http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 01: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức tính đạo hàm 1 1) ( )' x x      2) ' 2 1 1 x x         3)   1 ' 2 x x    1 1 4). ' ( , 1) n n n x n N n n x      5).(sin )' cos x x  6).(cos )' sin x x   2 1 7).(tan )' cos x x  8) 2 1 (cot )' sin x x   9) ( )' x x e e  10) ( )' ln ,(0 1) x x a a a a      1 11). ln ' x x    1 12. log ' ln a x x a  2. Công thức tính đạo hàm của hàm hợp 1)   1 ' ' u u u      2) 2 1 ' ' u u u         3)   ' ' 2 u u u  4)   sin ' ' os u u c u  5)   cos ' 'sin u u u   6   2 2 ' tan ' '(1 tan ) cos u u u u u    7)   2 2 ' cot ' '(1 cot ) sin u u u u u    8)   ' ' u u e u e  9)   ' ' ln u u a u a a  10)   ' ln ' u u u  11)   ' log ' ln a u u u a  3. Vi phân Cho hàm số   . y f x  Vi phân của hàm số   , y f x  kí hiệu là , dy và được xác định bởi công thức ' . dy y dx  4. Công thức tính vi phân a) ' u dx du  b) 2 (2 1) ( ) x dx d x x    c)   2 dx d x x  d) cos (sin ) xdx d x  e) ln x x a a dx d a              g) ax ax 1 ( ) b b e dx d e a    h) sin ( os ) xdx d c x  i)   2 cot sin dx d x x  k)   ln dx d x x  l)   2 tan os dx d x c x  n) 1 sin(ax ) ( os(ax )) b dx d c b a     5. Công thức tính nguyên hàm http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Cho hàm số   . y f x  Nguyên hàm của hàm số   , y f x  ký hiệu là   , f x dx  và được xác định như sau ( ) ( ) , f x dx F x C    trong đó   ( ) ' ( ). F x f x  a) dx x C    b) 1 1 x x dx C         c) x x e dx e C    d) sin cos xdx x C     e) cos sin xdx x C    g) 2 tan cos dx x C x    h) 2 cot sin dx x C x     i) 1 ln dx x C x    k) 1 2 dx x C x    l) ,0 1 ln x x a a dx C a a      m) 1 sin(ax ) os(ax ) b dx c b C a       n) 1 os(ax ) sin(ax ) c b dx b C a      o) 1 ln ax ax dx b C b a      p) ax 1 ax b b e dx e a     q) 3 1 2 (ax ) 3 ax dx b C a b       Nếu ( ) ( ) f x dx F x C    và   u u x  thì ( ) ( ) . f u du F u C    6. Các công thức tính nguyên hàm của các hàm số hợp a) du u C    b) 1 1 u u du C         c) u u e du e C    d) sin cos udu u C    e) os sin c udu u C    f) 2 tan os du u C c u    g) 2 cot sin du u C u    h) ln du u C u    i) 2 du u C u    j) ln u u a du a a C    k) 1 sin(au ) os( ) b du c au b C a      m) 1 os(au ) sin( ) c b du au b C a      n) 1 ln du au b C au b a      o) 1 au b au b e du e C a      p)   3 1 2 3 du au b C a au b      7. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì a.     ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx F x G x C              b. Với mọi số thực 0: a  a.f( ) ( ) a.F( ) x dx a f x dx x C      http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm vi phân Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số a) 2 cos 1 x y x   2 cos ' 1 x dy dx x          2 2 2 ( 1)sin 2 cos ( 1) x x x x dx x     b) ln tan 4 x y        tan ' 4 tan 4 x dy dx x         1 2sin / 2 dx x   c) 1 cos 2 x y    dx xcos xsin 2ln2dy 2 xcos 1  Dang 2: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và các tính chất cơ bản của nguyên hàm Phương pháp: Sử dụng:  Bảng các nguyên hàm  Các tính chất của nguyên hàm  Các phép biến đổi đại số Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm a. I = 2 3 1 3 x x e dx x           b. I = 2 1 sin 2 os3 cos x c x