện bên phải nhất, nghiệm nghiệm tốn khảo sát Thật ra, toán này, ta sử dụng hệ tọa độ cầu kết hợp với phép khai triển đa cực hai điều kiện biên phép tính đơn giản nhiều Điện trường tổng hợp cầu điện trường là:   r − z  R 5/  ∂ψ  Ez = − ez = 1 −    E.ez ∂z R2  r + z        E = − grad ψ ⇒  5/  ∂ψ 3rz  R  Er = − er =    E.er ∂r R  r + z2     3z Ez = E.ez  3z  R Tại bề mặt cầu thì:  ⇒ E′ = E R  E = zr E.e r r   R Từ ta xác định mật độ điện mặt cầu 3z σ = ε E ′ = ε E R Việc xác định mật độ điện mặt giúp ta xác định lực điện trường tác dụng lên cầu nố i đất: dF = dqE ⇒ F = qE với q = ∫ σ dS = Do đó, lực điện trường tác dụng lên cầu Điều giải thích lực điện tác dụng lên nửa “âm” nửa “dương” cân với 3.4.2 Mặt phẳng kim loại vô hạn nối đất điện trường đều: Ta xét toán hệ tọa độ trụ ( r , ϕ , z ) đặt gốc O Do mặt phẳng kim loại nố i đất nên điện bề mặt kim loại ψ z =0 = Bài toán khác với tốn chỗ, tính đối xứng toán Nếu toán 3.4.1 tốn đối xứng trụ tốn này, ta thấy mọ i điểm nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng vô hạn có tính đố i xứng Hay nói cách khác, mặt đẳng điểm bất ký mặt song song với mặt z = Điện tích phân bố kim loại σ điện trường bên vật dẫn E ′ = E + có: E ′ = σ Tại bề mặt vật dẫn, từ phần 2.1.2d, ta 2ε σ ⇒ σ = ε E E ′ = E ε0 Điện điểm M bất ký lúc ψ ( r , ϕ , z ) = E.z Phương trình Poisson vật dẫn cân tương tác với điện tích điểm: 4.1 Điều kiện biên để khử phương trình Laplace: Như đề cập phần 3.3, có điện tích điểm q đặt vị trí M ta có điều kiện biên ψ M = ∞ Tuy nhiên, với điều kiện biên này, chưa đủ sở để thể hồn chỉnh điện tích điểm q đặt khơng gian Do đó, chúng tơi đưa cách thể hiệ n điều kiện biên sau: Xét lân cận ε bao quanh điểm M, đó, điện lân cận xem điện tích điểm q gây ra, ta biểu diễn dạng toán học là: q ψ ε − M  → ε →0 4πε 0ε Với cách biểu diễn này, ta biểu diễn điện tích điểm diện không gian (Trong điện động lực học, người ta biểu diễn điện tích điểm hàm Delta Dirac xuất vế phải phương trình Poisson, đó, xem cách khéo léo nhằm khử vế phải) 4.2 Giải phương trình Laplace số toán cụ thể: 4.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nố i đất tương tác với điện tích điểm: Ta xét mặt phẳng rộng vô hạn phần 3.4.2 tương tác với điện tích điểm đặt điể m ( r ,ϕ , z ) = ( 0, 0, a ) Khi đó, ta có điều kiện biên sau: Do mặt phẳng nố i đất nên ψ z =0 = Điện tích điểm đặt M nên ψ ε −M  → ε →0 q 4πε 0ε Ta dễ dàng nhận thấy rằng, tốn có tính đối xứng trụ, với trục trục Oz, đó, điện khơng phụ thuộc vào góc ϕ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ  ∂ψ + =0⇔ + + =  r ∂r ∂z ∂r  ∂z Để giải nghiệm này, ta xem xét điều kiện biên Từ điều kiện biên thứ hai, ta thấy ψ bao gồm điện tích q mặt phẳng rộng vơ hạn gây Ai Ngoài ra, ta biết phương trình Laplace có nghiệm riêng dạng , giống vớ i r + ( z − ) điện điện tích điểm gây Do đó, ta thử xét phương trình với nghiệm sau: Ai A1 A2 ψ =∑ = + 2 i r + ( z − ) r + ( z − a1 ) r + ( z − a2 ) Phương trình Laplace trở thành: ∆ψ = ∂  ∂ψ r r ∂r  ∂r Từ điều kiện biên thứ hai, ta giả sử điện cịn có số hạng thứ nhất, đó: q   A1 = 4πε  a = a  Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có: q   A2 = − 4πε + =0⇒ , để tránh vi phạm đ iều kiên biên thứ hai ta 4πε r + a r + a2 a = a  chọn được: q A2 q   A2 = − 4πε  a = − a    q  1  −  4πε  r + ( z − a ) r + ( z + a)   Số hạng thứ điện điện tích điểm q gây ra, cịn số hạng thứ hai ta xem điện tích điểm –q gây đặt điểm z = -a Về lưu ý đề cập rõ phần phương pháp ảnh điện Từ đây, ta xác định lực mặt phẳng tương tác với điện tích điểm sau: Vậy điện lúc ta có dạng: ψ ( r , z ) = F= q2 16πε a 4.2.2 Quả cần kim loại nố i đất tương tác với điện tích điểm: Ta xét cầu kim loại nố i đất phần 3.4.1 tương tác với điện tích điểm đặt điể m ( r ,ϕ , z ) = ( 0, 0, a ) Khi đó, ta có điều kiện biên sau: Do mặt phẳng nố i đất nên ψ r + z = R2 = Điện tích điểm đặt M nên ψ ε −M  → ε →0 q 4πε 0ε Ta dễ dàng nhận thấy rằng, tốn có tính đối xứng trụ, với trục trục Oz, đó, điện khơng phụ thuộc vào góc ϕ ∂ 2ψ ∂ψ ∂ 2ψ  ∂ψ + =0⇔ + + =  r ∂r ∂z ∂r  ∂z Để giải nghiệm này, ta xem xét điều kiện biên Từ điều kiện biên thứ hai, ta thấy ψ bao gồm điện tích q cầu kim loại gây Ai Ngồi ra, ta biết phương trình Laplace có nghiệm riêng dạng , giống vớ i 2 r + ( z − ) điện điện tích điểm gây Do đó, ta thử xét phương trình với nghiệm sau: Ai A1 A2 ψ =∑ = + 2 2 2 i r + ( z − ) r + ( z − a1 ) r + ( z − a2 ) Phương trình Laplace trở thành: ∆ψ = ∂  ∂ψ r r ∂r  ∂r Từ điều kiện biên thứ hai, ta giả sử điện cịn có số hạng thứ nhất, đó: q   A1 = 4πε  a = a  Từ điều kiện biên thứ nhất, ta có: q A2 + =0 2 4πε r + ( z − a ) r + ( z − a2 ) ⇒ r2 + ( z − a) r + ( z − a2 )  q  =   4πε A2  2 R + a − za  q  ⇒ =  R + a2 − za2  4πε A2  Do vế phải số nên vế trái số, không phụ thuộc vào z Do đó, ta có:  a2 = a = ⇔ a ( R + a ) − a2 ( R + a ) = ⇔  a = R R + a2 −2a2  a  để tránh vi phạm điều kiên biên thứ hai ta chọn được: R2 + a2 −2a q R   A2 = − 4πε a   a = R  a  2 2   q  Ra  Vậy điện lúc ta có dạng: ψ ( r , z ) = −  2  4πε r + ( z − R2 a )   r + ( z − a)   Số hạng thứ điện điện tích điểm q gây ra, cịn số hạng thứ hai ta xem điện tích điểm qR a gây đặt điểm z = R a Về lưu ý đề cập rõ phần phương pháp ảnh điện Từ đây, ta xác định lực cầu kim loại tác dụng với điện tích điểm sau: F= q Ra 4πε ( a − R ) 4.3 Phương pháp giải toán tổng quát: Đối với toán tương tác vật dẫn cân t ĩnh điện tương tác điện trường điện tích điểm, ta có bước sau: - Thành lập phương trình Laplace điều kiện biên đề cập phần 3.3 4.1 - Từ điều kiện biên, chọn nghiệm riêng thích hợp phương trình Laplace tổ hợp tuyến tính chúng cho thỏa mãn điều kiện biên Đây việc tương đố i khó, nhiên, đốn số nghiệm riêng như: nghiệ m riêng điện tích điểm, nghiệm riêng điện trường đều, v.v.v - Tìm biểu thức tường minh điện Đến bước này, nửa toán xem giải Việc cịn lại tìm đại lượng tương ứng để khảo sát điện trường, mật độ điện mặt bề mặt vật dẫn, lực tương tác chúng, v.v.v Phương pháp ảnh điện: 5.1 Cơ sở lý thuyết Phương pháp ảnh điện dựa kết sau: “ Nếu ta thay mặt đẳng điện trường vật dẫn có hình dạng điện với mặt đẳng xét điện trường ngồi vật dẫn khơng bị thay đổi.” Để hiểu rõ phát biểu trên, khảo sát trường hợp cụ 5.2 Một số ví dụ tiêu biểu: 5.2.1 Mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nố