Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Tìm giao điểm hai đồ thị Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Tìm điều kiện tương giao Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Bài tập tương giao hai đồ thị toán 12 (có đáp án) Tóm tắt kiến thức + Bài tập ví dụ + Bài tập tự luyện
1 | P a g e Luyện tập: Đại số 12 – Bài toán tương giao của đồ thị hai hàm số Tóm tắt kiến thức về bài toán tương giao 2 | P a g e Bài tập ví dụ Bài 1. Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 22 1 m xx x Hướng dẫn 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 32 32y x x . Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R. Sự biến thiên: 2 36y' x x. Ta có 0 0 2 x y' x 0 2 2 2 CD CT y y ;y y . Bảng biến thiên Đồ thị: 3 | P a g e 2) Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 x m xx theo tham số m Ta có 22 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của 2 2 2 1y x x x , C' và đường thẳng 1y m,x . Với 2 1 2 2 1 1 f x khi x y x x x f x khi x nờn C' bao gồm: o Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x. o Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x qua Ox. Dựa vào đồ thị ta có: o 2m: Phương trình vụ nghiệm; o 2m: Phương trình có 2 nghiệm kộp; o 20m: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; o 0m: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Bài 2. Cho hàm số 3x 4 y x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận . 4 | P a g e 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh sau cú 2 nghim trờn on 2 0; 3 . sin 6 x + cos 6 x = m ( sin 4 x + cos 4 x ) Hng dn 1) Khảo sát và vẽ ĐTHS TXĐ: D = R \ {2} Sự biến thiên: Giới hạn : xx Lim y Lim y 3 nên đ-ờng thẳng y = 3 là tiêm cận ngang của đồ thị hàm số x 2 x 2 Lim y ;Lim y . Do đó đ-ờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Bảng biến thiên: Ta có : y = 2 2 2x < 0 , xD Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;2 và Đồ thị Giao điểm với trục tung : (0 ;2) Giao điểm với trục hoành : ( 4/3 ; 0) ĐTHS nhận giao điểm I(2 ;3) của hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng 5 | P a g e 2) Gọi M(x;y) (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3 | x 2 | = | y 3 | 3x 4 x x 2 2 x 2 x 2 x 2 x1 x x2 x4 x2 Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M 1 ( 1; 1) và M 2 (4; 6) 3) Xét ph-ơng trình : sin 6 x + cos 6 x = m ( sin 4 x + cos 4 x ) (2) 22 31 1 sin 2x m 1 sin 2x 42 (1) Đặt t = sin 2 2x . Với 2 x 0; 3 thì t 0;1 . Khi đó (1) trở thành : 2m = 3t 4 t2 với t 0;1 Nhận xét : với mỗi t 0;1 ta có : sin2x t sin2x t sin2x t Để (2) có 2 nghiệm thuộc đoạn 2 0; 3 thì 33 t ;1 t ;1 24 D-a vào đồ thị (C) ta có : y(1)< 2m y(3/4) 7 1 2m 5 Vậy các giá trị cần tìm của m là : 17 ; 2 10 6 | P a g e Bài 3. Cho hàm số : 2 1 x y x (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C). 2) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng d : y x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A,B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Hướng dẫn 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số D=R/ 1 y ' 2 1 ( 1)x > 0 , xD h/số đồng biến trên D và không có cực trị Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1 Tâm đối xứng I(1;1) BBT Đồ thị 7 | P a g e 2) Phương trình hoành độ giao điểm của d ()C là: 2 20x mx m (1) ; đ/k 1x Vì 2 4 8 0 (1) 1 0 mm f với m ,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với m .Suy ra d ()C tại hai điểm phân biệt với m Gọi các giao điểm của d ()C là: A( ; AA x x m ) ; B( ; BB x x m );với A x ; B x là các nghiệm của p/t (1) 2 22 22 2( ) 2 ( ) 4 . 