Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide Chương 3. Không gian Euclide 1. Kiểm tra một không gian vector là không gian Euclide, chứng minh các tính chất của tích vô hướng Chứng minh ánh xạ được định nghĩa là một tích vô hướng, hay chứng minh các điều kiện sau: ) ', , ', ) , , ) , 0, 0 i x x y x y x y ii kx y k x y iii x x x + = + = > ∀ ≠ , ',x x y V ∀ ∈ và k∀ ∈¡ Ví dụ: Không gian vector 3 ¡ với ánh xạ được định nghĩa như sau 1 1 2 2 3 3 ,x y x y x y x y= + + là một tích vô hướng. Đây là không gian Euclide. Hướng dẫn: Với 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ' ( ' , ' , ' ), ( , , )x x x x x x x x y y y y ∀ = = = ∈ ¡ , thì ' ' ' 1 1 2 2 3 3 ' ( , , )x x x x x x x x+ = + + + ' ' ' ' ' ' 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ', ( ) ( ) ( ) , ', x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y + = + + + + + = + + + + + = + Với 3 , ,k x y∈ ∈¡ ¡ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 , , ( )kx y k x y kx y kx y kx y k x y x y x y= = + + = + + Với 3 x∀ ∈¡ 2 2 2 1 2 3 ,x x x x x= + + Vậy đây là tích vô hướng tầm thường trên 3 ¡ . 1) Chứng tỏ rằng không gian vector 3 ¡ với 1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 , [ ] 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y= + + + + + + + + là một không gian Euclide. Tìm một cơ sở trực chuẩn của nó. Hướng dẫn: Sinh viên làm tương tự như ví dụ. Cơ sở trực chuẩn của nó. Lấy một cơ sở bất kỳ của 3 ¡ , ví dụ như cơ sở chính tắc của 3 ¡ , rồi áp dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt để tìm cơ sở trực chuẩn của 3 ¡ đối với tích vô hướng này. Một cơ sở trực chuẩn của 3 ¡ đối với tích vô hướng này là: (1, 0, 0); (-1, 1, 0); (-1, 0, 1) 2) Tìm điều kiện cần và đủ để không gian vector 2 ¡ với 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 ,x y x y x y x y x y α β γ γ = + + + là không gian Euclide. Đại số tuyến tính 2 31 Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide Hướng dẫn: Sử dụng các điều kiện của một tích vô hướng để tìm giá trị của 1 2 , , , α β γ γ Tức là: ) ', , ', ) , , ) , 0, 0 i x x y x y x y ii kx y k x y iii x x x + = + = > ∀ ≠ Suy ra, điều kiện là 1 2 2 0 0 0 γ γ γ α β αβ γ = =   >   >   − >  3) Cho [ , ]a b V C= là không gian vector các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]. CMR. [ , ]a b C là không gian vector Euclide với tích vô hướng là , ( ) ( ) b a f g f x g x dx= ∫ , [ , ] , a b f g C∀ ∈ . Hướng dẫn: Chứng minh rằng , ( ) ( ) b a f g f x g x dx= ∫ Là một tích vô hướng. 