i đất tương tác với điện tích điểm: Ta xét lại toán 4.2.1 cách sử dụng phương pháp ảnh điện Ta xét hệ hai điện tích q –q nằm đối xứng với qua mặt phẳng z = 0, chúng cách mặt phằng khoảng a Khi đó, điện điểm mặt phẳng trung trực V = Ta thấy rằng, mặt đẳng có hình dạng điện với mặt phẳng kim loại ta cần xét, đó, theo phát biểu 5.1 ta thay kim loại điện tích “ảnh” –q đối xứng với q qua mặt phẳng kim loại Khi lực tương tác điện tích –q q lực tương tác mặt phẳng kim loại điện tích q F= q2 16πε a Kết tương tự với kết thu phần 4.1 Với nhận xét phần 4.1, ta thấy rằng, số hạng thứ hai nghiệm phương trình Laplace điện tích “ảnh” gây 5.2.2 Quả cầu kim loại nối đất tương tác với điện tích điểm: Trước tìm “ảnh” điện tích q, ta khảo sát tương tác cầu điện tích q trước Quả cầu vật đẳng thế, bên cầu điện trường 0, đó, điện điểm bên bên bề mặt cầu bàng Ta xét tâm cầu, điện tâm O điện tích điểm phân bố bề mặt cầu ∆q′ điện tích điểm q gây Ta có kết sau: VO = q 4πε a + ∑ ∆q′ = ⇒ q′ = −qR 4πε R a Như vậy, ta thay cầu kim loại mặt đẳng điện tích q điện tích − qR gây điện tích phải điện tích q′ = a Ta xét điện tích q đặt A điện tích q’ đặt B hình vẽ Khi đó, mặt đẳng V = q q′ a d hai điện tích điểm, thỏa mãn: + = ⇒ = , tỉ sổ không đổi d1 d d2 R Theo định lý Apollonius hình học, quỹ tích điểm thỏa mãn điều kiện mặt cầu tâm O thỏa mãn: R2 a Ta thấy rằng, mặt đẳng có hình dạng điện với cầu kim loại ta cần xét, đó, theo phát biểu 5.1 ta thay cầu kim loại điện tích “ảnh” q’ R2 cách tâm O khoảng OB = a OB = a2 − R2 a Lực tương tác q’ q lực tương tác cầu điện tích điểm q: qq′ q Ra F= = 4πε AB 4πε ( a − R )2 Khi đó, AB = 5.2.3 Quả cầu kim loại lập tương tác với điện tích điểm: Tương tự 5.2.2, ta tính điện điểm mặt cầu, điện tâm O q ∑ ∆q′ = q bằng: VO = + 4πε a 4πε R 4πε a Như vậy, để xét tốn cách dễ dàng, ta xem cầu kim loại chồng chập cầu nối đất có điện tích q’ tính 5.2 cầu có điện tích –q’ phân bố bề mặt Khi đó, ta thấy rằng, “ảnh” trường hợp gồ m hai điện tích điểm: điện tích q’ đặt 5.2 điện tích –q’ đặt tâm O cầu Lực tương tác tác dụng lên điện tích điểm q cầu cô lập là: qq′ qq′ q Ra q2R F= + = + 4πε AB 4πε 0OA2 4πε ( a − R ) 4πε a Một số lưu ý dùng phương pháp ảnh điện: 6.1 Cách lấy ảnh điện: Trong hai trường hợp đơn giản: mặt phẳng rộng vơ hạn cầu việc xác định điện tích “ảnh” tương đối dễ dàng Thơng qua trường hợp trên, ta rút bước để xác điện tích “ảnh”: - Xác định xác hình dạng mặt đẳng điện mặt đẳng - Xác định điện tích hướng ứng xuất mặt đẳng - sau ta dùng điện tích để xác định điện tích “ảnh” - Từ việc xác định điện tích “ảnh”, ta khảo sát điện điện tích gây ra, sử dụng điều kiện điện nằm mặt đẳng cần xét để tìm vị trí điện tích “ảnh” Trong số trường hợp, “ảnh” điện tích điểm bao gồm nhiều điện tích điểm khác nhau, quan trọng điều kiện mặt đẳng đảm bảo để sử dụng phát biểu 5.1 6.2 Thế tương tác điện tích ảnh: Lấy ví dụ đơn giản 5.2.1, cần xác định tương tác mặt phẳng rộng vơ hạn điện tích điểm q xác định nào? Theo cách nghĩ thông thường, ta thấy rằng: tương tác mặt phẳng rộng vô hạn điện tích q tương tác điện tích “ảnh” – q điện tích điểm q, đó, tương tác −q chúng là: W ′ = Liệu kết có xác hay khơng? 