2 4( 2) 2 ( 2) 4 8 A B A B A B AB x x x x x x m m m Vậy : AB min 22 , đạt được khi m = 2 Bài 4. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); ( m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2) Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. Hướng dẫn 1) Bạn đọc có thể tự làm 2) PT hoành độ giao điểm x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 x(x 2 + 3x + m) = 0 m = 0, f(x) = 0 Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 và y’(x 1 ).y’(x 2 ) = -1 Hay 22 1 1 2 2 9 4 0, (0) 0 (3 6 )(3 6 ) 1. m f m x x m x x m 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 9 ,0 ,0 4 4 9( ) 18 ( ) 3 ( ) 36 6 ( ) 1 4 9 1 0 mm mm x x x x x x m x x x x m x x m mm Giải ra ta có ĐS: m = 9 65 8 Bài 5. Cho hàm số : y = 3 2 2 2 3 3( 1) ( 1)x mx m x m (1) 1) Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) . 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Hướng dẫn 8 | P a g e 1) Với m=0, ta có: y=x 3 -3x+1 TXĐ D=R y’=3x 2 -3; y’=0 1 1 x x lim x y Bảng biến thiên Hs đồng biến trên khoảng ( ;-1) và (1; ), nghịch biến trờn (-1;1) Hs đạt cực đại tại x=-1 và y cđ =3, Hs đạt cực tiểu tại x=1 và y ct =-1 Đồ thị : cắt Oy tại điểm A(0;1) và đi qua các điểm B(-2;-1), C(2;3) Đồ thị nhận điểm A(0;1) làm tâm đối xứng 2) Ta có y’= 3x 2 -6mx+3(m 2 -1) y’=0 1 1 xm xm Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì ta phải có: 9 | P a g e ' 2 2 2 '0 .0 ( 1)( 3)( 2 1) 0 0 1 0 10 0 ( 1) 0 (0) 0 y CD CT CD CT mR ff m m m m xm m x m f Vậy giá trị m cần tìm là: ( 3;1 2)m Bài 6. Cho hàm số 42 ( ) 8x 9x 1y f x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình 42 8 os 9 os 0c x c x m với [0; ]x . Hướng dẫn 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Tập xác định: D Sự biến thiên: Giới hạn: lim ; lim xx yy 32 ' 32x 18x = 2x 16x 9y 0 '0 3 4 x y x Bảng biến thiên 10 | P a g e 3 49 3 49 ; ; 0 1 4 32 4 32 CT CT y y y y y y C§ Đồ thị 2) Xét phương trình 42 8 os 9 os 0c x c x m với [0; ]x (1) Đặt osxtc , phương trình (1) trở thành: 42 8 9 0(2)t t m Vì [0; ]x nên [ 1;1]t , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau. Ta có: 42 (2) 8 9 1 1 (3)t t m Gọi (C 1 ): 42 8 9 1y t t với [ 1;1]t và (D): y = 1 – m. Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (D). Chú ý rằng (C 1 ) giống như đồ thị (C) trong miền 11t . Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: [...]... và vẽ đồ thị của hàm số TXĐ: D = R\{-2} Chiều biến thiên Giới hạn: lim y lim y 2; lim y ; lim y x x x 2 x 2 Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y = 2 y' 3 0 x D ( x 2) 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;2) và (2;) Bng bin thiờn 18 | P a g e Đồ thị: Đồ thị cắt các trục Oy tại điểm (0; 1 1 ) và cắt trục Ox tại điểm( ;0) 2 2 Đồ thị nhận... H s gỳc ca tip tuyn ti B l: y( x1 ) ' 3x12 2(m 1) x1 (m 1) 2 H s gỳc ca tip tuyn ti B l: y( x2 ) ' 3x2 2(m 1) x2 (m 1) Tip tuyn ti B v C song song vi nhau y'( x1 ) y'( x21 ) m 2 Bi 11 Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị là (C) x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2) Chứng minh đ-ờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có... điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 2) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đ-ờng thẳng d là nghiệm của ph-ơng trình x 2 2x 1 x m 2 x2 x (4 m) x 1 2m 0 (1) Do (1) có m 2 1 0 va (2) 2 (4 m).