Đang tải... (xem toàn văn)
• Bài toán: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện( ); 0F x y = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức( );P G x y= . • Phương pháp giải chung: Gọi T là tập giá trị của P, khi đó m T∈ khi và chỉ khi hệphương trình sau có nghiệm: =( )( ); 0;F x yG x y m= (1) • Sau đó tìm các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm (thường là đưa về điều kiện có nghiệmcủa một phương trình bậc hai) rồi suy ra tập giá trị T của P, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức( );P G x y= .
Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 213 - PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC HAI BIẾN BẰNG ĐẠO HÀM Ví dụ 1. ( CĐ Khối A, B – 2008 ). Cho , x y là số thực thỏa mãn 2 2 2 x y . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 3 3 2( ) 3 P x y xy Bài giải Ta có : 2 2 2( )( ) 3 = 2( )(2 ) 3 P x y x xy y xy x y xy xy Vì 2 ( ) 2 2 x y xy , đặt t x y , ta có 2 2 3 2 2 2 3 ( ) 2 (2 ) 3 6 3 2 2 2 t t P t t t t t Do 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 2 2 2 x y x y x y t . Xét hàm số 3 2 3 ( ) 6 3 2 P t t t t với 2 2 t . Ta có 2 '( ) 3 3 6 P t t t , 1 '( ) 0 2 t P t t Bảng biến thiên Vậy 2;2 Min ( ) ( 2) 7 P t P khi 1 x y 2;2 1 3 1 3 ; 13 2 2 M ( ) (1) 2 1 3 1 3 ; 2 2 x y ax P t P x y Ví dụ 2. ( ĐH Khối D – 2009 ) Cho 0, 0 x y và 1 x y .Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 (4 3 )(4 3 ) 25 S x y y x xy Bài giải. Ta có : 2 2 2 2 3 3 (4 3 )(4 3 ) 25 16 12( ) 34 S x y y x xy x y x y xy 2 2 2 2 16 12( )( ) 34 x y x y x xy y xy 2 2 2 16 12[( ) 3 ] 34 , do 1 x y x y xy xy x y 2 2 16 2 12 x y xy Đặt t xy . Do 0; 0 x y nên 2 ( ) 1 1 0 0 4 4 4 x y xy t Xét hàm số 2 ( ) 16 2 12 f t t t với 1 0 4 t . Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 214 - Ta có '( ) 32 2 f t t ; 1 '( ) 0 16 f t t . Bảng biến thiên Vậy : 1 0; 4 1 191 Min ( ) 16 16 f t f khi 2 3 2 3 ; 4 4 x y hoặc 2 3 2 3 ; 4 4 x y 1 0; 4 1 25 Max ( ) 4 2 f t f khi 1 2 x y . Ví dụ 3 ( ĐH Khối B – 2009). Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2 2 2 2 3( ) 2( ) 1 P x y x y x y . với , x y là các số thỏa mãn điều kiện : 3 ( ) 4 2 x y xy . Bài giải. Ta luôn có kết quả : 2 ( ) 4 x y xy , từ đó ta có : 3 3 2 3 ( ) 4 2 ( ) ( ) ( ) 4 2 x y xy x y x y x y xy 3 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 0 ( ) 1 0 x y x y x y x y x y x y Do 2 2 1 7 ( ) ( ) 2 ( ) 0, , 2 4 x y x y x y x y Bài toán được đưa về tìm Max, Min của : 4 4 2 2 2 2 3( ) 2( ) 1 P x y x y x y với , x y thỏa mãn 1 x y . Ta biến đổi biểu thức P như sau 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 3 3 3( ) 2( ) 1 ( ) ( ) 2( ) 1 2 2 P x y x y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3( ) ( ) 2( ) 1 2 4 x y x y x y ( do 2 2 2 4 4 ( ) 2 x y x y ) Hay 2 2 2 2 2 9 ( ) 2( ) 1 4 P x y x y . Vì 2 2 2 ( ) 2 x y x y ( do 1 x y ) nên 2 2 1 2 x y . Đặt 2 2 t x y . Xét hàm số 2 9 ( ) 2 1 4 f t t t với 1 2 t . Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 215 - Ta có 9 4 '( ) 2; '( ) 0 2 9 f t t f t t Bảngbiến thiên Vậy 1 2 1 9 Min ( ) ( ) 2 16 t f t f đạt được khi 1 2 t Suy ra 9 16 P . Mặt khác, ta dễ thấy 1 2 x y thì 9 16 P . Kết luận : 9 Min 16 P khi 1 2 x y và không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 4. (ĐH Khối A- 2006). Cho hai số thực , 0 x y thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 ( ) x y xy x y xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 1 1 P x y Bài giải Ta có 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 ( )( ) 1 1 x y x y x xy y x y P x y x y x y xy x y . Đặt x ty . Từ gải thiết ta có: 2 2 3 2 2 ( ) ( 1) ( 1) x y xy x y xy t ty t t y Do đó 2 2 1 ; t t y t t 2 1 1 t t x ty t . Từ đó 2 2 2 2 1 1 2 1 1 t t P x y t t . Xét hàm số 2 2 2 1 ( ) 1 t t f t t t , ta có 2 2 2 3 3 '( ) 1 t f t t t . Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN của P là: 16 đạt được khi 1 2 x y . Ví dụ 5. (ĐH Khối B- 2011). Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2( ) a b ab ( )( 2) a b ab . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 2 2 3 3 2 2 4 9 a b a b P b a b a Bài giải Biến đổi giả thiết: 2 2 2( ) ( )( 2) a b ab a b ab 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2 1 ( ) 2 a b ab a b ab a b a b a b a b b a Chuyên dề: Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến Gv: Cao Hồng Sơn website: http://wwwcaohồngsơn.vn - 216 - 1 1 2 1 ( ) 2 a b a b b a a b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 1 1 1 1 ( ) 2 2 2( ) 2 2 2 a b a b a b a b a b b a Suy ra: 5 2 1 2 2 2 2 a b a b a b b a b a b a . Đặt a b t b a , 5 2 t . Ta được : 3 2 3 2 4( 3 ) 9( 2) 4 9 12 18 P t t t t t t . Xét hàm số: 3 2 ( ) 4 9 12 18 f t t t t ; 2 5 '( ) 6(2 3 2) 0, 2 f t t t t Bảng biến thiên Suy ra 5 ; 2 5 23 Min ( ) 2 4 f t f . Vậy 23 Min 4 P khi và chỉ khi 1 1 2 5 2 a b a b a b b a ( ; ) (2;1) a b hoặc ( ; ) (1;2) a b Ví dụ 6. Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2( ) 1 x y xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 1 x y P xy Bài giải Đặt t=xy từ giả thiết suy ra 1 1 4 1 5 3 xy xy xy . Vậy 1 1 ; 5 3 t . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và y ta được 2 2 2 x y xy Biến đổi và biểu diễn theo biến t ta được: 2 7 2 1 8 4 t t P t . Xét hàm số 2 7 2 1 ( ) 8 4 t t f t t , 1 1 ; 5 3 t ; ta có 2 2 56 56 '( ) (8 4) t t f t t ; 0 '( ) 0 1 t f t t Bảng biến thiên Vậy 1 1 ; 5 3 1 Max ( ) (0) 4 f t f và 1 1 ; 5 3 1 1 2 Min ( ) 5 3 15 f t f f Từ đó kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nho nhất của P. . Ta biến đổi biểu thức P như sau 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 3 3 3( ) 2( ) 1 ( ) ( ) 2( ) 1 2 2 P x y x y x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3( ) ( ) 2( ) 1 2 4 x. do 2 2 2 4 4 ( ) 2 x y x y ) Hay 2 2 2 2 2 9 ( ) 2( ) 1 4 P x y x y . Vì 2 2 2 ( ) 2 x y x y ( do 1 x y ) nên 2 2 1 2 x y . Đặt 2 2 t x y . Xét hàm. giải Ta có : 2 2 2( )( ) 3 = 2( ) (2 ) 3 P x y x xy y xy x y xy xy Vì 2 ( ) 2 2 x y xy , đặt t x y , ta có 2 2 3 2 2 2 3 ( ) 2 (2 ) 3 6 3 2 2 2 t t P t t t t