Chuyên đề : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Thông thường toán hình chóp phân thành dạng sau: Cho hình chóp Hình chóp có cạnh bên vuông góc với Hình chóp mp đáy S S A C A O B B - Hình chóp tam giác Đa giác đáy : − Tam giác vuông − Tam giác cân − Tam giác − Hình vuông, chữ nhật ng 01 C - Hình chóp tứ giác Tra  HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A.Các Tính Chất : Tam giác thường: − Diện tích tam giác A * S∆ABC = AB AC.sin µ ; A h S ∆ABC = BC AH B Các tam giác đặc biệt : a Tam giác vuông : + Định lý pitago: BC = AB + AC + Tỷ số lượng giác tam giác vng A µ sin B = b c µ tan B = C H Đối b = Kề c C a B Đối b = Huyền a µ ; cos B = Keà c = ; Huyeàn a + Diện tích tam giác vng: S∆ABC = AB AC A b Tam giác cân: + Đường cao AH đường trung tuyến µ + Tính đường cao diện tích : AH = BH tan B , S∆ABC = BC AH B C H c Tam giác đều: A + Đường cao tam giác : h = AM = AB + Diện tích : S∆ABC = ( AB)2 Tứ giác a Hình vng A 3 ( đường cao h = cạnh x ) 2 G C B B M + Diện tích hình vng : S ABCD = ( AB)2 ( Diện tích cạnh bình phương) + Đường chéo hình vng AC = BD = AB + OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vng O cạnh x ) D C A B b Hình chữ nhật O D C + Diện tích hình vng : S ABCD = AB AD ( Diện tích dài nhân rộng) + Đường chéo hình chữa nhật OA = OB = OC = OD B Thể Tích Khối Chóp: Trang 02 S + Thể tích khối chóp : V = B.h Trong :B diện tích đa giác đáy , h : đường cao h hình chóp A C H B  Các khối chóp đặc biệt : a Khối tứ diện đều: + Tất cạnh A + Tất mặt tam giác + O trọng tâm tam giác đáy Và AO ⊥ (BCD) D B O S M C b Khối chóp tứ giác + Tất cạnh bên A B + Đa giác đáy hình vng tâm O + SO ⊥ (ABCD)  LIÊN QUAN ĐẾN GÓC D O C Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian phân phối học cuối năm lớp 11 đầu năm lớp 12, kiến thức góc ( góc đường thẳng mặt phẳng ; góc hai mặt phẳng) học vào cuối năm lớp 11 đến đầu năm lớp 12 vận dùng vào toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ Đó vấn đề khó học sinh lớp 12 vận dụng đa số học sinh quên cách vận dụng Ở đây, hệ thống lại số sai lầm mà học sinh thường gặp giải toán tính thể tích liên quan đến giả thuyết góc Góc Góc đường thẳng mặt phẳng Góc hai mặt phẳng S S A C A C O B Trang 03 M B µ * ∆ SAB vng A có AB= a, B = 450 Xác định Góc SB (ABC) Ta có : AB = hc SB ( ABC ) · · · ⇒ ( SB, ( ABC )) = ( SB, AB) = SBA Baøi 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a, · ACB = 600 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Xác định góc SB (ABC) góc SB với hình chiếu lên (ABC)  Lời giải: * Ta có :AB = a , AB = hc SB ⇒ ( ABC ) ⇒ SA = AB.tan 45o = a 1 a2 a3 * VS ABC = S ABC SA = a = 3 18 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải Xác định góc (SBC) (ABC) Ta có : (SBC) ∩ (ABC) = BC SM ⊥ BC, AM ⊥ BC · · · ⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA Trang 04 Chú ý : Xác định hai đường thẳng S nằm hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến điểm · · · ( SB, ( ABC )) = ( SB, AB ) = SBA = 45o * ∆ ABC vng B có AB = a, · ACB = 600 ⇒ BC = AB a a = = tan 60 3 ⇒ S∆ABC = BA.BC = a a = a 2 A B 60 D C S A 60 45 B C  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Xác định góc SC (ABCD) góc SC với hình chiếu AC SC lên (ABCD)  Lời giải: · · · * Ta có : ABCD hình vng cạnh a , AC = hc SC ⇒ ( SC ,( ABCD)) = (SC , AC ) = SCA = 60o , ( ABCD ) SABCD = a µ * ∆ SAC vng A có AC= a , C = 600 ⇒ SA = AC.tan 60o = a * VS ABCD 1 a3 = S ABCD SA = a a = 3 Baøi 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , BC = a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải S  Sai lầm học sinh: − Gọi M trung điểm BC − Ta có AM ⊥ BC , SM ⊥ BC · · · ⇒ (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA = 60o C 60 A M B h vẽ sai)  Lời giải đúng: S (Hìn * Ta có : AB = a , (SBC) ∩ (ABC) = BC AB ⊥ BC ( ∆ ABC vng B) · · SB ⊥ BC ( AB = hc SB ) ⇒ (( SBC ),( ABC )) = (·SB, AB) = SBA = 60o ( ABC ) * ∆ ABC vng B có AB = a ,BC =a A C 60 B ⇒ S∆ABC = BA.BC = a 3.a = a 2 µ * ∆ SAB vng A có AB= a, B = 600 ⇒ SA = AB.tan 60o = 3a a2 a3 3a = 2 *: VS ABC = S ABC SA =  Nhận xét: − Học sinh khơng lý luận để góc 60o , 0.25 điểm − Học sinh xác định góc hai mặt phẳng bị sai đa số học sinh khơng nắm rõ cách xác định góc hiểu góc SMA với M trung điểm BC o Nếu đáy tam giác vng B (hoặc C), hình vng SA vng góc với đáy góc mặt bên mặt đáy góc xác định hai vị trí đầu mút cạnh giao tuyến Trang 05 o Nếu đáy tam giác cân (đều) SA vng góc với đáy hình chóp góc mặt bên mặt đáy góc vị trí trung điểm cạnh giao tuyến Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, cạnh BC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải ·SBC ), ( ABC )) = SBA = 45o ·  Sai lầm học sinh: ⇒ ((  Lời giải đúng: S * Ta có : AB = a , (SBC) ∩ (ABC) = BC Gọi M trung điểm BC AM ⊥ BC ( ∆ ABC cân A) AM = hc SM ⊥ BC ( ( ABC ) C SM · A ·45 · (( SBC ), ( ABC )) = ( SM , AM ) = SMA = 45o M * ∆ ABC vng cân A có ,BC = a B a AM = 1 a2 ⇒ S∆ABC = AB AC = a.a = 2 a ¶ a * ∆ SAM vng A có AM= , M = 450 ⇒ SA = AB.tan 45o = 2 a a a3 = 2 12 * VS ABC = S ABC SA =  Nhắc lại cách xác định góc : Góc đường thẳng d mặt phẳng (P): a Tìm hình chiếu d/ d lên mặt phẳng (P) b Khi góc d (P) góc d d/ ⇒ ⇒ AB = BC = a Bài : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng, SA vng góc với (ABCD) góc SC với (ABCD) 450 Hãy xác định góc S Giải · · · Ta có : AC = hc( ABCD ) SC ⇒ (SC ,( ABCD )) = (SC , AC ) = SCA = 45o A Góc hai mặt phẳng (P) (Q) : c Xác định giao tuyến d (P) (Q) B O D 45 C d Tìm (P) đường thẳng a ⊥ (d) , mặt phẳng (Q) đường thẳng b ⊥ (d) e Khi góc (P) (Q) góc hai đường thẳng a b Trang 06 S Bài : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD hình vng, góc mặt bên với mặt đáy 600 Hãy xác định góc Giải Gọi M trung điểm BC Ta có : (SBC) ∩ (ABCD) = BC A (ABCD) ⊃ AM ⊥ BC 60 (SBC) ⊃ SM ⊥ BC ( AM = hc SM ) ( ABCD ) M O · · · ⇒ (( SBC ), ( ABCD)) = ( SM , AM ) = SMA = 60o B C Baøi : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng B, AB = a , AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC S Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Sử dụng định lý pitago tam giác vng  Lời giải: Ta có : AB = a , AC = a ,SB = a C A 1 a2 * ∆ ABC vuông B nên BC = AC − AB = a ⇒ S∆ABC = BA.BC = a 2.a = * ∆ SAB vuông A có SA = SB − AB = a * VS ABC B 1 a a3 = S ABC SA = a = 3 Baøi : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC vuông , cân B nên BA = BC sử dụng định lý pitago tam S giác vng  Lời giải: Ta có : AC = a , SB = a * ∆ ABC vuông, cân B nên BA = BC = C A AC =a B Trang 07 ⇒ S∆ABC = 1 a BA.BC = a.a = 2 * ∆ SAB vuông A có SA = SB − AB = a * VS ABC 1 a2 a3 = S ABC SA = a = 3 Bài : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC có ba góc 600 sử dụng định lý pitago tam giác vuông SAB  Lời giải: S * ∆ ABC cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a ⇒ S∆ABC = BA.BC.sin 600 = 2a.2a = a 2 C A B * ∆ SAB vng A có SA = SB − AB = a 3 * VS ABC = S ABC SA = a 3.a = a3 3 Baøi 10: · Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a , BAC = 1200 ,cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ⊥ (ABC) vẽ thẳng đứng − Tam giác ABC cân A Â = 1200  Lời giải: ·  * ∆ ABC cân A, BAC = 1200 , BC = 2a ,AB = AC = BC = 2a S BM a = =a Xét ∆ AMB vng M có BM = a , Â = 600 ⇒ AM = tan 60 ⇒ S∆ABC = * VS ABC 1 AM BC = a.2a = a , SA = a 2 1 a3 = S ABC SA = a 3.a = 3 3 C A M B Trang 08 Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) vẽ thẳng đứng − ABCD hình vng ; sử dụng định lý pitago tam giác vuông S  Lời giải: Ta có : ABCD hình vng cạnh a , SC = a * SABCD = ( a ) = 2a 2 * Ta có : AC = AB = a 2 = 2a ∆ SAC vuông A ⇒ SA = SC − AC = a A D B C * VS ABCD 1 2a = S ABCD SA = 2a a = 3 Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA= AC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA ⊥ (ABCD) vẽ thẳng đứng − Biết AC suy cạnh hình vng (Đường chéo hình vng cạnh nhân với )  Lời giải: S Ta có : SA = AC = a * ABCD hình vng :AC = AB ⇒ AB = 3 * VS ABCD = S ABCD SA = a a = AC =a ; SABCD = a , SA = a a3 A Trang 09 D B C Bài 13: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC + O trọng tâm tam ABC + AM đường cao ∆ ABC − Đường cao hình chóp SO ( SO ⊥ (ABC))  Lời giải: * S.ABC hình chóp tam giác Gọi M trung điểm BC ∆ ABC cạnh a , tâm O SO ⊥ (ABC) , SA=SB=SC = 2a S * A 2 3a AO= AM = O = a 3 M B ∆ ABC cạnh ⇒ a AM = a 3 3a = 2 ⇒ C ⇒ S∆ABC = AB AC.sin 600 = a 3.a 3 = 3a 2 * ∆ SAO vng A có SO = SA2 − AO = a * VS ABC  1 3a a3 = S ABC SA = a = 3 4 Nhận xét: học sinh thường làm sai toán − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác + khơng xác định vị trí điểm O + khơng hiểu tính chất hình chóp SO ⊥ (ABC) + khơng tính AM khơng tính AO − Tính tốn sai kết thể tích Bài 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: S Trang 10 − Hình chóp tứ giác có : + đa giác đáy hình vuông ABCD tâm O + SO ⊥ (ABCD) A D B O C + tất cạnh bên − Đường cao hình chóp SO ( SO ⊥ (ABCD))  Lời giải: * S.ABCD hình chóp tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O SO ⊥ (ABCD) , SA=SB=SC =SD = a * Diện tích hình vng ABCD : ⇒ AC = 2a ⇒ AO= AC = 2a = a 2 ⇒ SABCD = ( 2a ) = 4a 2 * ∆ SAO vuông O có SO = SA2 − AO = a 3 * VS ABCD = S ABCD SA = 4a a = 4a 3  Nhận xét: học sinh thường làm sai toán − Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác + khơng xác định tính chất đa giác đáy hình vng + khơng SO ⊥ (ABCD) mà lại vẽ SA ∆ (ABCD) + khơng tính AC khơng tính AO − Tính tốn sai kết thể tích Bài 15: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: − Tứ diện ABCD có tính chất + tất cạnh + tất mặt tam giác + gọi O trọng tâm tam giác đáy B ⊥ (BCD)) − Đường cao hình chóp AO ( AO  Lời giải: * ABCD tứ diện cạnh a Gọi M trung điểm CD Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a ∆ BCD cạnh a, tâm O ⇒ AO ⊥ (BCD) Trang 11 A D O M C a * ∆ BCD