T TÍCH P H  N Ậ P I U PHỤ T H U Ộ C T H A M s ố TÍCH P H  N Đ Ư Ờ N G - TÍCH P H  N V À TÍCH P H  N MÁT NGUYÊN lọc LIỆU l i KỊ Hà NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI BỘI TRẦN ĐỨC LONG - NGUYÊN ĐÌNH SANG - HOÀNG QUỐC TOÀN B À I T Ậ P G I A I T Í C H Tập MI TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM số - TÍCH PHÂN BỘI TÍCH P H  N Đ Ư Ờ N G VÀ TÍCH PHÂN MẶT (In lần thứ tư có sửa chữa bổ sung) ĐẠI H Ọ C T H A I NGUYÊN TRUNG TÂM HÓC LIỆU NHÀ X U Ấ T B Ả N ĐẠI H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ N Ộ I Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Chương lo T Í C H P H  N P H Ụ T H U Ộ C T H A M s ố § Tích p h â n p h ụ thuộc t h a m số cận h ữ u h n § T í c h p h â n s u y r ộ n g p h ụ t h u ộ c t h a m số Chương li TÍCH PHÂN BỘI §1 Định 17 35 nghĩa 35 §2 Cách t í n h tích p h â n bội 37 §3 Cơng thức giá trị trung b ì n h 40 §4 T í n h diện tích v t h ể tích 51 Chương 12 T Í C H P H  N Đ Ư Ờ N G V À T Í C H P H  N M Ặ T 55 §1 Tích p h â n đường 55 §2 Tích p h â n m ặ t 68 § Sự liên h ệ tích p h â n đường, tích p h â n m ặ t v t í c h p h â n b ộ i C ô n g t h ứ c G r e e n , Stokes, Ostrogradski 76 §4 ứ n g d ụ n g tích p h â n đường v m ặ t vào lý t h u y ế t t r n g Đ Á P SỐ VÀ L Ờ I G I Ả I PHỤ LỤC 93 97 249 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn C h n g 10 TÍCH P H  N P H Ụ T H U Ộ C T H A M s ố § TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC T H A M s ố CẬN HỮU HẠN Giả sử f(x, y) hàm số xác định vói X e [a, b] y thuộc t ậ p h ợ p s ố t h ự c Y n o đ ó , cho v i m ỗ i y c ố đ ị n h t h u ộ c Y h m f(x,y) k h ả t í c h t r o n g đ o n [a,b] K h i b I(y)= Jf(x,y)dx (1) a l m ộ t h m s ố x c đ ị n h t r ê n t ậ p Y v g ọ i l t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m s ố h m f(x, y) t r ê n đ o n [a,b] Các tỉnh chất a Tính liên tục: N ế u h m f ( x , y ) x c đ ị n h v l i ê n t ụ c t r o n g h ì n h c h ữ n h ậ t a>= [a, b ] X [c, d] t h ì t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m s ố I ( y ) l m ộ t h m s ố l i ê n t ụ c t r ê n đ o n [c, d ] Ịf.Tính khổ vi: Giả thiết: i) H m f(x,y) h m số xác định h ì n h chữ nhật Cữ = [a, b ] X [c, d] v l i ê n t ụ c t h e o b i ế n x e [a, b ] vôi m ỗ i y c ố đ ị n h t h u ộ c đ o n [c, d ] ; Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn ũ ) H m f ( x , y ) có đạo h m r i ê n g ( x ' y ) h m liên tục hình chữ nhật P' m ộ t s p h â n hoạch A v ta có ĩ(f, p) ­ I(f, p ) = ỵ (ĩ(f | , p ) ­ I(f Is, p ) < k = e s s s s k Vậy f k h ả tích t r ê n A Vì f > nên < ì* < ì* Ta chứng minh ì* = Cho trước £>0 Chỉ có m ộ t s ố h ữ u h n c c s ố n g u y ê n d n g q cho 255 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn , , TỊ q < - chi có m ộ t số h ữ u han p h â n s ố tơi g i ã n — q Ì£ vói — > — G i ả sử sô p h â n số k q e Xét phân hoạch p [0,l]x[0,l] vói đương kính ?i hộp v(S) < — Trong V 2k phân hoạch có nhiều k hình hộp chứa điểm có d(P) < J4r • Khi m< hình s p có 2k p2 toa độ X p h â n số t ố i giản — với q < — Vì f < Ì n ê n ta có q£ ĩ ( f , P) = y • M ( f ) + ý • • M ( f ) < k — + ­ = E s 2k s s ^ ' tổng l ấ y theo h ì n h hộp s có chứa c c đ i ể m có p toa độ X p h â n s ố t ố i g i ả n — với q < —, ý " l tổng cịn lại Vậy ì* = ì = 0, Jfdxdy = Í0.1H0.11 (Phản chứng) Giả sử đoạn [a,b] có độ đo khơng Khi VĨI < E < b - a cho trưốc tồn hệ khoảng {(a„,b )ỉ n n cho u(a b )z>[a,b] £(b -a ) b - a i=i Ta c h ứ n g m i n h v n h v ậ y ta đ ế n m â u t h u ẫ n , t suy đ i ể u