Đang tải... (xem toàn văn)
PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN THÔNG QUA TÌM KIẾM QUY LUẬT KHI GIẢI TOÁN
PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN THÔNG QUA TÌM KIẾM QUY LUẬT KHI GIẢI TOÁN Sinh viên thực hiện BÙI THỊ ĐỨC Giảng viên hướng dẫn PGS. TS. TRẦN VUI LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với phương pháp dạy học truyền thống (truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu thụ động của học sinh) khiến các em học sinh có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu với những công thức và thuật toán bất di bất dịch. Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy hoàn toàn không đúng với bản chất của toán học. Việc học toán là một quá trình mang tính sáng tạo chứ không phải là tiếp thu một thực thể kiến thức đã có sẵn. Yêu cầu đặt ra cho giáo dục Việt Nam hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi phương pháp dạy học truyền thống đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của HS để HS tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng. Phương pháp giải quyết vấn đề (GQVĐ) là phương pháp dạy học đáp ứng phần nào những yêu cầu này. Tìm kiếm quy luật là một phương án hiệu quả trong các phương án của GQVĐ và một số người còn gọi đó là nghệ thuật của toán học (art of maths). Khi thực hiện việc tìm kiếm một quy luật, tư duy các em đã được rèn luyện và phát triển, đặc biệt là tư duy phê phán và sáng tạo – hai loại tư duy mà chúng ta đang quan tâm nhiều để dạy cho HS. Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào thật chi tiết và sâu sắc về phương án tìm kiếm quy luật và sự phát triển của tư duy toán thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán, để giáo viên và học sinh có thể hiểu rõ và vận dụng một cách linh hoạt và có hiệu quả phương án này trong giải toán. Với những lý do như vậy, tôi quyết định chọn đề tài: “Phát triển tư duy toán thông qua tìm kiếm quy luật khi giải toán” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình. Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận 1. Tư duy toán học 2. Phương pháp giải quyết vấn đề 3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán Chương 2: Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết vấn đề 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hằng ngày 2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 2. Quá trình thực nghiệm 3. Thu thập dữ liệu, phân tích và lý giải các dữ liệu của thực nghiệm 4. Kết luận sư phạm Kết luận CẤU TRÚC KHOÁ LUẬN 3. Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán 3. Nhìn một bài toán với nhiều khía cạnh khác nhau của toán học, ta có nhiều cách để tìm ra quy luật của một bài toán 2. Phân loại mẫu để tìm ra quy luật khi giải toán 1. Tìm quy luật bằng cách xét các trường hợp riêng, đặc biệt, dễ thấy nhất 4. Sử dụng các mô hình toán để tìm kiếm quy luật Ví dụ 3.1.2: Hãy tìm số dương n và , , …, nguyên dương thoả: và tích . … lớn nhất có thể. 2 3 4 5 6 7 8 9 n 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 Các = 2 = 3 = 4 = 2 = 2 = 2 = 3 = 3 = 3 = 3 = 4 = 2 = 2 = 3 = 2 = 3 = 3 = 3 = 3 = 3 ∑ = n i i a 1 i a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 3 a 3 a 3 a 1 a 2 a n a ∑ = = n i i a 1 1000 1 a 2 a n a Khi bài toán có thông số biến đổi ta phân tích một cách thích hợp những mảng dữ liệu để thay bằng mảng dữ liệu có thể quản lý tốt hơn. Trong bài toán này, chúng ta có thể bắt đầu bằng cách kiểm tra một dãy các trường hợp đặc biệt thay cho 1000 là các số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; … Kết quả thu được cho ở bảng sau: Công việc này mất khá nhiều thời gian. Từ bảng trên, ta nhận thấy rằng, trường hợp tích lớn nhất thoã mãn: • Không có nào lớn hơn 4; • Không có nào bằng 1; • Tất cả các có thể đổi thành 2 hoặc 3 (vì và ); • Nhiều nhất có 2 bằng 2 (vì và ). i a i a i a i a 224 ×= 224 += 33222 ×<×× 33222 +=++ Mỗi điều trên đều dễ chỉ ra là đúng. Như vậy, khi thông số của ta 1000 thì tích lớn nhất của chúng ta cần phải là . 