Phương trình tuyến tính cấp hệ số Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số ptvp có dạng an y an y (n) (n) ( n −1) + + a1 y′ + a0 y = (1) ( n −1) + + a1 y′ + a0 y = f ( x ) (2) + an−1 y + an −1 y Trong a1,a2 , … , an số thực PT (1) gọi pt PT (2) gọi pt khơng Phương trình tuyến tính cấp hệ số Hệ hàm độc lập tuyến tính (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), …, yn(x)} gọi độc lập tuyến tính (a,b) từ đẳng thức λ1y1(x)+λ2y2(x)+…+λnyn(x)=0 Ta suy λ1= λ2 =… = λn=0 Định thức Wronski hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) (a,b) W ( y1 , y2 , , yn ) = y1 ′ y1 : y2 ′ y2 : y1( n −1) y2( n−1) yn ′ yn : : yn ( n −1) Phương trình tuyến tính cấp hệ số Định lý: Cho hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) (a,b) Nếu W ( y1 , y2 , , yn ) ≠ hệ đltt (a,b) Ví dụ: hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với x Ta tính định thức Wronski hàm cho x e W ( y1 , y2 ) = x e =e 2x x xe 2x 2x = e (1 + x) − xe x e (1 + x) ≠ ∀x Phương trình tt cấp hệ số y′′ + a1 y′ + a0 y = (1.1) Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) nghiệm riêng đltt NTQ pt (1.1) ytn=C1y1(x)+C2y2(x) kx Ta tìm nghiệm (1) dạng y = e Thay vào (1) : k e + a1ke + a2e kx kx kx =0 ⇔ k + a1k + a2 = (3) Vậy hàm y = e kx nghiệm pt (1) k nghiệm pt (3) Ta gọi pt (3) pt đặc trưng pt (1) Phương trình tt cấp hệ số Pt : y′′ + a1 y′ + a2 y = Pt đặc trưng : k + a1k + a2 = (3) TH 1: (3) có nghiệm thực k1 ≠ k : y1 = e k1x , y2 = e k2 xđltt TH 2: (3) có nghiệm thực k = k1 = k2 : y1 = e kx ,y2 = xe kx đltt TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ : y1 = eα x cos β x, y1 = eα x sin β x đltt NTQ pt y = C1 y1 + C2 y2 Phương trình tt cấp hệ số Ví dụ: Tìm NTQ pt y′′ − y′ + y = y′′ + y′ + y = y′′ + y =  k1 = 2x 3x ⇒ y = C1e + C2e 1.k − 5k + = ⇒   k2 = 2.k + 4k + = ⇒ k1 = k2 = −2 ⇒ y = C1e 3.k + = −2 x + C2 xe −2 x ⇒ k1,2 = ± i ⇒ y = C1 cos x + C2 sin x Phương trình tt cấp cao hệ số Tương tự cho pt tuyến tính cấp cao hệ số Ta làm với ví dụ sau Ví dụ: Tìm NTQ pt y′′′ + y′′ + y′ = ⇒ y = C1e0 x + C2e − x + C3e −4 x y′′′ + y′′ + y′ + y = ( y = C1e −x y′′′ − y = + C2 xe −x −x −x + C3 x e ) −x ( y = C1e + C2e cos x + C3e sin 3x ) 2x y (4) + y = (y = e x  C1 cos  − x 2  2  x + C2 sin x ÷+ e x + C4 sin x ÷)  C3 cos 2  2   Phương trình tt cấp hệ số không y′′ + a1 y′ + a0 y = f ( x ) (2.1) Cấu trúc nghiệm pt không Ta gọi ytn nghiệm tổng quát pt (1.1) yr nghiệm riêng pt không (1.2) Thì NTQ pt khơng (2.1) ytq=ytn+yr NTQ pt (1.1) ytn ta tìm Ta cần tìm nghiệm riêng pt khơng yr Phương trình tt cấp hệ số không Trường hợp đặc biệt : f(x) viết dạng αx f ( x) = e ( Pn ( x)cos β x + Qm ( x)sin β x ) Ta viết yr dạng sau h αx yr = x e ( Ts ( x)cos β x + Rs ( x)sin β x ) Trong : s = max{m, n}, α ± i β nghiệm bội h pt đặc trưng Sau đó, ta tính đh cấp 1, cấp hàm yr thay vào