8πε a Ta thử tính tương tác mặt phẳng điện tích q theo cách sau: a −q dz −q = 16πε z 16πε a ∞ a W = A∞ = ∫ Fds = ∫ ∞ Như vậy, thực tế rằng, tương tác mặt phẳng điện tích q nửa so vớ i tương tác hai điện tích –q q Điều giải thích sau: miền không gian chứa điện trường thực chất nửa (do mặt phẳng kim loại chắn điện trường), cường độ điện trường mỗ i điểm hai trường hợp nhau, đó, mật độ lượng điện trường nhau, nên lượng điệ n trường tích trữ dạng trường hợp mặt phẳng kim loại tương tác với điện tích điểm giảm nửa Nếu ta tính tương tự cho 5.2.2 ta thấy: W′ = a a qq′ −q R q Rzdz −q R = W = A∞ = ∫ Fds = ∫ = 2 4πε AB 4πε ( a − R ) 8πε ( a − R ) ∞ ∞ 4πε ( z − R ) Ta thây rằng, tương tác cầu điện tích q nửa so với điện tích q điện tích ảnh Như vậy, tốt nhất, để xác định toán tương tác với vật dẫn cân bằng, ta sử dụng định nghĩa không sử dụng tương tác ảnh điện tích điểm 7 Một số tập áp dụng: Bài Một mặt phẳng uốn thành dạng góc vng hình vẽ Một điện tích điểm có khố i lượng m điện tích Q đặt vị trí cách mỗ i mặt phẳng đoạn d Thả tự điện tích Hãy xác định: a) Gia tốc điện tích vừa thả tự b) Vận tốc điện tích điểm đoạn d Bài Một cầu kim loại nố i đất, giữ cố định với bán kính R Từ khoảng cách xa, có điện tích q bay đến đường thẳng cách tâm cầu đoạn 2R Vận tốc điện tích q lúc v0 Hãy xác định khoảng cách bé điện tích điểm tâm O cầu kim loại Bài Tính điện dung sợi dây dẫn hình trụ, bán kính R dài vơ hạn mang điện dương, đặt song song với mặt đất cách mặt đất khoảng h ≥ R Bài Tính tương tác cầu kim loại cô lập bán kính R điện tích điểm q đặt cách tâm O khoảng a ≥ R Bài Xác định phân bố điện tích bề mặt cầu nố i đất bán kính R tương tác với điện tích điểm q đặt cách tâm O cầu đoạn a Bài Xác định lực tương tác lưỡng cực điện p mặt phẳng kim loại rộng vô hạn nố i đất cách tâm lưỡng cực khoảng a trường hợp: a) Lưỡng cực đặt song song với mặt phẳng kim loại b) Lưỡng cực đặt vng góc với mặt phẳng kim lo ại c) Lưỡng cực đặt hợp với pháp tuyến mặt phẳng góc α Tài liệu tham khảo [1] Lương Dun Bình, Vật lý đại cương tập hai, NXB Giáo dục, 2008 [2] Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi, Bồ i dưỡng Học sinh giỏ i Vật lí Trung học phổ thơng Điện học 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009 [3] Nguyễn Lê Thương, Năng lượng toán ảnh điện, Câu lạc Vật lý tuổi trẻ, 2008 [4] Nguyễn Cơng Tâm, Phương trình Vật lý – tốn nâng cao, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2002  ... cách giải tốn tương tác vật dẫn cân điện tích điểm theo phương pháp ảnh điện phương pháp giải phương trình Poisson Ngồi ra, chúng tơi cịn đưa lưu ý có liên quan đến phương pháp ảnh điện nhằm giải. .. 2.3 Bài toán tương tác vật dẫn cân trường ngồi: Giả sử ta có vật dẫn cân S đặt điện trường ngồi ( điện trường đều, điện trường điện tích điểm gây vật dẫn khác gây nên) Khi đó, cần phải tính toán. .. tính chất vật dẫn cân tĩnh điện: 2.2 2.3 Hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện (điện hưởng): Bài toán tương tác vật dẫn cân trường ngồi: Phương trình Poisson vật dẫn cân đặt trường ngoài: