Hệ phương trình tuyến tính hệ số Định nghĩa: Hệ ptvp hệ gồm ptvp chứa đạo hàm hàm cần tìm Ví dụ: Các hệ ptvp Hệ ptvp cấp  F (t , x, y, x′, y ') = Trong  G (t , x, y, x′, y ') = t biến độc lập, x(t), y(t) hàm cần tìm Hệ ptvp cấp dạng tắc  x′ = f (t , x, y, z )   y′ = g (t , x, y, z )  z′ = h(t , x, y, z )  Hệ pt tuyến tính cấp hệ số Hệ ptvp tuyến tính cấp hệ số hệ ptvp có dạng  dx1  dt = a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + f1 (t )   dx2 = a x + a x + + a x + f (t )  21 22 2n n  dt    dxn = a x + a x + + a x + f (t ) n1 n2 nn n n  dt  Trong fi(t), i=1,2, …,n hàm liên tục (a,b) Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số Đặt  a11 a  21 A=  : a  n1 a12 a1n   x1 (t )   f1 (t )   x (t )   f (t )   a22 a2 n  X (t ) =   F (t ) =    :   :  : : :   x (t )   f (t )   an ann   n   n  Thì hpt viết thành dX = AX + F (t ) dt dX = AX dt (1) Hệ không (2) Hệ Nghiệm hệ hàm vecto (a,b) gồm hàm khả vi, liên tục (a,b) thỏa hệ Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử d Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm D = Suy dt d d D = , D = , dt dt Ví dụ với hệ ptvp sau  x′ = x + y + et ( D − 2) x − y = et  Ta viết thành   y′ = x − y + t − x + ( D + 2) y = t Sau đó, ta dùng phương pháp khử hpt đại số tuyến tính Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử  x1 = x1 + x2 + et ′ Ví dụ: Giải hpt  ′  x2 = x1 + x2 + t ( D − 3) x1 − x2 = et (1) ′ Ta viết lại hpt  −2 x1 + ( D − 2) x2 = t (2) Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta : (−2 + ( D − 2)( D − 3)) x2 = 2e + ( D − 3)t t t ⇔ D x2 − 5Dx2 + x2 = 2e − 3t + Viết lại kí hiệu thường Ta giải pt ′′ − x2 + x2 = 2et − 3t + ′ x2 Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử ′′ − x2 + x2 = 2et − 3t + ′ x2 t 11 x2 = C1e + C2e − te − t − 16 ′ x2 t Thay vào pt (2) ⇔ x1 = − x2 − 2 1 t 41 4t t ⇔ x2 = C2e − C1e + e (t − 1) + t + 24 t 4t Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử  x1' Ví dụ: Giải hpt  x '   x'  = x1 + x2 + x3 = −4 x1 − x2 − 3x3 = x1 + x2 + x3 Ta viết lại hpt: ( D − 2) x1 − x2 − x3 = (1)  4 x1 + ( D + 6) x2 + x3 = (2) −3 x − 3x + ( D − 1) x = (3)  Khử x3: (1)+(2) 3*(3)-(D-1)*(2) ( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 =  (−4( D − 1) − 9) x1 + (−( D − 1)( D + 6) − 9) x2 = Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử Hệ tương đương với: ( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 =  (−4 D − 5) x1 + (− D − D − 3) x2 = (4) (5) Khử x2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5) ( D + D + 3)( D + 2) x1 + (−4 D − 5)( D + 2) x1 = ′′′ ′′ ⇔ ( D + 3D − 4) x1 = ⇔ x1 + x1 − x1 = t −2t −2 t ⇒ x1 = C1e + C2e + C3te t −2 t −2 t Thay vào pt (4) để tìm x2: x2 = −C1e + C4e − C3te Thay vào (1) để tìm x3: x3 = C1e − (4C2 + C3 + 4C4 )e −2t t Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng dX = AX + F (t ) Hệ pt dt Với A ma trận thực, vuông chéo Tồn ma trận S khả nghịch cho A=SDS-1 dX −1 Thay vào hpt = SDS X + F (t ) dt −1 dX −1 −1 ⇔S = DS X + S F (t ) dt dY −1 dX -1 Thay vào hpt Đặt Y=S X ⇒ =S dt dt dY = DY + S −1F (t ) Đây n-ptvp cấp riêng biệt dt Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  x1 = x1 − x2 + t ′ Ví dụ: Giải hpt  ′  x2 = x1 + x2 − 1 −2    −1  1   0 A= ÷⇒ S =  −1 −1÷, S =  −1 −2 ÷, D =  ÷ 1        Đặt Y=S-1X, ta hpt:  y1 = y1 + t − dY  ′ −1 = DY + S F (t ) ⇔  dt ′ = y2 − t +  y2   y1 = e ∫ dt ∫ (t − 2)e − ∫ dt dt + C1  ⇔ y1 = e ∫ 3dt ∫ (−t + 4)e − ∫ 3dt dt + C2   ( ( ) ) Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  y1 = − t − t + + C1e 2t   2 ⇔  y2 = t + t − 34 + C2e3t  27  Ta tính    y1  X = SY =  −1 −1÷ y2 ÷    2 17  x1 = − t − t + + 2C1e 2t + C2e3t   54 ⇔  x2 = − t + t + 55 − C1e 2t − C2e3t  18 108  Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  x1 = x1 − 3x2 + 3x3 + e −2t ′  Ví dụ: Giải hpt  x2 = x1 − x2 + x3 + e −2t ′  x′ = x − x + x − 2t   e −2 t   −3  1 1  −5 ÷ F (t ) =  e −2t ÷ ⇒ S =  1 ÷ A=  ÷  ÷  ÷  −6 ÷  −1 ÷  −2t ÷        −3   −2 0  1 ÷, D =  −2 ÷ −1 S = − −2 ÷  ÷ 2  −1 −1÷  0 4÷     Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta hpt 1  −2 t  y1 = C1e + t −  y1 = −2 y1 + e −2t + t ′   −2 t ′ ⇔  y = C2 e  y2 = −2 y2   y′ = y − t 1 4t  y3 = C3e + t +  16  3  −2 t 4t Vậy  (C1 + C2 )e + C3e + t − 16 ÷  x1   ÷  x ÷ =  C e −2 t + C e t + t − ÷ X = SY ⇔  ÷  ÷ 16 x ÷  3  1 ÷  −C2e −2t + 2C3e 4t + t + ÷   Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng  x1 = − x1 + x2 + x3 + t ′  ′ = x1 − x2 + x3 − t Ví dụ: Giải hpt  x2  x′ = x + x + x + 2t   t2  1 1 −1    −1 ÷ F (t ) =  −t ÷ ⇒ S =  1 −1÷ A=  ÷  ÷  ÷  −1 ÷  2t ÷  1 2÷        1 −2  0 0  1 −1 S = 1 ÷, D =  ÷ ÷  ÷ 4  −2 ÷  0 −4 ÷     Hệ pt tt cấp hệ số – PP trị riêng vecto riêng Đặt Y=S-1X, ta hpt   y1 = − t + C1 ′  y1 = −t   1  4t ′  y = y + t ⇔  y = C2 e − t − 16   y′ = −4 y   y3 = C3e −4t   1  4t 4t  x1 = C1 + C2e + C2e − t − t − 16  1  4t 4t X = SY ⇔  x2 = C1 + C2e − C2e − t − t − 16  1  4t  x3 = −C1 + C2e + t − t − 16  Hệ pt tt cấp hệ số – Bài tập Giải hpt sau  x′ = x + y   y′ = x + y  x′ = x + y   y′ = x + y + t  x′ + y′ = x + y − cos t   y′ = x + y + sin t '  x1 = x1 − x2 − x3 + et  '   x2 = x1 − 11x2 − x3 + 2t  ' −8 x1 + x2 + x3  x3 =  Hệ pt tt cấp hệ số – Bài tập '  x1  '   x2  '  x3  = −4 x1 + x2 + x3 + t = x1 − x2 − x3 + 2t = −8 x1 + x2 + x3 ′  x1 = x1 − x2 + x3 + 2t  ′ = x1 − x2 + x3 − e −2t  x2  x′ = − x − x  '  x1  '   x2  '  x3  = −4 x1 + x2 + x3 + t = x1 − x2 − x3 + 2t = −8 x1 + x2 + x3 ... t ⇔ D x2 − 5Dx2 + x2 = 2e − 3t + Vi? ??t lại kí hiệu thường Ta giải pt ′′ − x2 + x2 = 2et − 3t + ′ x2 Hệ pt tuyến tính cấp hệ số – PP khử ′′ − x2 + x2 = 2et − 3t + ′ x2 t 11 x2 = C1e + C2e − te... x2 + et ′ Ví dụ: Giải hpt  ′  x2 = x1 + x2 + t ( D − 3) x1 − x2 = et (1) ′ Ta vi? ??t lại hpt  ? ?2 x1 + ( D − 2) x2 = t (2) Lấy 2* (1)+(D-3)* (2) để khử x1, ta : (? ?2 + ( D − 2) ( D − 3)) x2 = 2e.. .Hệ pt tuyến tính cấp hệ số Hệ ptvp tuyến tính cấp hệ số hệ ptvp có dạng  dx1  dt = a11 x1 + a 12 x2 + + a1n xn + f1 (t )   dx2 = a x + a x + + a x + f (t )  21 22 2n n  dt 