pt ban đầu để tìm đa thức Ts(x) Rs(x) Phương trình tt cấp hệ số khơng ′′ − y′ + y = xe x Ví dụ: Gpt y PT đặc trưng: k − 5k + = ⇔ k = 2,3 NTQ pt nhất: y tn = C1e Hàm vế phải có dạng đặc biệt : f ( x) = xe 2x 2x 2x + C2 e 3x = e ( x cos x + x sin x ) So với dạng tắc: αx f ( x) = e ( Pn ( x)cos β x + Qm ( x)sin β x ) Ta được: α = 2, β = 0, n = 1, m = α ± iβ = Là nghiệm đơn (bội 1) ptđt, h=1 ⇒  s = max(m, n) = Phương trình tt cấp hệ số không y′′ − y′ + y = xe x y tn = C1e x + C2e3 x y r = x heα x ( Ts ( x )cos β x + Rs ( x)sin β x ) 2x =xe 2x ( (2ax +1b)cos x + (cx + d )sin 0x ) 1 = e (ax + bx ) Ta tính đh cấp 1, cấp yr thay vào pt cho ′ = e2 x (2ax + 2bx1 + 2ax + b) yr ′′ = e x (4ax + (4b + 4a) x + 4ax + 2a + 2b) yr Ta được: ( ( −2a + 4b) x + ( 2a − 3b) ) e = (1.x + 0)e Đồng hệ số vế: a=3/2, b=1 2x 3x 2x Vậy NTQ: ytq = ytn + yr = C1e + C2e + e ( x + x ) 2x 2x Phương trình tt cấp hệ số khơng Ví dụ: Tìm dạng nghiệm riêng pt y′′ − y′ + y = xe x y′′ − y′ + y = 2e x y′′ − y′ + y = sin x − cos x PT k1,k2 α ±iβ h n, m 2, 1, 1 1, ± i S Yr 1, yr = x1e x ( (ax + b) cos x ) 0, 0 yr = x 2e1x ( (a) cos x ) 0, 0 yr = x 0e0 x ( (a) cos1x + (b)sin 1x ) Phương trình tt cấp hệ số không Nếu f(x) tách thành tổng hàm f 1(x) f2(x) có dạng đặc biệt Ta sử dụng nguyên lý chồng nghiệm sau: Nếu y1, y2 nghiệm riêng pt sau y′′ + a1 y′ + a2 y = f1 ( x ), y′′ + a1 y′ + a2 = f ( x ) Thì y1+y2 nghiệm riêng pt y′′ + a1 y′ + a2 y = f1 ( x ) + f ( x ) Phương trình tt cấp hệ số khơng Ví dụ: Gpt y′′ − y′ + y = x + 5sin x ytn = C1e x + C2e x f ( x) = x + 5sin x = f1 ( x) + f ( x) yr1 = ax + b, yr = c cos x + d sin x ′ ′′ yr1 = a, yr1 = ′ ′′ yr = −2c sin x + 2d cos x, yr = −4c cos x − 4d sin x Thay yr1, yr2 vào pt tương ứng, ta được: a = , b = 0, c = , d = −1 4 x 2x Vậy NTQ ytq = C1e + C2e + x + cos x − sin x 4 Phương trình tt cấp hệ số không Trường hợp hàm f(x) viết Ta dùng phương pháp biến thiên số cách NTQ pt (1.1) ytn = C1 y1( x) + C2 y2 ( x) tìm NTQ pt khơng (2) dạng ytq = C1( x) y1( x) + C2 ( x) y2 ( x) (*) Từ (*) : ′ ′ ′ ytq = C1′ ( x) y1( x) + C1( x) y1( x) + C2′ ( x) y2 ( x) + C2 ( x) y2 ( x) Để việc tính toán đơn giản hơn, ta thêm điều kiện C1′ ( x) y1( x) + C2′ ( x) y2 ( x) = (a) Phương trình tt cấp hệ số khơng Khi đó: ′ ′ ′ ytq = C1( x) y1( x) + C2 ( x) y2 ( x) Ta tính tiếp đh cấp 2, thay y’, y’’ vào pt không t.nhất ′′ ′ ′′ ′ ′′ ytq = C1′ ( x) y1 ( x) + C1( x) y1( x) + C2′ ( x) y2 ( x) + C2 ( x) y2 ( x) Lưu ý y1, y2 nghiệm pt t.nhất, tức ′′ ′ ′′ ′ y1 + a1 y1 + a2 y1 = 0, y2 + a1 y2 + a2 y2 = ′ ′ Ta C1′ ( x) y1 ( x ) + C2′ ( x ) y2 ( x) = f ( x ) Suy ra, C1’(x), C2’(x) nghiệm hpt (a), (b) C ′ ( x) y ( x) + C ′ ( x) y ( x) =  1 2  ′ ′ C1′ ( x) y1( x) + C2′ ( x) y2 ( x) = f ( x)  (b) Phương trình tt cấp hệ số khơng Phương pháp biến thiên số để giải pt y′′ + a1 y′ + a2 y = f ( x) (2) Giải pt