4) Chứng minh rằng trong không gian Euclide E thì 2 2 1 1 , || || || || 4 4 x y x y x y= + − − Hướng dẫn: Áp dụng định nghĩa độ dài của vector và các tính chất của tích vô hướng, chứng minh vế phải bằng vế trái. 2 2 1 1 1 1 || || || || , , , 4 4 4 4 x y x y x y x y x y x y x y+ − − = + + − − − = = 5) Chứng minh rằng ánh xạ [ ] [ ] 2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2 , : ( , ) x x a a x a x b b x b x a b a b a b × → + + + + + + ¡ ¡ ¡ a là một tích vô hướng trên ¡ . Hướng dẫn: Chứng minh: i) ', , ',x x y x y x y+ = + ii) , ,kx y k x y= iii) , 0,x x x≥ ∀ Đại số tuyến tính 2 32 Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide 2) Hệ trực giao - Cơ sở trực giao – Cơ sở trực chuẩn: Chú ý: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của hệ trực giao, cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. 1) Chứng minh rằng hệ vector sau là hệ trực giao trong không gian vector Euclide 4 ¡ . 1 2 ) (1, 2, 2, 3) (2, 3,2,4) a α α = − − = − b) 1 2 (1,1,1,2) (1, 2,3, 3) α α = = − c) 1 2 1 1 1 1 , , , 2 2 2 2 1 1 1 1 , , , 2 2 2 2 α α   =  ÷     = − −  ÷   Hướng dẫn: Trong 4 ¡ xét tích vô hướng được định nghĩa như sau: 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , ( , , , ); ( , , , )x y x y x y x y x y x x x x x y y y y y= + + + ∀ = = Khi đó, 1 2 1 2 , 1.(2) ( 2).( 3) 2.2 ( 3).4 0 α α α α = + − − + + − = ⇒ ⊥ Các câu còn lại sinh viên làm tương tự. 2) Hãy tìm một cơ sở trực giao của không gian con L ⊥ với L được sinh bởi các vector 1 2 3 (1,0, 2,1); (2,1,2,3); (0,1,2, 1) α α α = = = − trong 4 ¡ . Hướng dẫn: Gọi 4 1 2 3 4 ( , , , )x x x x x= ∈¡ để x L ⊥ ∈ thì 1 2 3 , x x y y L x x α α α ⊥   ⊥ ∀ ∈ ⇒ ⊥   ⊥  Suy ra, ta có hệ pt thuần nhất sau: 1 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 0 2 2 3 0 2 0 x x x x x x x x x x + + =   + + + =   + − =  Giải hệ pt này được 1 2 3 4 2 0 1 2 x t x x t x t = −   =    =   = ∈   ¡ Chọn t = (-2, 0, ½, 1) là vector của cơ sở L ⊥ . Đây là cơ sở trực giao cần tìm. 3) Không gian con V của 4 ¡ được xác định bởi hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 2 3 0 3 2 2 0 3 9 0 x x x x x x x x x x x + + − =   + − =   + + − =  Hãy tìm cở sở của V và một cơ sở của V ⊥ Đại số tuyến tính 2 33 Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide Hướng dẫn: - Giải hệ pt trên ta được nghiệm tổng quát của hệ. 1 2 3 4 6 9 x t x t u x t x u = −   = +   = ∈   = ∈  ¡ ¡ Cơ sở của V gồm 2 vector sau: w = (-6, 9, 1, 0); v = (0, 1, 0, 0). - Nhận xét vector 4 1 2 3 4 , ( , , , )x x x x x x∈ =¡ để x V ⊥ ∈ thì x V ⊥ . Suy ra, , 0 , 0 x w x v  =   =   Giải hệ pt này ta được cơ sở của V ⊥ . 4) Trong không gian 3 ¡ với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con { } 3 ( , , ) / 0F a b c a b c= ∈ + − =¡ a) Tìm một cơ sở và số chiều của F. b) Với giá trị nào của m thì vectơ 3 (2,2, )x m= ∈¡ trực giao với không gian con F? Hướng dẫn: Ta tìm được (1, 0,1);(0, 1,1)F = Dễ thấy hệ { (1, 0,1); (0,1,1)}u v= = độc lập tuyến tính nên là một cơ sở của F, và số chiều của F là 2. b) Vectơ x trực giao với F khi và chỉ khi: , 0 , 0 u x v x ì ï = ï ï í ï = ï ï î Û 2.1 2.0 .1 0 2 2.0 2.1 .1 0 m m m ì ï + + = ï = -Û í ï + + = ï î 5) Trong không gian vectơ Euclide 4 ¡ , cho không gian vectơ con 4 {( , , , ) / 0; 0}W a b c d R a b c a b d= + + = - + + =Î a) Tìm một cơ sở của .W b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với .W Hướng dẫn: a) Ta tìm được ( 1, 1,2, 0);(1, 1, 0, 2)W =< - - - > . Suy ra W có 2 vectơ trên là cơ sở và dim 2W = . b) Gọi 4 1 2 3 4 ( , , ,y y y y y= Î ¡ là vectơ trực giao với W. Ta có y trực giao với 1 ( 1, 1,2, 0)u = - - và y trực giao với 2 (1, 1, 0, 2)u = - . Đại số tuyến tính 2 34 Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide Suy ra, ta có hệ: 1 2 3 1 2 4 2 0 2 0 y y y y y y ì ï - + + = ï í ï - + = ï î Û 1 3 4 2 3 4 y y y y y y ì ï = - - ï í ï = + ï î Vậy, 3 4 3 4 3 4 3 4 ( ; ; ; ) (1,1,1, 0) ( 1,1, 0,1)y y y y y y y y y= - - - + = + - Kết luận, các vectơ trực giao với W là các vectơ (1,1,1, 0) và ( 1,1, 0,1)- . 6) Trong không gian Euclide 2 [ ]P x với tích của hai vectơ được định nghĩa như sau: 1 0 , ( ). ( )u v u x v x dx < >= ∫ a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng trong 2 [ ].P x b) Cho 3 vectơ 2 2 2 1 2 3 ; 5 4 ;u x u x x u x ax b = = − + = + + . Xác định a và b để 3 vectơ trên tạo thành một hệ trực giao của 2 [ ]P x . Hướng dẫn: a) Cần kiểm tra tích của hai vectơ đã định nghĩa như trên thỏa các tiên đề sau: (i) , ,u v v u= (ii) , , ,u v w u w v w+ = + (iii) , , ,u v u v u vα = α = α (iv) , 0u u ≥ ; , 0u u u= ⇔ = θ Với mọi 2 , , [ ]u v w P x∈ ; với mọi α∈ ¡ . b) Ta có 1 2 3 { ; ; }u u u là một hệ trực giao khi và chỉ khi: 1 2 2 3 3 1 , 0 , 0 , 0 u u u u u u ì ï = ï ï ï = í ï ï ï = ï î Û 1 0 4 3 5 0 3 12 a b b a ì ï ï + + = ï ï ï í ï ï + = ï ï ï î Û 6 5 3 10 a b ì ï ï = - ï ï ï í ï ï = ï ï ï î Vậy 6 3 ; 5 10 a b= - = 7) Trong không gian vectơ Euclide 4 ¡ với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ: 1 1 7 7 (1,1,1,1); (2,2, 2, 2); ( , , , ) 2 2 2 2 x y z= = − − = − − a) Chứng tỏ rằng hệ { , , }x y z là hệ trực giao. Đại số tuyến tính 2 35 Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao của 4 ¡ . Hướng dẫn: a) Ta có , 0; , 0; , 0x y y z z x= = = nên { , , }x y z là một hệ trực giao. b) Giả sử 4 ( , , , )u a b c d= Î ¡ trực giao với các vectơ , , ,x y z ta có: , 0 , 2 2 2 2 0 1 1 7 7 , 0 2 2 2 2 u x a b c d u y a b c d u z a b c d ì ï ï ï = + + + = ï ï ï = + - - = í ï ï ï ï = - + - + = ï ï î Giải hệ phương trình trên, ta tìm được (7, 7, 1,1);u a a = - - Î ¡ Vậy cần bổ sung vào hệ đã cho vectơ (7, 7, 1,1)u = - - hay ,u a a Î ¡ để trở thành một cơ sở trực giao của 4 ¡ . 8) Trong không gian vectơ Euclide 4 ¡ với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ (0, 1,1,1); (3, 2,1,1); (3, 3, 4,1)x y z= = - = - a) Chứng tỏ rằng hệ { , , }x y z là một hệ trực giao. b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao Hướng dẫn: Làm tương tự như bài 7. 