ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ MÔN TOÁN - LỚP 10 - NĂM HỌC 2013– 2014 Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng. 1. Tìm m để hàm số ( ) 2 1 2 2y m x mx m= − − + + nghịch biến trên ( ) ;2−∞ +Nếu 1 2 3m y x= ⇒ = − + nghịch biến trên ℝ . Do đó 1m = th ỏ a mãn đề bài 0.5 + N ế u 1m ≠ . Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên ( ) ;2−∞ khi và ch ỉ khi 1 0 1 2 2 1 m m m m − >   ⇔ < ≤  ≥  −  1.0 + Kết luận 1 2m≤ ≤ là kết quả cần tìm. 0.5 2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ; x x thỏa mãn 1 2 2 2x x− = . + (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi ( ) 2 1 2 2 0m x mx m− − + + = có hai nghiệm phân biệt ( )( ) 2 1 0 ' 1 2 0 m m m m − ≠   ⇔  ∆ = − − + >   1 2m⇔ ≠ < 0.5 + Theo Viet ta có 1 2 1 2 2 2 ; 1 1 m m x x x x m m + + = = − − K ế t h ợ p v ớ i gi ả thi ế t 1 2 2 2x x− = , tính đượ c ( ) ( ) 1 2 4 2 2 2 ; 3 1 3 1 m m x x m m − + = = − − 0.5 T ừ đ ó thu đượ c: ( ) ( ) 7 4 2 2 2 2 . 2 3 1 3 1 1 m m m m m m m m = −  − + + = ⇔  = − − −  0.5 + Kết hợp điều kiện, kết luận 7m = − là kết quả cần tìm. 0.5 Câu2 1. Giải phương trình: 2 1 2 1 1 3 x x x x + = − + − − + Điều kiện: 1 3 1 x x − ≤ ≤   ≠  0.5 + Khi đó phương trình tương đương với ( ) 2 1 1 3 2 1 2 2 x x x x x + + + − = − − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 6 2 4 2 3 2 2 3 12 0 x x x x x x x x x ⇔ + + − + + = − + ⇔ − + + + − + + − = 0.5 ( ) 2 2 2 2 3 2 2 7 4 8 3 0 3 2 2 3 2 x x vl x x x x x  − + + = − ±  ⇔ ⇔ − − = ⇔ =  − + + =   0.5 + Đối chiếu điều kiện và kết luận 2 7 2 x ± = 0.5 2. Gi ả i h ệ ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 x y y x x x x y y  + + + + =   + + =   + H ệ đ ã cho t ươ ng đươ ng v ớ i ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 1 xy x xy y xy x xy y  + + + =   + + =   0.5 + Đặ t ;u xy x v xy y= + = + , ta đượ c 2 2 3 1 u v uv  + =  =  Gi ả i h ệ thu đượ c 1 1 u v =   =  ho ặ c 2 1 2 u v = −    = −   0.5 + Với 1 1 u v =   =  1 1 xy x xy y + =  ⇒  + =  . Gi ải được 1 5 2 x y − − = = 0.5 + Với 2 1 2 u v = −    = −   2 1 2 xy x xy y + = −   ⇒  + = −   . Gi ải được 5 1 2 x y − = = và k ết luận 0.5 Câu 3 1. Giải bất phương trình: 2 2 2 1 2 4 1 5 x x x x x − + + + + ≥ + Điều kiện 0x ≥ 0.5 +Ta thấy 0x = không là nghiệm của bất phương trình, do đó bất phương trình tương đương với: 1 1 2 1 2 4 5x x x x − + + + + ≥ Đặt 1 2 1, 0t x t x = + − > , ta được 2 5 5t t+ + ≥ 0.5 +Giải bất phương trình trên kết hợp với 0t > , ta được 2t ≥ . 0.5 + Từ đó ta có 1 2 1 2x x + − ≥ , giải bất phương trình với điều kiện 0x > , ta được 5 17 0 2 5 17 2 x x  − < <    + ≥   . K ế t lu ậ n. 0.5 2. Rút g ọ n + − + + = + − + x x x x P x x x x x 4 4 2 2 2 2 2 2 2 (sin cos 1)(tan cot 2) cos .cot 3cos cot 2sin Ta có = + − + + A x x x x 4 4 2 2 (sin cos 1)(tan cot 2) ( ) ( )   = + − − + +     x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 2sin .cos 1 tan cot 2 ( ) = − + −x x x x 4 4 2 2 2 sin cos 4sin .cos ( ) = − + = −x x 2 2 2 2 sin cos 2 1.0 = + − +B x x x x x 2 2 2 2 2 cos .cot 3cos cot 2sin ( ) ( ) = + − + +x x x x x 2 2 2 2 2 cos . cot 1 cot 2 sin cos = − + =x x x 2 2 2 1 cos . cot 2 2 sin 0.5 Vậy P=-1. 0.5 Câu 4 1. Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM=BN. Gọi H là hình chiếu của B trên CM. Chứng minh HD vuông góc với HN. + Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông và   = =MBH BCH α H A D B C M N 0.5 + Ta có: ( )( ) = + +HN HD HB BN HC CD.       = + HB CD BN HC. .     (vì ⊥ ⊥HB HC BN CD, ) 0.5 = +HB BA BN HC. .     = − +HB a BN HC. .cos . .cos α α 0.5 = − +BM a NB a 2 2 . .cos . .cos α α =0 (do BM=BN) Do đó ⊥HB HD . 0.5 2. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu ( ) ( ) 2 2 2 2 sin 2sin .cos 0 A B C b b a c c a =    − + − =   +Từ sin 2sin .cosA B C= chỉ ra tam giác ABC cân t ạ i A 1.0 + T ừ ( ) ( ) 2 2 2 2 0b b a c c a− + − = ch ỉ ra tam giác ABC có góc A b ằ ng 60 0 . 0.5 +K ế t lu ậ n tam giác ABC đề u 0.5 3. Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy , vi ết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ B là K(0;2) và trung điểm của AB là M(3;1). H M K A C B + Viết được phương trình đường thẳng AC: x-2y+4=0 và BK: 2x+y-2=0 0.5 + Vì A AC∈ nên ( ) 2 4;A a a− , B BK ∈ nên ( ) ;2 2 B b b − T ừ M là trung điểm của AB suy ra A(4;4), B(2;-2). 0.5 + Viết được phương trình AB:3x-y-8=0 0.5 + Viết được phương trình BC:3x+4y+2=0 và kết luận. 0.5 Câu 5 Cho , ,a b clà 3 số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 3 4 a b c+ + ≤ . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: 2 2 2 1 1 1 8P abc a b c = + + + 1 đ i ể m + Áp d ụ ng AM-GM ta có 2 2 1 4 1 4 4 4 a a a a + ≥ ⇒ ≥ − T ươ ng t ự ta có: 2 2 1 4 1 4 4; 4 b b c c ≥ − ≥ − Do đ ó 4 4 4 8 12P abc a b c ≥ + + + − 0.5 + Theo AM-GM, ta có: 1 1 1 8 4 2 2 2 abc a b c + + + ≥ ; 0.5 + Ch ứ ng minh đượ c 1 1 1 9 a b c a b c + + ≥ + + Do đ ó ( ) 63 4 2 P a b c ≥ + + + 0.5 + Ch ứ ng minh đượ c ( ) ( ) 2 2 2 2 9 3 3 4 2 a b c a b c a b c+ + ≤ + + = ⇒ + + ≤ T ừ đ ó suy ra MinP=25, đạ t đươ c khi 1 2 a b c= = = . 0.5