2332 23 × Ví dụ 3.1.3: Trên giấy kẻ ôly, hãy nối các đỉnh ôly để có các đa giác có diện tích bằng 5. Giả sử độ dài cạnh ôly bằng 1. Cách làm của chúng ta là cố gắng vẽ tất cả các hình thoả mãn bài toán. Tuy nhiên đây không phải là công việc dễ vì chúng ta có thể bỏ sót một số hình. Chúng ta hãy quan sát một số hình vẽ thoả mãn yêu cầu của bài toán: Nếu gọi A, T, N lần lượt là diện tích của đa giác, số đỉnh ôly nằm ở miền trong của hình đa giác, số đỉnh ôly nằm trên các cạnh đa giác. Bây giờ chúng ta hãy cố gắng tìm biểu thức liên hệ giữa A, N, T. N và T ứng với các hình vẽ trên được cho ở bảng sau: N 12 10 8 6 4 T 0 1 2 3 4 A 5 5 5 5 5 Chúng ta tìm được quy luật với bảng trên như sau: Thiết lập được công thức này, chúng ta sẽ vẽ được tất cả các hình vẽ thoả mãn bài toán. Trường hợp T = 5 , khi đó N = 2 và khi T = 6 thì N = 0, những trường hợp này rõ ràng không có hình vẽ thoả mãn. 1 2 −+= T N A CHƯƠNG 2 PHƯƠNG ÁN TÌM KIẾM QUY LUẬT TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Phương án tìm kiếm quy luật trong giải quyết các vấn đề từ các tình huống thực tế hàng ngày Bài toán 1: Bản đồ của một khu vực thành phố Huế được cho như ở Hình vẽ 1.1. Để tiện theo dõi, chúng ta ký hiệu đường Đoàn Thị Điểm là đường số 1, đường Đinh Tiên Hoàng là đường số 2, đường Lê Thánh Tôn là đường thứ 3, đường Ngô Đức Kế là đường thứ 4, đường Xuân 68 là đường số 5. Trang sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 5 và đường Mai Thúc Loan. Nhi sống tại vị trí giao nhau của đường thứ 1 và đường Đinh Công Tráng. Nhi quyết định một lần tới thăm Trang, cô ấy sẽ đi bằng một tuyến đường khi cô ấy đã tìm ra được mọi tuyến đường khác nhau để tới nhà Trang. Cô ấy chỉ được đi về phía hướng Đông và hướng Bắc. Có bao nhiêu tuyến đường khác nhau để Nhi tới nhà Trang? 543 2 1 Hình vẽ 1.1 Lời giải: Thường thì nhiều học sinh cố gắng thử vẽ các tuyến đường có thể có và đếm xem có bao nhiêu tuyến đường như thế. Tuy nhiên, đây không phải là một công việc dễ và chắc chắn một vài tuyến đường sẽ bị bỏ sót. Một số học sinh khác nhận ra rằng ở đây có bốn con đường phía Đông và năm con đường phía Bắc là đi được. Do đó, họ tìm tất cả các cách sắp xếp có thể được của 5 con đường B và 4 con đường Đ. Với cách này, nhiều học sinh bắt đầu liệt kê danh sách tất cả các cách sắp xếp có thể được, như: ĐĐBBĐĐBBB; BĐBĐBĐBĐB; BBBĐBBĐĐĐ; … Rõ ràng có quá nhiều cách sắp xếp. Một số học sinh có thể nhận ra rằng bài toán này tương tự như bài toán quen thuộc sau: “Có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ở trong từ song song?” Những học sinh này cố gắng tìm xem có bao nhiêu cách sắp xếp các chữ cái ĐĐĐĐBBBBB (tổng cộng 9 chữ cái, 4 chữ Đ, 5 chữ B) và sẽ có: (tức bằng 126) cách sắp xếp. Hãy xem chúng ta có thể giải bài toán này như thế nào với phương án tìm kiếm một quy luật. Để làm theo cách này chúng ta phải kết hợp phương án này với phương án giải bài toán đơn giản hơn. Giả sử chúng ta xét bài toán đơn giản hơn là nhà Trang ở vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Đinh Công Tráng - chỉ có một con đường để Nhi tới đây. Cũng như vậy, nếu nhà Trang được “di chuyển” tới vị trí giao nhau của đường thứ 3 và đường Đinh Công Tráng hay tới bất kỳ vị trí nào trên đường Đinh Công Tráng hay bất kỳ vị trí nào trên đường số 1 – có đúng một con đường. Bây giờ chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể tới nhà Trang nếu chúng ta “chuyển” nhà của Trang tới vị trí giao nhau của đường số 2 và đường Hàn Thuyên – chỉ có hai con đường. !5!4 !9 “Chuyển” nhà tới vị trí giao nhau của đường số 3 và đường Hàn Thuyên – có ba con đường (cũng giống như vậy nếu nhà được “chuyển” tới vị trí giao nhau giữa đường thứ 2 và đường Nguyễn Chí Diễu). Chúng ta hãy xem có bao nhiêu tuyến đường mà Nhi có thể đi nếu nhà của Trang được “chuyển” lần lượt tới mỗi điểm trên lưới ô vuông (xem hình vẽ). 