(2) 1 2m 3 0 m nên đ-ờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B Ta có yA = m xA; yB = m xB nên AB2 = (xA xB)2 + (yA yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra AB ngắn nhất AB2 nhỏ nhất m... g e th Giao ca th hm s v Ox: y=0=>x=1/2 Giao ca th hm s v Oy: x=0=>y=1 th hm s nhn im I(1;2) lm tõm i xng 2) Honh giao im ca ng thng y=x+m (d) v th (C) l nghim ca phng trỡnh 2x 1 xm x 1 2 x 1 x 1 x m (*) ( x=1 khụng phi l nghim ca (*)) x2 (m 3) x 1 m 0 (1) (m 3)2 4(1 m) m2 2m 5 0m Do ú (d) luụn ct (C) ti hai im phõn bit A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) vi x1 , x2 l hai nghim... 2 12 x 9; y ' 0 x 3 y(3) 2 Hm s ng bin trờn cỏc khong (- ;1) v (3;+ ) 11 | P a g e Hm s nghch bin trờn khong (1;3) Hm s t cc i ti x=1 =>yc=2 Hm s t cc tiu ti x=3=>yct=-2 th Giao ca th hm s v Ox: y=0=>x=2;x=2 3 Giao ca th hm s v Oy: x=0=>y=-2 th hm s nhn im I(2;0) lm tõm i xng 2) Ta cú y ' 3x2 4(m 1) x 9 y l tam thc bc hai nờn hm s t cc i, cc tiu ti x1 , x2 khi v ch khi ycú hai. .. 27 3 3 th 2 11 im un: U ; 3 27 Giao vi trc Oy (0, 1) 1 5 1 5 Giao vi trc Ox (1, 0); 2 ,0 ; 2 ,0 2 11 Nhn im un U ; lm tõm i xng 3 27 17 | P a g e 2) Honh giao im ca th hm s ú cho vi trc honh l nghim ca phng trỡnh: x 3 (m 1) x 2 (m 1) x 1 0 x 1 ( x 1)( x 2 mx 1) 0 x 2 mx 1 0 (2) CMinh m 0 phng trỡnh (2) lun cú hai nghim phõn bit khỏc 1 phng trỡnh (1)... m 1 2 Theo viột x1 x2 4(m 1) ; x1 x2 3 3 Khi ú x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 4 2 16(m 1) 2 12 4 9 12 | P a g e m 2 (m 1)2 3 (2) m4 T (1) v (2) suy ra m=-2;m=4 Cho hm s y Bi 8 2x 1 cú th (C) x 1 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm m (m ) ng thng y x m ct (C) ti hai im A, B sao cho AB 4 Hng dn Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y 1) Tp xỏc nh: D 2x 1 x 1 S bin... (-1;1) Hm s t cc i ti x=-1 =>yc=4 Hm s t cc tiu ti x=1=>yct=0 th Giao ca th hm s v Ox: y=0=>x=1;x=-2 Giao ca th hm s v Oy: x=0=>y=2 Thờm im x=2=>y=2 th hm s nhn im I(0;2) lm tõm i xng 15 | P a g e 2) Tỡm m ( m ) phng trỡnh m( x3 3x 2) 1 (1) cú 3 nghim thc phõn bit m=0 => (1) vụ nghim m 0 (1) x3 3x 2 1 m S nghim ca (1) l s giao im ca th (C): y x3 3x 2 v ng thng d: y 1 1 d cựng phng . 1 | P a g e Luyện tập: Đại số 12 – Bài toán tương giao của đồ thị hai hàm số Tóm tắt kiến thức về bài toán tương giao 2 | P a g e Bài tập ví dụ Bài 1. Cho hàm số y = x 3 . 14 | P a g e Đồ thị Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=1/2 Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng 2) Hoành độ giao điểm của đường. Hàm số đạt cực tiểu tại x=3=>y ct =-2 Đồ thị Giao của đồ thị hàm số và Ox: y=0=>x=2;x=2 3 Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=-2 Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;0) làm tâm đối xứng