p h ả i c h ứ n g m i n h Ta c h ứ n g m i n h đ i ề u n y b ằ n g quy n p V ố i n = l đ i ề u k h ẳ n g đ ị n h h i ể n n h i ê n đ ú n g G i ả sử đ i ề u n y đ ú n g cho k, ta c h ứ n g m i n h đ ú n g cho k + k+l T h ậ t v ậ y n ế u u ( a , b ) r>[a,b] t h ì b ằ n g c c h đ n h s ố l i n ế u i i cần ta có t h ể xem r ằ n g a e (a,,b,) N ế u b, > b t h ì b, - a, > b-a k+l N ế u b, < b t h ì u ( a j , b ị ) [b , b ] K h i theo g i ả t h i ế t quy k+l n p ( p d ụ n g cho đ o n [ b b ] ) ta có ^(bị 1=2 1; k +1 ^ (bị - a , ) > b i=2 - aj + b - bi -ãị) >b-b l Vì t h ế >b-a a) Giả sử tập A có điểm a Theo định nghĩa đ i ể m t r o n g t n t i m ộ t l â n c ậ n a m ộ t h ì n h h ộ p s t â m a có t h ể t í c h v(S) > (xem b i t ậ p 9) L ấ y E > 0, e < v(S) K h i đ ó k h n g t h ể p h ủ A b ằ n g h ệ h ì n h h ộ p có t ổ n g t h ể t í c h n h ỏ h n v(S) V ậ y n ế u a có đ ộ đ o k h n g t h ì A k h n g có đ i ể m t r o n g b) G ọ i B t ậ p c c đ i ể m vô t ỷ t r o n g đ o n [0,1] Vì t ậ p c c đ i ể m h ữ u t ỷ t r ù m ậ t t r o n g R n ê n B k h n g có đ i ể m t r o n g R õ r n g B k h n g có độ đ o k h ô n g c) Tập Q = {(rj,r , ,r ): r, hữu tỷ Vi} tập đếm nên có n n độ đo k h ô n g T u y n h i ê n Q" = R n 257 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Do XB £ n ê n v(B) = Ị x d V = k h i v k h i tích p h â n Á B f x d V = hay s u p ĩ ( x , P ) = Đ i ề u n y x ả y r a k h i v chì J p Ả v ố i m ọ i 6>0 t n t i p h â n hoạch p cho B B ậ p Vì h ì n h chiếu E t r ê n R n1 p Ĩ(XB v ( ) = X SnB*0 S ) < R õ • r n g h ọ c c t * S :s n *® B p h ủ B ' có t h ể tích (n - 1) - chiều - n ê n theo b i h ì n h chiếu n y p h ủ h ì n h hộp (n - 1) - chiều S ,S , ,S có tổng t h ể tích n h ỏ t ù y ý Vì E l bị k chặn n ê n toa độ t h ứ n điểm E p h ả i n ằ m m ộ t đoạn [a,b] n o Cho trưóc £ > , g i ả sử S S f c & l h ì n h 1( hộp (n - 1) - chiều p h ủ h ì n h chiếu E l ê n R nl vái ỳ (S.) A A ta đ ế n m â u t h u ẫ n 2 n n A Chú ý: Sử dụng b i ta có t h ể chứng m i n h b ằ n g quy n p theo n 258 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 a) Theo b i n ế u B có t h ể t í c h b ằ n g t h ì có t h ể p h ủ B k b ằ n g m ộ t s ố h ữ u h n h ì n h h ộ p đ ó n g S ,S , ,S : B e u S j v 1=1 k ^v(Sj) cho t r c U Vì Si l tập đóng nên k B u ổ B = B c u s, V ậ y ƠB có t h ể t í c h k h n g i=l b) Lấy B = Q n [0,1], Q tập số hữu tỷ Vì B t ậ p đ ế m n ê n B có đ ộ đ o k h n g T u y n h i ê n ỠB=[0,1] k h n g có đ ộ đ o k h ô n g c) Với B = Q n [0,1] ta có B tập độ đo khơng í Ì X hưu tỷ thuôc [0,1] X (x) = ị , [0 n ê u X v t ỷ B Khi ịxBdx không tồn [0 11 li Giả sử B tập đo Jordan khơng có điểm Theo đ ị n h n g h ĩ a t n t i h ì n h h ộ p A cho X B k h ả t í c h t r ê n A v(B) = Jx dV A B Vì XB khả tích A nên JxB = JxB =SUpI(XB' ) dV dV P A * p I(XB.P) = X s(XBM )s m S 259 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Do B k h ô n g có đ i ể m n ê n v ố i m ọ i S , S n ( A \ B ) * vỉ m ( x ) = nên s B KXB-P) = v ( A ) = Ị x e d V = Ẩ 12 Vì ỊXB^V tồn nên theo định nghĩa B tập đo A Jordan dB có độ đo N h v ậ y B = B WỔB c ũ n g có độ đo k h n g B t ậ p compăc n ê n B có t h ể tích k h ô n g V ậ y V ( B ) = j x d V = B Á 13 Đát B = {x : f(x) > -} Vì ỉ > nên (x:f(x) * 0} = ũ B n n n n=l Tacó0= jfdV= jfdV + JfdV> jfdV>­v(B ) n A B„ B B n n Vậy B có độ đo khơng {x: f(x) í 0} có độ đo khơng n 14 Theo định nghĩa B đo Jordan XB khả h tlc t r ê n A, đ i ề u n y x ả y k h i k h i với m ọ i e > t n t i p h â n hoạch p cho £M (XB)V(S)-2>S(XB)V(S)