http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân Bài giảng số 7: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM  Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ), ( ; ) A A B B A x y B x y được cho bởi công thức:     2 B A B A AB x x y y     Khoảng cách từ điểm 0 0 ( ; ) M x y đến đường thẳng : 0 ax by c     được cho bởi công thức 0 0 2 2 ( , ) ax by c d M a b       Định lý viet của phương trình bậc hai. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2 3 2 y x x    (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) 3 2 y x   sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất. Lời giải Ta có 2 0 ' 3 6 0 2 x y x x x          . Với 0 2 x y    và 2 2 x y     . Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là (0, 2) A và (2, 2) B  Ta viết đường thẳng 3 2 y x   thành dạng: 3 2 0 (*) x y    . Thay tọa độ A, B vào vế trái của (*) ta thu được hai giá trị trái dấu, vì vậy điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng. Vậy vị trí của điểm M trên (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất là M là giao điểm của (d) với đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng: 0 2 2 2 0 2 0 2 2 x y x y           Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình sau: 4 3 2 0 5 2 2 0 3 5 x x y x y y                    . Vậy tọa độ điểm M cần tìm là 4 3 ( ; ) 5 5 M . Ví dụ 2: Cho hàm số 2x 3 y (C) x 2    Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân Lời giải: Gọi 0 0 ( , ) M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm 0 0 ( , ) M x y có dạng: 0 0 2 0 0 2 3 1 2 2        ( ) ( ) x y x x x x (d) Giao điểm A của tiếp tuyến (d) với tiệm cận đứng 2  x là nghiệm của hệ: 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 22 3 2 2 1 2 2 2 2                         ( ; ) ( ) ( ) x x x Ax x y x x y x x x x Tọa độ điểm B của tiếp tuyến (d) với tiệm cận ngang 2  y là nghiệm của hệ: 0 00 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2                        ( ; ) ( ) ( ) y x x B xx y x x y x x Vậy khoảng cách giữa A và B là       2 2 2 0 0 0 2 0 0 2 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 2                    x AB x x x x Theo bất đẳng thức cauchy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 02 4 0 0 2 0 0 3 1 2 2 1 1 2              ( ) ( ) ( ) x x x x x Vậy tiếp tuyến cần lập thỏa mãn điều kiện có dạng   y x và 6    y x . Ví dụ 3: Cho hàm số . 2 4 1 x y x    (C) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1). Lời giải: Phương trình đường thẳng đi qua M và N: 3 0 2 3 0 2 1 x y x y         . Gọi , A B là hai điểm đối xứng nhau qua đoạn thẳng MN. Khi đó phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng 2 0 2 ( ) x y c y x c d       Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) có dạng http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân 2 2 4 2 1 2 4 0 (3) x x c x x cx c          Gọi 1 1 2 2 ( ; 2 ), ( ; 2 ) A x x c B x x c   , với 1 2 , x x là nghiệm của phương trình (3). Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ là 1 2 1 2 2 2 2 ( ; ) ( ; ) 2 2 4 2 x x x x c c c I      (theo viet). Vì A, B đối xứng nhau qua (MN) nên ta có ( ) 2 3 0 4 2 4 c c I MN c          Thay c = -4 vào (3), ta có 2 0 2 4 0 2 x x x x         . Với x = 0 thì y = - 4, còn với x = 2 thì y= 0. Vậy có điểm A(0; - 4), B(2; 0) thuộc đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán. Ví dụ 4: Tìm trên đồ thị hàm sô (H): 1 1 x y x    hai điểm thuộc hai nhánh sao cho khoảng cách giữa 2 điểm là nhỏ nhất. Lời giải Gọi điểm 2 2 (1 ; ); (1 ; ) a b A a B b a b      (a, b > 0) là hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị khi đó ta có       2 2 2 2 2 1 1 64 1 1 4 4 16. ( ) AB a b a b vi a b a b a b a b                   Vậy AB min khi và chỉ khi     2 2 64 2. a b a b a b a b             Vậy tọa độ điểm A và B là (1 2;1 2); (1 2;1 2) A B    Nhận xét: Hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị có nghĩa là hai điểm nằm về hai phía tiệm cận đứng x = 1, vì vậy có một điểm hoành độ là 1 + a và một điểm hoành độ 1 –b (a, b > 0). Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 2 ( 3) 4 ( ) m y x mx m x C      http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân Cho đường thẳng (d) có phương trình 4 y x   và điểm K(1; 3). Tìm m để (d) cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của   m C và (d) là: 3 2 3 2 2 ( 3) 4 4 2 ( 2) 0 x mx m x x x mx m x            2 0 2 2 0( ) x x mx m           (d) cắt   m C tại 3 điểm phân biệt  phương trình    có 2 nghiệm phân biệt 0  Điều kiện 2 2 ' 0 2 2 0 1 2 0 1 0 0 m m m m m m m m m                                   Gọi ( ; 4); ( ; 4) B B C C B x x C x x   với B x , C x là nghiệm của phương trình    Theo định lý Viet ta có: 2 . 2 B C B C x x m x x m         Ta có:   2 2 2( ) 2 4 . B C B C B C BC x x x x x x          2 2(4 4 8) m m    Mặt khác 1 ( ; ). 2 1 2 8 2 . 16 2 2 KBC S d K d BC BC BC       Vậy 2 2 2(4 4 8) 16 8 8 16 256 m m m m       2 8 8 272 0 m m     1 137 2 m    C. BÀI TẬP TỰ GIẢI http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân Bài 1: Cho đồ thị hàm số 1 ( ) m y mx C x   Tìm m để đồ thị hàm số ( ) m C có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( ) m C đến tiệm cận xiên của ( ) m C bằng 1 2 . Bài 2: Cho hàm số 2 4 1 x y x    (1), có đồ thị (C) Chứng minh rằng đường thẳng ( ): 2 d y x m   luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Xác định m để đoạn AB ngắn nhất Bài 3: Cho hàm số 1 12    x x y (C) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) đến tiếp tuyến tại M là lớn nhất. Bài 4: Cho hàm số 2 4 1 x y x    . (C ) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và 3 10 MN  . Bài 5: Tìm m để hai điểm cực trị của hàm số 3 2 3 3(2 1) 1 y x mx m x      nằm về hai phía của đường thẳng d: x – y = 0 Bài 6: Cho hàm số 1 2 2    x x y (C). Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2). Bài 7: Cho hàm số 1   x y x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất Bài 8: Cho hàm số 3 2 3 3 4 y x mx m    (m là tham số) có đồ thị là (C m ) Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Bài 9: Cho đường cong (C): 4 2 2 3 2 1     y x x x và đường thẳng (d): y = 2x – 1. a. CMR (d) không cắt (C). b. Tìm trên (C) điểm A có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất. http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân Bài 10: Tìm trên đồ thị hàm sô (H): 2 3 2 2 1 x x y x     hai điểm thuộc hai nhánh sao cho khoảng cách giữa 2 điểm là nhỏ nhất. Bài 11: Cho (Cm): 2 2 3 ( 1) 4 mx m x m m y x m       Tìm trên (Cm) điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận (Cm) nhỏ nhất. Bài 12: Tìm khoảng cách giữa các đồ thị sau: a) : 2 5 y x    và (P): 2 1 y x   . b) : 1 y x    và (P): 2 5 y x x    . c) : 3 y x    và (P): 2 1 y x x    . Bài 13: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : 3x 4 y x 2    . Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận . Bài 14: Cho hàm số 2 1 1 x y x    (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Bài 15: Cho hàm số 2 2 1 x y x    (C) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 . . http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân Bài giảng số 7: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM  Khoảng. hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân Bài 1: Cho đồ thị hàm số 1 ( ) m y mx C x   Tìm m để đồ thị hàm số (. độ 1 –b (a, b > 0). Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 2 ( 3) 4 ( ) m y x mx m x C      http://baigiangtoanhoc.com Câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com