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 6 35155 20 10 4 5 6 21 56 70 35 15 10 43 2 126 Chú ý rằng các số này là các hệ số của tam giác Pascal (Hình vẽ 1.2). Khi chúng ta nhận ra quy luật này thì câu trả lời dễ dàng được tìm thấy, tức là có 126 tuyến đường khác nhau mà Nhi có thể đi để tới nhà Trang. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Hình vẽ 1.2 [...]... nghiệm + Nghiên cứu về tình hình sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán ở trường phổ thông; + Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính hiệu quả của việc sử dụng phương án tìm kiếm quy luật khi giải toán ở trường THPT; + Thu thập dữ liệu để kiểm tra, đánh giá sự phát triển tư duy toán của HS thông qua việc tìm kiếm quy luật khi giải toán ...2 Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải toán 2.1 Tìm quy luật của dãy số 2.2 Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài toán hình học 2.3 Giải hệ phương trình bằng phương án tìm kiếm một quy luật 2.4 Bài toán tìm tổng 2.5 Một số bài toán khác Bài toán 2.1.4: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số: 1; 5; 14; 30; 55; 91; … Lời giải: Quá trình tìm các sai khác giữa các dãy số... của một dãy số là không duy nhất Với một bài toán chúng ta có thể khám phá ra nhiều quy luật khác nhau, với các quy luật tìm được có thể cho các kết quả khác nhau nhưng cũng có thể chúng đều đưa đến cùng một kết quả Chúng ta xét bài toán sau: Bài toán 2.1.6: Tìm số hạng tiếp theo của dãy số sau: 1; 2; 4; 6; 8; 16; … Lời giải: Số tiếp theo, theo hầu hết mọi người đó là 32 Quy luật được nhận ra ở đây... trên hình thứ n Quan sát mô hình chúng ta thấy các hình được sắp xếp theo quy luật: hình thứ n có được bằng cách ghép vào hình thứ n – 1 một mảng hình chữ nhật bao gồm n2 quả cầu Như vậy số quả cầu trong hình thứ 7 sẽ bằng: 91 + 72 = 140 Sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để tìm số hạng tiếp theo của một dãy số cho trước không phải luôn luôn dẫn tới một “số hạng” duy nhất Thường thì quy luật của một... có thể lý luận theo cách khác: 1 tan y − tan z 3 =1 tan x = tan( y − z ) = = 1 1 + tan y tan z 1+ 2× 3 2− ⇒ x = 450 Chúng ta có thể tìm ra lời giải của bài toán này đơn giản hơn nếu chúng ta sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật từ hình vẽ ban đầu của bài toán x Hãy quan sát Hình vẽ 2.2.6.c, hình vẽ này được xem x là hình được trải rộng của Hình vẽ 2.2.6.a Hai góc được ký hiệu x là bằng nhau, vì... đã tìm ra được quy luật cho dãy số tạo ra ở sai khác thứ nhất là số hạng thứ n có dạng (n + 1)2 và ta tìm được số hạng thứ sáu là 72 = 49 Do đó, số hạng tiếp theo của dãy đã cho là 49 + 91 = 140 Tuy nhiên, chúng ta đã tìm các sai khác tiếp theo của các dãy số mới tạo ra và đến sai khác thứ ba thì chúng ta đã tìm ra được cái bất biến tiềm ẩn của bài toán là dãy hằng: 2; 2; 2; … Từ sai khác thứ 3, ta tìm. .. trên đường tròn (hình vẽ) 2 điểm 3 điểm 4 điểm 5 điểm 6 điểm 2 miền 4 miền 8 miền 16 miền 31 miền Bài toán 2.2.6: Tính số đo của góc được ký hiệu là x ở trong Hình vẽ 2.2.6.a, trong đó bốn hình vuông được vẽ là các hình vuông đơn vị Lời giải: Có nhiều cách để giải bài toán này, trong đó, chúng ta có thể giải bằng phương pháp lượng giác y x x z y z Hình vẽ 2.2.6.b Hình vẽ 2.2.6.a Theo giả thiết cạnh của... luận 1 = 1 theo toán học một cách hợp lý và chính 1 1 = 2 1 2 1 = 4 xác rằng số hạng tiếp theo có thể là 1 3 3 1 = 8 (hoặc phải là) 31 và tiếp đến là 57 và 99 1 4 6 4 1 = 16 Dãy số này được gắn vào tam giác 1 5 10 10 5 1 = 31 1 6 15 20 15 6 1 = 57 Pascal như hình vẽ 1 7 21 35 35 21 7 1 = 99 1 8 28 56 70 56 28 8 1 = 163 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 = 256 Chúng ta cũng có thể mô tả dãy số này tư ng ứng với... góc được ký hiệu x là bằng nhau, vì chúng là 2 góc so le trong Góc x mới tạo ra là góc được tạo bởi một cạnh hình vuông và một đường chéo của nó nên có Hình vẽ 2.2.6.c số đo là 450 Điều thú vị trong bài toán này là chúng ta để ý Hình vẽ 2.2.6.d, tổng của các góc ∠ACE ,∠ABE ,∠ADE bằng 900 Chúng ta có thể chứng minh điều này như sau: N J ∠GDE + ∠GED + ∠DGB = 90 0 Ta có: ⇒ ∠GDE + ∠GED = 45 0 (*) (vì ∠DGB