cạnh a ⇒ BM = ⇒ BO= BM = a = a 3 3 2 ⇒ S∆BCD = a a 3 a * ∆ AOB vuông O có AO = AB − BO = ( a ) −   ÷ = ÷   2 a a a3 = 12 *: VABCD = S BCD AO = Dạng : TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho Khi học sinh thực cách sau: + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo cơng thức + Cách o Xác định đa giác đáy o Tình tỷ số độ dài đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích khối cho + Cách 3: Dùng tỷ số thể tích Hai khối chóp S.MNK S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Ta có : VS MNK SM SN SK = VS ABC SA SB SC A S M K n N C B Cả hai chương trình chuẩn nâng cao có đề cập đến tính thể tích khối chóp “nhỏ” liên quan đến kiện khối chóp lớn.Tuy nhiên Chương Trình Chuẩn Chương Trình Nâng Cao - Khơng trình bày khái niệm tỷ số thể Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích tích khối chóp khối chóp Trang 12 Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho  Lời giải: S Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V = S h ) * Khối chóp S.AMN có : Đáy tam giác AMN , đường cao SA * ∆ AMN có Â = 60 , AM=AN = a N A M ⇒ S∆AMN = AM AN sin 600 = a.a = a , SA = a 2 B a2 a3 a = 4 * VS AMN = S AMN SA = Cách : ( Dùng công thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A góc đỉnh A Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có VA SMN AS AM AN 1 V = = = ⇒ VS AMN = VA.SMN = VA.SBC = S ABC VA.SBC AS AB AC 2 4 4a a = a 3 Ta có : VS ABC = S ABC SA = Vậy VS AMN = VS ABC a = 4 C  Nhận xét: - Học sinh thường lúng túng gặp thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho xác định đa giác đáy đường cao thường bị sai − Trong số tốn việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi Bài 17 : Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN S A.BCNM Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: N Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ”dựa kiện liên quan đến khối chóp cho M  Lời giải: ( Dùng công thức tỷ số thể tích) C A Trang 13 B Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S V SA SM SN 1 S AMN = = = Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có V SA SB SC 2 S ABC ⇒ VS AMN a 3.a VS ABC a3 = = = 4 ⇒ VA.BCNM = VS ABC = 3a 4 Bài 18 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải  Phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho S  Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có : IO // SA SA ⊥ (ABCD) ⇒ IO ⊥ (ABCD) I A D B O C ⇒ VI ABCD = S ABCD IO SA =a a3 = a a = 3 Mà : S ABCD = a , IO = Vậy : VI ABCD III Kết luận : Trên trình bày cách giải sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải toán thể tích khối đa diện , cụ thể khối chóp , thời gian có hạn chuyên đề dài , nên tập tương tự không nêu , gửi lại cho q thầy sau , kính mong q thầy nhiệt tình đóng góp để chun đề hồn chỉnh Xin cám ơn ! Hết GV thực Trần Phú Vinh Trang 14 ... đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích khối cho + Cách 3: Dùng tỷ số thể tích Hai khối chóp S.MNK... + Diện tích hình vng : S ABCD = AB AD ( Diện tích dài nhân rộng) + Đường chéo hình chữa nhật OA = OB = OC = OD B Thể Tích Khối Chóp: Trang 02 S + Thể tích khối chóp : V = B.h Trong :B diện tích. .. BCD AO = Dạng : TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho Khi học