Một số hình học phẳng hay, khó sưu tầm giải Bùi Đình Hiếu NTH 52vlpt.vn-Mạo Hỡi k2pi.net Bài 1:(Trích đề HSG số 10 diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014) Cho hình thang ABCD vuông A B thảo mãn AD  AB  BC Gọi hình chiếu vng góc trung điểm AB CD xuống đường thẳng AC H N.Biết HN  C(2; 4) Đỉnh A thuộc đường thẳng 5x+4y-4=0, đường thẳng 8x-5y13 11=0 qua đỉnh B Xác định tọa độ đỉnh A, B, D Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Đây tốn hay, mới,vì lấy ý tưởng từ tốn hình học vec-tơ lớp 10 Đặt AD=a Gọi I,J trung điểm AB CD Hình chiếu vng góc D xuống BC E Ta có: ABBD  ABBA  4a BCBD  BC.BE  3a ACBD  ( AB  BC ) BD  ABBD  ABBD  a  AC  BD  1 2 ACIJ  AC    13a  a  6a 2   Mặt khác: ACIJ  ACHN  a 13HN  HN  Theo ta có a=1 Từ đó: 6a 13 BC  3; AC  AB  BC  13 Chú ý cho C(2; 4) Đỉnh A thuộc đường thẳng x  y   0;8 x  y  11  qua đỉnh B Bài toán đưa tương giao đường thẳng đường trịn Tìm A(0;1); A    56 111  ;   41 41  418 473  C(2; 1)hoặc C  ;    89 89  Bài 2:(Đề thi HSG k2pi.net lần 2013-2014) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x-y+1=0, đường tròn: (C) : x2  y  2x  y   Tìm điểm M thuộc (d) cho qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB, đồng thời khoảng cách từ N  0;  đến đường thẳng qua A, B    2 lớn Lời giải: (Nguyễn Hữu Tú) Tâm I(1;-2) Ta có điểm M thuộc d nên M(a;a+1) a  a 1  Gọi K trung điểm MI K  ;     Đường tròn (C') tâm K,đường kính MI có phương trình a 1   a   a  2a   x x         2  x  y  (a  1) x  (a  1) y  a   2 Dễ thấy AB giao điểm (C) (C') AB trục đẳng phương hai đường trịn nên có phương trình (1  a) x  (a  3) y  a   Khoảng cách từ N đến AB dN /d  7a (1  a)2  (a  3)2  f (a) Khảo sát hàm số f(a) ta max f ( a )  34 a Do M   ;      2 Bài 3:(Trích đề thi HSG số diễn đàn k2pi.net, năm học 2013-2014)Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB ngoại tiếp đường trịn bán kính r nội tiếp đường trịn bán kính R mà R  Biết phương trình đường thẳng AB 2xr 4y+5=0 Biết đường thẳng AD qua N(8; 5) Xác định toạ độ điểm A? Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Gọi E F trung điểm DC,AB, I tâm đường trịn nội tiếp hình thang Nên ta có I trung điểm EF Đặt BAD   ta có: AD  BC  2r sin  Đặt AB=x, CD=y thì: x  y  4r cot  x  y   x  2r 4r ;( AB  CD  AD  BC ) sin   cos   cos  ; y  2r sin  sin  4r  cos    cos    BD2  AB  AD2  AB AD.cos BAD  4r    8r cos   sin   sin   sin   4r 2  cos     4r 1    BD  2r  2r  sin  sin   sin   Do BD  2R.sin   2r  Nên theo giả thiết  sin  R  r sin     28sin   9sin    sin  Giải ta có : sin   (do sin   0) Vậy BAD    60o Phương trình đường thẳng AD có dạng: A( x  8)  B( y  5)   Ax  By  A  5B  Ta có AD, AB  60o  | A  4B | 20 A2  B2   A2  AB  3B   A2  16 AB  11B   A  8  B Tọa độ điểm A thỏa mãn: 2x  y   (1) 2x  y   (3)     Hoặc:   (8  3) x  y  40  59  (2) (8  3) x  y  40  59  (4)   Bài 4:(Dạng toán chung với liên quan tới Đường tròn điểm Ơ-le) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC trọng tâm G 1;2 Phương trình đường trịn qua trung điểm hai cạnh AB,AC chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC  x  3   y  2  25 Viết phương trình đường tròn 2 ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: (Thục) Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CA Ta thấy trọng tâm G tam giác ABC trọng tâm tam giác MNP, phép vị tự tâm G tỉ số k = - biến tam giác MNP thành tam giác ABC nên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ảnh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua phép vị tự Gọi I ; R tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC I' ; R' tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Suy I'(3;-2) ; R' = Sử dụng công thức GI  2GI  R = 2R' để tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Đây đường trịn Euler, đường trịn qua trung điểm ba cạnh tam giác, ba chân đường cao kẻ từ ba đình trung điểm đỉnh với trực tâm tam giác Bài 5: (Sưu tầm-nhiều đề thi) Cho tam giác ABC cân A , có D trung điểm 11 13 AB Biết I  ,  ; J  ,  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC      3  3 trọng tâm tam giác ADC Biết M  3, 1 N  3,0 thuộc CD ,AB Tìm A,B,C biết tung độ điểm A dương Hướng giải: Trần Trung Hiếu Gọi G trọng tâm ABC ta chứng minh I trực tâm DJG Khi viết pt(DC) suy toạ độ D tiếp viết pt(AG) suy toạ độ A sau B.Viết pt ngoại tiếp ABC suy C Bài 6: (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc Hứa)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có BAC  135o , phương trình đường cao kẻ từ B 3x 3 ) trực tâm tam giác ABC 2 + y + 10 = 0, trung điểm cạnh BC M ( ; H(0; -10) Xác định tọa độ đỉnh A, B, C tam giác ABC Lời giải: Nguyễn Tấn Sang: Ta có BH có vtpt nBH  (3;1) B  BH  B(t;  10  3t ) (t  R) Do B có tung độ âm nên t  10 (1) 3 )  C (1  t;  3t )  CH  (t  1;  17  3t ) 2 Vì trung điểm BC : M ( ; Giả sử AB có vtpt nAB  (a; b) (a2  b2  0) Vì BAC  135o  ABH  45o | cos(nAB ; nBH ) | cos 45o  3a  b (3  )(a  b ) 2 2   (3a  b)2  5(a2  b2 )  (2a  b)(a  2b)  nAB  (1; 2) Vì a  b2  nên từ ta suy  nAB  (2;1)  TH1: Nếu nAB  (2;1) Vì H trực tâm tam giác ABC nên CH AB vng góc nhau, ta có: (loại khơng thỏa (1)) CH AB   1(1  t )  2(3t  17)   t  TH2: nAB  (1; 2) Tương tự TH1 ta suy t=3 (thỏa (1)) Suy B(3;  1); C (4;  2) Đường thẳng AB qua B(-3; -1) có vtpt nAB  (1; 2)  x  3  2s ( s  R)  y  1  s nên ptts AB  A  AB  A(3  2s;   s)  CA  (7  2s;1  s) Vì H trực tâm tam giác ABC nên CA BH vng góc nhau, dó ta có CA.BH   1(7  2s)  3(1  s)   s  2  A(1;  3) Thử lại: ta có AB  (4; 2) AC  (3;1)  cos( AB; BC)  12  1   cos135o (thỏa mãn) 16   Gọi I(x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA2  IB2 ( x 1)2  ( y  3)2  ( x  3)2  ( y  1)2 x    2 2 2 y  IA  IC ( x 1)  ( y  3)  ( x  4)  ( y  2) Ta có  Và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: IA  ( x 1)2  ( y  3)2  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1; 2) qua A(1; -3)nên suy phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC: ( x 1)2  ( y  3)2  25 Vậy tọa độ điểm: A(1; 3), B(3; 1), C (4; 2) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( x 1)2  ( y  3)2  25 Bài 7(Sưu tầm)Cho tam giác ABC cân A, có trực tâm H(-3;2) Gọi D,E chân đường cao kẻ từ B C Biết điểm A thuộc đường thẳng (d) : x-3y3=0 điểm F thuộc đt DE F(-2;3) HD=2 Tìm tọa độ A Lời giải: Gọi (AH): y=k(x+3)+2 thì: (DE): ky+x+2-3k=0 (Do DE qua F(-2;3) DE vng góc với AH ) k 1 Gọi AH cắt DE K thì: HK  d H ;( DE )  k 1 HD2 k   (*) Theo tính chất hệ thức lượng tam giác vng ADH thì: AH  HK k 1 Mặt khác: A giao (d) : x-3y-3=0 (AH) nên: 12 k   9k  6k   A ; (**)  (1)  AH   3k   3k  3k  Từ (*) (**) thì:  3k  k   k  Thay vào (1) ta được: A   21  ;   5 2 Bài 8(Trích đề thi thử đại học diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014-đề số 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho hình bình hành ABCD với A(3;6) Biết tam giác ABC có AB.AC  60 nội tiếp đường trịn có tâm I(1;3) bán kính R=5 Hình chiếu điểm A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng d :x+2y-3=0 Hãy tìm tọa độ đỉnh B,C,D biết hồnh độ hình chiếu A lớn hớn hoành độ điểm B bé hoành độ điểm C Lời giải (thai dong) S ABC  1 AB AC.sin A AB AC AB AC.sin A  BC AH  AH    2 BC 2R Do H  d nên H 3  2h; h  , với h