SỞ GD&ðT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT THÁI THUẬN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NGÀY THI 19/01/2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Câu Phương pháp – Kết quả ðiểm Câu I (4 ñiểm) 1) (2 ñiểm) 230 2 ++=⇒= xxym * TXð: R * BBT: * Xác ñịnh các ñiểm: ñỉnh ) 4 1 ; 2 3 ( −−I , giao trục tung )2;0( , giao trục hoành )0;2(),0;1( − − . * Vẽ ñúng ñồ thị 2) ( 2 ñiểm) * Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: 0322 2 =+−− mmxx (*) * Tìm ñược ñiều kiện cần và ñủ ñể ñường thẳng cắt ñồ thị hs tại hai ñiểm phân biệt A, B là 3 − < m hoặc 1 > m * Gọi 21 , xx là các nghiệm của pt(*), ta có    +−= =+ 32 2 21 21 mxx mxx * )13;( 11 − xxA , )13;( 22 − xxB . Tính ñược 582840 222 −+=+ mmOBOA * Tìm ñược 22 OBOA + nhỏ nhất bằng 10 khi m =1. Kết luận. 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 Câu II (4 ñiểm) 1) (2 ñiểm) * BðTð PT về dạng: 013)2(2)2( 222 =+−+−+ mxxxx * ðặt xxt 2 2 += , phương trình trở thành 132 2 −=− mtt * Tìm ñược ñiều kiện 1 − ≥ t . * Lập ñúng bảng biến thiên của hàm số tttf 2)( 2 −= với 1 − ≥ t * Dựa vào BBT tìm ñược các giá trị m thỏa mãn là 0 ≥ m . KL 2) (2 ñiểm) * ðiều kiện 2 1 ≥x * Biến ñổi pt thứ nhất ñược x y = * Thay y = x vào pt thứ hai ñược 01312 2 =+−+− xxx (1) * Biến ñổi (1) ⇔ 0)2 112 2 )(1( =−+ +− − x x x Tìm ñược x=1, y =1 là một nghiệm của hệ pt * Giải pt: 02 112 2 =−+ +− x x ðặt 12 −= xt ( 0 ≥ t ), Pt (2) trở thành 013 23 =+−+ ttt    +−= = ⇔ 21 1 t t * Tìm ñược 1,1 = = yx hoặc 22,22 −=−= yx . Kết luận hệ phương trình có hai nghiệm (),1;1( )22;22 −− 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Câu III (4 ñiểm) 1) (2 ñiểm) Với 1 − = a , ta có hệ bpt      ≥−− ≥+ − 022 03 2 1 x x ⇔    −≤ −≥ 1 5 x x 1 ⇔ 15 − ≤ ≤ − x . Kết luận tập nghiệm của hệ bpt [ ] 1;5 − − . 2) (2 ñiểm) * Tập nghiệm của bpt (1) là S 1 = [ ) +∞ − ;5 * Nếu 1 = a , bpt(2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm * Nếu 1 > a , 1 2 )2( − ≥⇔ a x . Tập nghiệm của bpt (2) là S 2 =       +∞ − ; 1 2 a S 1 ∩ S 2 , ≠ ∅ ∀ 1 > a . Hệ bpt luôn có nghiệm với mọi 1 > a . * Nếu 1 < a , 1 2 )2( − ≤⇔ a x . Tập nghiệm của bpt (2) là S 2 =       − ∞− 1 2 ; a Hệ bpt có nghiệm khi và chỉ khi      −≥ − < 5 1 2 1 a a 5 3 ≤⇔ a * KL: hệ bpt có nghiệm với ( ) +∞∪       ∞−∈ ;1 5 3 ; a . 1 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 Câu IV (6 ñiểm) 1) (2 ñiểm) * Biến ñổi ñẳng thức về dạng: 0)2( =+ MBCAMA (*) * Gọi I là ñiểm xác ñịnh bởi CAIB 2−= , ta có (*) 0. =⇔ MIMA ⇔ M thuộc ñường tròn ñường kính IA * KL: Tập hợp các ñiểm M là ñường tròn ñường kính IA 2) (2 ñiểm) * Có: )1;2(=AB * Giả sử );( yxC );3( yxBC −=⇒ * Vì ABCD là hình vuông nên AB vuông góc với BC và AB = BC . Ta có hệ    =+− =+− 5)3( 0)3(2 22 yx yx * Giải hệ pt ñược    = = 2 2 y x hoặc    −= = 2 4 y x . Vậy )2;2( C hoặc )2;4( − C * Gọi I là tâm hình vuông ABCD Nếu )2;2( C thì ) 2 1 ; 2 3 ( I )1;0( D ⇒ Nếu )2;4( − C thì ) 2 3 ; 2 5 ( −I )3;2( − ⇒ D Kết luận 3) (2 ñiểm) * VT= cos cos cos cos cos cos b A c A c B a B a C b C + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a b c a a c b a c b a b c a b c c b a c b a + − + − + − + − + − + − + + + + + = a b c VP + + = ⇒ ñpcm. 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 Câu V (2 ñiểm) * Vì 1 a b c + + = nên ta có (1 )(1 ) ab ab c ab a b = + − − 0,5 * Áp dụng bất ñẳng thức Cô- Si: 1 ( ) (1 )(1 ) 2 1 1 ab a b a b b a ≤ + − − − − ⇒ ab c ab ≤ + 1 ( ) 2 1 1 a b b a + − − * Tương tự: bc a bc ≤ + 1 ( ) 2 1 1 b c c b + − − ca b ca ≤ + 1 ( ) 2 1 1 a c c a + − − * Suy ra P 1 ( ) 2 1 1 1 a c b c b a b a c + + + ≤ + + − − − 1 1 1 1 3 ( ) 2 1 1 1 2 b a c b a c − − − = + + = − − − Dấu ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c = = = * Vậy P ñạt giá trị lớn nhất bằng 3 2 khi 1 3 a b c = = = . 0,5 0,5 0,5 Lưu ý khi chấm bài: Trên ñây chỉ là sơ lược ñáp án, bài làm của học sinh phải ñược trình bày tỉ mỉ. Mọi cách giải khác, nếu ñúng, vẫn cho ñiểm tương ñương như trên.