9) Trong không gian vector Euclide 3 ¡ , cho hai không gian con 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 { / 0; 0}; { / 0}U x x x x x x x V x x x = ∈ + − = − + = = ∈ + = ¡ ¡ a) Tìm một cơ sở và số chiều của ; ;U V U V + . b) Hỏi U và V có trực giao nhau không? Vì sao? Hướng dẫn: a) Ta tìm được 1 2 (0,1,1) ; (1, 0, 0); (0, 1, 1)U u V v v= = = = = - Suy ra, cơ sở của U là hệ vectơ {(0,1,1)} , dim( ) 1U = . Mặt khác, ma trận 1 0 0 0 1 -1 A é ù ê ú = ê ú ê ú ë û có hạng bằng 2 nên hệ {(1, 0, 0);(0, 1, }1)- là độc lập tuyến tính. Do đó, một cơ sở của V là {(1, 0, 0);(0, 1, }1)- và dim( ) 2V = . Xét : (0,1,1);(1, 0, 0);(0, 1, 1)U V+ = - Đại số tuyến tính 2 36 Hng dn gii bi tp chng 3. Khụng gian Euclide D dng kim tra h vect {(0,1,1);(1, 0, 0);(0,1, 1)}- c lp tuyn tớnh nờn l c s ca U V+ . Do ú, ( ) 3dim U V+ = . b) Ta cú 1 2 , 0 , 0 u v u v ỡ ù = ù ù ớ ù = ù ù ợ Suy ra, cỏc vect ca V u trc giao vi vect ca U , nờn U v V trc giao nhau. 10) Trong khụng gian vector Euclide 3 Ă , cho mt tp con 3 1 2 3 1 2 3 { ( , , ) / 2 0}W x x x x x x x= = + - =ẻ Ă a) Chng t W l mt khụng gian con ca 3 .Ă b) Tỡm mt c s trc giao v mt c s trc chun ca .W Hng dn: Ta cú (0, 0, 0) Wẻ vỡ 2.0 0 0 0+ - = , nờn W ạ ặ . Vi mi 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , )x x x x y y y y W= = ẻ ; ta cú: 1 2 3 1 2 3 2 0 2 0 x x x y y y + - = + ỡ ù - ớ = ù ù ù ợ Vi mi r ẻ Ă , ta chng minh c 1 1 2 2 3 3 ( , , )rx y rx y rx y rx y W+ = + + + ẻ Vỡ 1 21 1 3 12 2 32 3 3 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0 02 0rx y rx y rx y r rx x x y y y+ -+ + + - + = -+ = + =+ Do ú, W l mt khụng gian con ca 4 .Ă b) Ta cú: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 {( , , 2 ) / , } { (1, 0,2) (0,1,1) / , } (1, 0 { ( , , ) / 2 0} , 2),(0,1,1) , x x W x x x x x x x x x u u x x x x x x + ẻ = + ẻ = = + - =ẻ = = = Ă Ă Ă Vỡ ma trn 1 0 2 0 1 1 A ộ ự ờ ỳ = ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ cú hng bng 2 nờn h 1 2 ,u u { } 1 2 ,u u l c lp tuyn tớnh. Do ú, { } 1 2 ,u u l mt c s ca .W Thc hin quỏ trỡnh trc giao húa Gram - Schmidt, ta c mt c s trc giao ca W l 2 1 (1,0,2); - ,1, 5 5 ỡ ỹ ổ ử ù ù ữ ù ù ỗ ữ ỗ ớ ý ữ ỗ ữ ù ỗ ù ố ứ ù ù ợ ỵ Trc chun húa h trc giao trờn, ta c mt c s trc chun ca W l: i s tuyn tớnh 2 37 Hng dn gii bi tp chng 3. Khụng gian Euclide 1 2 2 5 1 ; 0; ; ; ; 5 5 15 6 30 ỡ ỹ ổ ử ù ù ổ ử ữ ù ù ỗ ữ ù ỗ ù ữ ỗ ữ - ỗ ữ ớ ý ỗữ ỗ ữ ữ ù ù ỗ ỗ ữ ỗ ố ứ ố ứ ù ù ù ù ợ ỵ 11) Trong khụng gian vect 2 [ ]P x , ta nh ngha tớch ca hai vect nh sau: 1 2 1 , ( ). ( ) ; ( ), ( ) [ ]u v u x v x dx u x v x P x - < > = ẻ ũ a) Chng t rng tớch ca hai vect ó cho l mt tớch vụ hng. b) Hóy trc giao húa h vect 2 {1, , }x x trong khụng gian 2 [ ]P x bng phng phỏp trc giao húa Gram - Schmidt. Hng dn: a) Cn kim tra tớch ca hai vect ó nh ngha nh trờn tha cỏc tiờn sau: (i) , ,u v v u= (ii) , , ,u v w u w v w+ = + (iii) , , ,u v u v u v = = (iv) , 0u u ; , 0u u u= = Vi mi 2 , , [ ]u v w P x ; vi mi Ă . b) t 2 1 2 3 1; ;u u x u x= = = . Cn trc giao húa h vect 1 2 3 { ; ; }u u u . t 1 1 : 1v u= = . Cn tỡm 2 v sao cho 2 v trc giao vi 1 v . Do 2 1 , 0u v = nờn 2 2 v u x= = . Tip tc, cn tỡm 3 v sao cho 3 v trc giao vi 1 2 ;v v , ta c: 2 3 1 3 v x= . Vy, ta c mt