Đề tài 3: Thực hiện: Đặng Xuân Sơn - ĐH Toán K1 Phương pháp tìm giới hạn của các dãy số phi tuyến - Trong khi giải quyết các bài tập về giới hạn dãy số chúng ta gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm giới hạn của các dãy phi tuyến hoặc chứng minh cho sự tồn tại giới hạn của các dãy đó. Để tháo gỡ vấn đề này chúng tôi xây dựng một bài toán cơ sở với ý tưởng dựa vào tính đơn điệu của các dãy số đặc biệt và của dãy các hàm đơn điệu, liên tục nhằm khẳng định sự tồn tại giới hạn của một dãy phi tuyến thông qua nghiệm của phương trình giới hạn . Để minh hoạ tinh thần trên chúng tôi mạnh dạn phát biểu mệnh đề: I. Mệnh đề 1. Cho nếu có dãy các hàm số tăng thực sự, liên tục trên ( hữu hạn ) thoả mãn ba điều kiện : i/ . ii/ có nghiệm với mọi iii/ có duy nhất nghiệm và đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua thì dãy đã cho hội tụ và . Chứng minh : Bước 1. Kiến thiết dãy , như sau : ; Do điều kiện ii/ nên 2 dãy xây dựng như trên là tồn tại và duy nhất . Bước 2. Bằng cách qui nạp theo ta chỉ ra được: dãy giảm hội tụ về ; dãy tăng hội tụ về . Ngoài ra, ta còn nhận được bất đẳng thức kép: trong đó: . Bước 3. Chuyển qua giới hạn của (*) khi dần ra vô cùng ta được: 1 Theo nguyên lý kẹp thì: . $ Chú ý: được gọi là phương trình giới hạn. II. Các nhận xét (5) 1. Các không nhất thiết tất cả phải cùng tăng nghiêm ngặt (tức là có ít nhất một để: ) 2. Cho dãy các hàm tăng, liên tục trên dạng: và có nghiệm với mọi Trường hợp 1: Mọi dãy số thực thoả mãn : i/ ii/ thì nếu: a) hữu hạn, các liên tục trái tại và thì b) b vô hạn thì . $ Lúc này xây dựng như trong mệnh đề còn Trường hợp 2: Mọi dãy số thực thoả mãn : i/ ii/ thì nếu: a) hữu hạn, các liên tục phải tại và thì b) a vô hạn thì . $ Lúc này xây dựng như trong mệnh đề còn 3. Các giảm có kết quả tương tự hoặc có thể qui về mệnh đề 1 bằng cách xét 2 Ví dụ 1. Cho dãy số dương thoả mãn: thì dãy này hội tụ về 1 (thoả mãn mệnh đề 1). Ví dụ 2. (Đề thi Olimpic Sinh viên 2001 ) Cho và dãy số không âm thoả mãn : thì dãy hội tụ về 0 (thoả mãn nhận xét 3). III Mở rộng mệnh đề 1 Nếu coi vế phải của điều kiện (i) trong mệnh đề 1 là giá trị của hàm biến (lấy giá trị thực): tại thì hàm tăng, liên tục theo từng biến trên . Do đó, ta có thể phát biểu tổng quát như sau : Mệnh đề 2 : Cho hàm biến đơn điệu tăng theo từng biến trên . Giả sử thoả mãn 2 điều kiện : i/ liên tục trên D . ii/ có nghiệm trên và đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua đó . Kết luận : mọi dãy số thực thoả mãn : với cho trước, thì đều hội tụ về . $ Lưu ý : đơn điệu tăng và dãy luôn tồn tại, chẳng hạn Ví dụ 3. Cho dãy số dương xác định bởi: thì dãy số hội tụ về 1.(thoả mệnh đề 2). Ví dụ 4. Cho dãy số dương xác định bởi: thì dãy số hội tụ về 1. $Đề tài đưa ra hướng khắc phục trong trường hợp phương trình giới hạn có nhiều hơn 1 nghiệm. IV. Các hệ quả . 1) Cho các và dãy thoả: thì . 2) Cho dãy số không âm thoả mãn: 3 ( ) thì 0+ . 3) Cho số dương , và " thì (ở đây 0 < b/a <1) thì dãy hội tụ. Còn nếu b/a >1 thì dãy là VCB ( a > 0), dãy là VCL ( a < 0). 4) Cho dãy số Î(0,1) thoả: thì là một VCB. 5) Cho 2m+1 số dương a, , và " n ³ 0 thì trong đó: thì hội tụ. V- Bài tập ứng dụng. - Đề tài đưa ra rất nhiều dạng toán mới áp dụng các mệnh kể trên (hơn 30 bài toán từ trang 8 - 13 ). VI- Kết luận của đề tài. Thành công của đề tài này là chúng tôi đưa ra được một bài toán (mệnh đề 1), có thể xem đây như là một phương pháp hoàn toàn mới nhằm giải quyết một loạt các bài toán khó về việc tìm giới hạn của các dãy phi tuyến với những hướng mở cho phép ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn, mạnh hơn trong việc nghiên cứu về dãy số và sự hội tụ của nó đóng góp vào sự làm giàu các bài toán về dãy số -giới hạn. Cuối cùng em xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán tin, các thầy cô trong tổ Giải tích và đặc biệt em xin cám ơn cô giáo Lê Thị Phương Đông đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này. 4 . Toán K1 Phương pháp tìm giới hạn của các dãy số phi tuyến - Trong khi giải quyết các bài tập về giới hạn dãy số chúng ta gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm giới hạn của các dãy phi tuyến hoặc. tại giới hạn của một dãy phi tuyến thông qua nghiệm của phương trình giới hạn . Để minh hoạ tinh thần trên chúng tôi mạnh dạn phát biểu mệnh đề: I. Mệnh đề 1. Cho nếu có dãy các hàm số tăng. minh cho sự tồn tại giới hạn của các dãy đó. Để tháo gỡ vấn đề này chúng tôi xây dựng một bài toán cơ sở với ý tưởng dựa vào tính đơn điệu của các dãy số đặc biệt và của dãy các hàm đơn điệu,