đặc trưng k + a1k + a2 = Viết nghiệm riêng y1(x), y2(x) pt Tìm NTQ dạng ytq = C1 ( x) y1 ( x ) + C2 ( x) y2 ( x ) Rồi tìm C1’(x), C2’(x) cách giải hpt C ′ ( x) y ( x) + C ′ ( x) y ( x) =  1 2  ′ ′ C1′ ( x) y1( x) + C2′ ( x ) y2 ( x) = f ( x)  Lấy tích phân C1’(x), C2’(x) thay vào ytq Phương trình tt cấp hệ số khơng Ví dụ: Gpt y′′ + y′ + y = e −2 x ln x −2 x −2 x Từ pt đ.tr k + 4k + = ⇒ y1( x) = e , y2 ( x ) = xe −2 x + C2′ ( x) xe −2 x = Ta giải hpt C1′ ( x)e   C1′ ( x)(−2)e −2 x + C2′ ( x)e −2 x (1 − x) = e −2 x ln x   x2 x2 C ′ ( x) = − x ln x C1( x) = − ln x + + C1  ⇔ ⇔ C ( x) = x ln x − x + C C2′ ( x) = ln x   Vậy nghiệm pt cho ytq = C1( x) y1( x) + C2 ( x) y2 ( x) 2  x2 3x −2 x −2 x −2 x ytq = C1e + C2 xe +e ln x −  ÷  ÷   Phương trình tt cấp hệ số – pt Euler-Cauchy PT Euler – Cauchy pt có dạng n (n) an x y + an −1x n −1 ( n −1) y + + a0 y = f ( x ) Ta đưa pt tt hệ số không đổi cách đặt x = et (x>0) x = -et (x0) Vì x>0 nên ta đặt x=et ′′ ′ x ′ Thay x y′′ = yt − yt , xy′ = yt vào pt cho, ta x y′′ − y′ + y = t t t ytn = C1e + C2te ′ ′′ yr = at + b ⇒ yr = a, yr = Thay vào pt yr = t + Vậy nghiệm pt cho ytn = C1x + C2 x ln x + ln x + Phương trình tt cấp hệ số – pt Euler-Cauchy Ví dụ: Tìm nghiệm riêng pt x y′′ − xy′ + y = x , y′(1) = y (1) = − Đặt x=et, ta pt y′′ − y′ + y = e 2t ytn = C1et + C2e 2t , 2t yr = ate ⇒ yr = ae 2t (1 + 2t ), yr = ae 2t (4 + 4t ) ′ ′′ Thay vào pt trên, ta : a=1 ytq = C1x + C2 x + x ln x Suy ra, NTQ pt cho Tính thêm y’tq, thay điều kiện đầu vào, tìm C1, C2 Vậy nghiệm riêng là: y = x − x + x ln x Phương trình tt cấp hệ số – Bài tập Tìm NTQ nghiệm riêng pt y′′ − y′ + y = x cos x ′′ − y′ + y = ( x + 1)sin x y y′′ − y′ + y = xe x ′′ − y′ + y = 2e x y y′′ + y = cos x + x sin x y′′ − y′ + y = xe3 x + cos x, y′′ + y = tgx Phương trình tt cấp hệ số – Bài tập y′′ + y = 2sin x sin x y′′ + y′ + y = + e2 x 10.x y′′ + xy′ + y = sin(2ln x) 11.x y′′ + xy′ + y = x x3 12.x y′′ − xy′ + y = 13.(4 x − 1) y′′ − 2(4 x − 1) y′ + y = 14.x y′′ − xy′ + y = cos ln x y′′ + y = 2sin x sin x y′′ + y′ + y = + e2 x 10.x y′′ + xy′ + y = sin(2ln x) 11.x y′′ + xy′ + y = x x3 12.x y′′ − xy′ + y = 13.(4 x − 1) y′′ − 2(4 x − 1) y′ + y = 14.x y′′ − xy′ + y = cos ln x ... e (1 + x) − xe x e (1 + x) ≠ ∀x Phương trình tt cấp hệ số y′′ + a1 y′ + a0 y = (1. 1) Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) nghiệm riêng đltt NTQ pt (1. 1) ytn=C1y1(x)+C2y2(x) kx Ta tìm nghiệm (1) ... hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n -1) (a,b) W ( y1 , y2 , , yn ) = y1 ′ y1 : y2 ′ y2 : y1( n ? ?1) y2( n? ?1) yn ′ yn : : yn ( n ? ?1) Phương trình tuyến tính cấp hệ số Định lý: Cho... = sin x − cos x PT k1,k2 α ±iβ h n, m 2, 1, 1 1, ± i S Yr 1, yr = x1e x ( (ax + b) cos x ) 0, 0 yr = x 2e1x ( (a) cos x ) 0, 0 yr = x 0e0 x ( (a) cos1x + (b)sin 1x ) Phương trình tt cấp hệ số