h trc giao ca 2 [ ]P x l: 2 1 {1; ; } 3 x x 12) Cho khụng gian Euclide E, gi 1 2 ,E E l nhng khụng gian con ca E v 1 E sinh bi 1 S ; 2 E sinh bi 2 S . Chng minh rng nu 1 S trc giao vi 2 S thỡ 1 E trc giao vi 2 E . Hng dn: Gi s 1 x E , 1 n i i i x a x = = (vi 1i x S ) V 2 y E , 1 m j j j y b y = = (vi 2j y S ) Khi ú, 1 2 , 0x y E E= 13) CMR nu 1 2 , , , n x x x l mt h trc chun ca khụng gian Euclide E thỡ x E , ta luụn cú: 2 2 2 1 , , || || m x x x x x+ + i s tuyn tớnh 2 38 Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide 3) Phần bù trực giao: 1) 1 2 ,L L là hai không gian con của không gian vector Euclide n chiều E với 1 2 dim dimL L < . Chứng minh rằng trong 2 L luôn tồn tại ít nhất một vector khác 0 trực giao với 1 L . Hướng dẫn: Áp dụng công thức chiều: 1 1 dim dimL n L ⊥ = − và 1 2 1 2 dim dim dim dimL L n L L n ⊥ + = − + > Suy ra, 1 2 L L ⊥ ∩ ≠ ∅ . Sinh viên cho ví dụ minh họa. 2) Ký hiệu L ⊥ là phần bù trực giao của không gian con L của không gian vector Euclide n chiều E. Chứng minh: a) L ⊥ là không gian con của E. b) dimL+ dim L ⊥ = n. Hướng dẫn: a) Dựa vào định nghĩa không gian con. b) Dựa vào định lý về số chiều. Sinh viên cho ví dụ minh họa. Sinh viên tự chứng minh các tính chất của phần bù trực giao trong tài liệu. 3) Chứng minh rằng ( ) L K L K ⊥ ⊥ ⊥ ∩ = + Hướng dẫn: Lấy ( ) ,x L K x y y L K ⊥ ∈ ∩ ⇒ ⊥ ∀ ∈ ∩ Vì y L x L y L K x L K y K x K ⊥ ⊥ ⊥ ⊥  ∈ ∈   ∈ ∩ ⇒ ⇒ ⇒ ∈ +   ∈ ∈    Ngược lại giả sử 1 2 x L K x x x ⊥ ⊥ ∈ + ⇒ = + với 1 1 2 2 ,x L x L ⊥ ⊥ ∈ ∈ , thì 1 2 1 2 , , , , , 0y L K x y x x y x y x y∀ ∈ ∩ = + = + = Suy ra, ( )x L K ⊥ ∈ ∩ Vậy ( ) L K L K ⊥ ⊥ ⊥ ∩ = + 4. Vector trực giao – Hình chiếu – Khoảng cách – Góc giữa hai vector: Cho ,x E∈ và V E ⊂ là không gian con của không gian Euclide. Giả sử 1 2 , , , m e e e là một cơ sở trực giao của V . Khi đó, vector hình chiếu của x lên V có thể được tính bằng công thức sau: 1 1 1 1 , , , , m m m m x e x e y e e e e e e = + + (Sinh viên tự chứng minh công thức trên như bài tập nhỏ). Ví dụ: Tìm vector hình chiếu và vector độ cao của vector x lên không gian con 4 V ⊂ ¡ sinh bởi các vector 1 2 3 , ,v v v trong các trường hợp sau: a) x = (2, -1, 3, -2) và 1 2 3 1 2 3 , , ; (1,0,1,0); (2,1,4,2); ( 3,4,5,8)V v v v v v v= = = = − b) (1, 3,4,5)x = − và 1 2 3 1 2 3 , , ; ( 1,1, 1,1); ( 1,3,1,1); (1, 4,2,3)V v v v v v v= = − − = − = Hướng dẫn: Tìm cơ sở và cơ sở trực giao của V. Đại số tuyến tính 2 39 Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 4 2 0 1 2 2 0 1 2 2 3 4 5 8 0 4 8 8 0 0 0 0 A             = → →             −       Rank A = 2. Cơ sở của V gồm hai vector sau 1 2 (1,0,1,0); (0,1,2,2)u u= = Trực giao hóa cơ sở này bằng phương pháp trực giao hóa Gram Schmidt ta được 1 2 (1,0,1,0); ( 1,1,1,2)e e= = − Khi đó, vector hình chiếu của x lên V được xác định bởi công thức: 1 2 1 2 1 1 2 2 , , , , x e x e y e e e e e e = + 5 4 43 4 27 8 (1,0,1,0) ( 1,1,1, 2) , , , 2 7 14 7 14 7 y − −   = − − =  ÷   Vector độ cao là: 15 3 15 6 , , , 14 7 14 7 x y − −   − = −  ÷   b) Sinh viên làm tương tự như câu a) 1) Hãy tìm hình chiếu vuông góc và đường trực giao hạ từ vector x xuống L với a) 4 (4, 1, 3, 4)x = − − ∈¡ và L là không gian con của 4 ¡ sinh bởi các vector 1 2 3 (1,1,1,1); (1,2,2, 1); (1,0,0,3) α α α = = − = b) 4 (5,2, 2,2)x = − ∈¡ và L là không gian con của 4 ¡ sinh bởi các vector 1 2 3 (2,1,1, 1); (1,1,3,0); (1,2,8,1) α α α = − = = c) 4 (2, 1,3, 2)x = − − ∈ ¡ và L là không gian con của 4 ¡ sinh bởi các vector 1 2 3 (1,0,1,0); (2,1,4,2); ( 3,4,5,8) α α α = = = − d) 4 (1, 3,4,5)x = − ∈ ¡ và L là không gian con của 4 ¡ sinh bởi các vector 1 2 3 ( 1,1, 1,1); ( 1,3,1,1); (1, 4,2,3) α α α = − − = − = e) 4 (7, 4, 1,2)x = − − ∈¡ và L là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 0 3 2 2 0 2 2 9 0 x x x x x x x x x x x x + + + =   + + + =   + + − =  Hướng dẫn: Các câu a, b, c, d sinh viên làm tương tự ví dụ. Câu e) Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, rồi giải tương tự như các câu trên. 2) Cho L là một không gian con của không gian vector Euclide n chiều E và vector 0 x E∈ . Ta gọi tập 0 0 { | }P L x x x x L= + = + ∈ là một đa tạp tuyến tính của E. Ta gọi khoảng cách từ một vector E α ∈ tới đa tạp P là số: min{|| || }u u P α − ∈ . Chứng minh rằng khoảng cách từ α tới đa tạp P bằng độ dài đường trực giao hạ từ vector 0 x α − đến L 3) Tìm khoảng cách từ vector α thuộc 4 ¡ tới đa tạp P: a) (4,2, 5,1) α = − và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 9 2 4 2 3 12 x x x x x x x x − + + =   − + + =  Đại số tuyến tính 2 40 [...]...Hướng dẫn giải bài tập chương 3 Không gian Euclide Hướng dẫn: Giải hệ pt sau:  2 −2 1 2 9   2 −2 1 2 9  A= →   2 −4 2 3 12  0 −2 1 1 3  Hệ pt trên có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:  2 −2 1 2 9   2 −2 1 2 9  A= →   2 −4 2 3 12  0 −2 1 1 3  1   x1 = 3 − 2 t1   x = −1 (3 − t − t ) 1 2  2 2   x3 = t2 ∈ ¡ x = t ∈ ¡  4 1 3  −1 1 1    , 0, 0 ÷ và L =  t1... tìm khoảng cách giữa hai đa tạp sau: P = {x = t1a1 + t 2 a2 + x1 | t1 , t2 ∈ ¡ } và P2 = {x = t3 a3 + t4 a4 + x2 | t3 , t4 ∈ ¡ } 1 Trong đó: a1 = (1, 2, 2, 2); a2 = (2, −2,1, 2); a3 = (2, 0, 2,1); a4 = (1, −2, 0, −1); x1 = (4,5 ,3, 2); x2 = (1, −2,1, 3) Đại số tuyến tính 2 41 Hướng dẫn giải bài tập chương 3 Không gian Euclide 4) Chứng minh rằng trong tất cả các vector thuộc không gian con L, hình chiếu... trong ¡ 3 , với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là  2 2 −1 1 A =  2 −1 2   3  −1 2 2    3 Tìm một cơ sở trực chuẩn của ¡ để ma trận của ϕ có dạng chéo Đại số tuyến tính 2 42 Hướng dẫn giải bài tập chương 3 Không gian Euclide Hướng dẫn: Tìm đa thức đặc trưng của ϕ Tìm giá trị riêng – vector riêng của ϕ Trực chuẩn hóa các vector riêng 4) Cho ϕ là một toán tử trực giao trong ¡ 3 , với... với k là số dương Ta gọi góc nhỏ nhất này là góc giữa vector u và không gian con L 5) Tính cosin của góc giữa hai vector sau: a) u = (-1, 2, -3) và v = (2, 1, 4) trong ¡ 3 b) x = (2, −1 ,3, −2); y = (1, 0,1, 0) trong ¡ 4 Hướng dẫn: Áp dụng công thức: cos α = u, v || u || || v || 6) Tìm góc giữa vector u và L: a) u = (2, 2,1,1) và L sinh bởi α1 = (3, 4, −4, −1) và α 2 = (0,1, −1, 2) b) u = (1,0 ,3, 0) và...  3, Cơ sở trực giao của L:  −1 1  u1 = e1 =  , , 0,1÷;  2 2  e2 , u1 1 1 1 u2 = e2 − e1 =  , − , 0, ÷ u1 , u1  12 12 12   7  2   Khi đó, α − x0 = 1, , −5,1÷ Tìm độ dài đường trực giao hạ từ vector α − x0 đến L với cơ sở trực giao u1, u2 Sinh viên làm như bài tập nhỏ b) α = (2, 4, −4, 2) và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:  x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 1   x1 + 3 x2 + x3 − 3x4... diễn theo cơ sở tự nhiên là  4 / 9 1/ 9 −8 / 9  A = 7 / 9 4 / 9 4 / 9     4 / 9 −8 / 9 1/ 9    3 Tìm một cơ sở trực chuẩn của ¡ để ma trận của ϕ có dạng chéo Hướng dẫn: Tìm đa thức đặc trưng của ϕ Tìm giá trị riêng – vector riêng của ϕ Trực chuẩn hóa các vector riêng Đại số tuyến tính 2 43 ... 2 x2 + x3 − x4 = 1   x1 + 3 x2 + x3 − 3x4 = 2 Sinh viên làm tương tự 4) Ta gọi khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính P và P2 là số nhỏ nhất trong tất cả các 1 1 khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, một điểm thuộc P và điểm còn lại thuộc P2 1 Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính P = L1 + x1 và P2 = L2 + x2 bằng độ dài đường trực giao hạ từ vector x1 − x2 xuống không gian con L = L1... công thức: cos α = u, v || u || || v || 6) Tìm góc giữa vector u và L: a) u = (2, 2,1,1) và L sinh bởi α1 = (3, 4, −4, −1) và α 2 = (0,1, −1, 2) b) u = (1,0 ,3, 0) và L sinh bởi α1 = (5 ,3, 4, 3) ; α 2 = (1,1, 4,5); α 3 = (2, −1,1, 2) 7) Cho u, v là hai vector khác 0 của không gian Euclide Chứng minh rằng: a) u = α v với α > 0 khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng 0 b) u = α v với α < 0 khi và chỉ khi... phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt, tìm một cơ sở trực giao của không gian con sinh bởi các vector {(1, 2 ,3) ;(−1 ,3, 0)} 2) Chứng minh rằng trong không gian Euclide thì: | G (v1 , , vi −1 , α v, vi +1 , , vn ) =| α |2 G (v1 , , vn ) Hướng dẫn: Dùng định nghĩa định thức Gram Cho ví dụ minh họa 3) Cho v1 , , vm là các vector thuộc không gian Euclide E Chứng minh rằng ma trận G (v1 , , vm ) là ma trận . thì ' ' ' 1 1 2 2 3 3 ' ( , , )x x x x x x x x+ = + + + ' ' ' ' ' ' 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ', ( ) ( ) ( ) , ', x. + Với 3 , ,k x y∈ ∈¡ ¡ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 , , ( )kx y k x y kx y kx y kx y k x y x y x y= = + + = + + Với 3 x∀ ∈¡ 2 2 2 1 2 3 ,x x x x x= + + Vậy đây là tích vô hướng tầm thường trên 3 ¡ . 1). tập chương 3. Không gian Euclide Suy ra, ta có hệ: 1 2 3 1 2 4 2 0 2 0 y y y y y y ì ï - + + = ï í ï - + = ï î Û 1 3 4 2 3 4 y y y y y y ì ï = - - ï í ï = + ï î Vậy, 3 4 3 4 3 4 3 4 ( ; ;