dx x          c. I = 2 1 x dx x   d. I =   2 4 2 4x dx x   Bài giải: a. I = 2 3 1 2 3 1 3 3 x x x e dx x dx dx e dx x x                  = 3 3 1 1 1 3ln 3 3 x x x e C     b. I = 2 2 1 1 sin 2 os3 sin 2 cos3 cos cos x c x dx xdx xdx dx x x                = 1 1 cos2 sin3 tanx 2 3 x x C     c. I = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ln x dx dx dx dx x C x x x x x x                   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà d. I =   2 4 8 4 6 2 2 2 2 4 8 16 16 8 x x x dx dx x dx x dx dx x x x             = 7 3 1 8 16ln 7 3 x x x C    Nhận xét: Trong ví dụ trên, chúng ta thực hiện phép tách biểu thức ban đầu thành tổng một số hạng tử mà có thể xác định được nguyên hàm của chúng. Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau: a. I =   3 4 2 4 x x x dx    b.   2 1x I dx x    c. 3 1 x I dx x    d. 20 (2 1) I x dx    e. 1 2 2 (1 ) I x x dx    Bài giải: a. I =   3 4 2 4 x x x dx    11 1 32 4 ( 2 4 ) x x x dx     = 43 5 32 4 2 3 16 3 2 5 x x x C     b. I =     2 1 2 1x x x dx dx x x        1 1 1 2. dx x x          = 4 ln x x x C    c. I = 2 1 5 2 3 3 3 3 3 1 3 3 5 2 x dx x x dx x x C x                d. I = 21 21 20 20 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1) 2 2 21 42 x x x dx x d x C            e. I =     1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 (1 ) (1 ) ( 1) . 1 1 2 2 3 3 x x dx x d x x x           + C Nhận xét:Trong ví dụ trên chúng ta đã sử dụng kết quả: m mn n x x  ;   1 ' 2 x x  ; 1 m n mn x x   Ví dụ 4: a) Chứng minh công thức 2 2 1 dx ln x x k C x k       bằng cách tính đạo hàm của hàm số |kxx|lny 2  . b) Áp dụng công thức câu a) tính 1 2 2 2 1 dx I dx, I . x 9 x 5       http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bài giải: a. Ta có: |kxx|lny 2      2 2 2 2 2 2 2 2 1 ' 1 ' x x x k x x k x k y x x k x x k x k x x k x k                     2 2 1 ln dx x x k C x k       b. Áp dụng câu a) ta có: 2 1 2 1 ln 9 9 I dx x x C x        I 2 = 2 2 ln 5 5 dx x x C x       Ví dụ 5: a) Tìm hai số A, B sao cho 5x B 1x A )5x)(1x( 1      . Từ đó tính   dx )5x)(1x( 1 . b) Tương tự câu a, hãy tính   dx 9x 1 2 . Từ đó suy ra công thức tính   dx ax 1 22 c) Tìm A, B sao cho 2 2 3 2 1 1 2 1 x A B x x x x        và tính nguyên hàm 2 2 3 2 1 x dx x x     Bài giải: a. Ta có: 1 ( ) 5 ( 1)( 5) 1 5 ( 1)( 5) A B A B x A B x x x x x x             1 ( ) 5 , . A B x A B x R        Đồng nhất hệ số ta có: 1 0 4 5 1 1 4 A A B A B B                    1 1 1 1 ( 5) ( 1) ( 1)( 5) 4( 1) 4( 5) 4 5 1 d x d x dx dx x x x x x x                                 1 1 5 ln 5 ln 1 ln 4 4 1 x x x C C x          b. Áp dụng câu a) I =   dx 9x 1 2 1 1 1 ( 3)( 3) 6( 3) 6( 3) dx dx dx x x x x           http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà   1 1 3 ln 3 ln 3 ln 6 6 3 x x x C C x          c. Ta có:    2 2 3 ( 2 ) 2 1 2 1 1 2 1 1 x A B A B x A B x x x x x x              Đồng nhất hệ số ta có: 5 2 2 3 3 4 3 B A B A B A                    Khi đó: 2 2 3 4 5 2 1 3 2 1 3 1 x dx dx dx x x x x            5 ( 1) 2 (2 1) 5 2 ln 1 ln 2 1 3 1 3 2 1 3 3 d x d x x x C x x              Ví dụ 5: Tính các nguyên hàm sau: a)    dx)e1(e xx b)  xdxtan c)  xdx5cosx3sin d)  xdxsine xcos3 e)  xdx3cosx4cos f)  xdxsin 3 Bài giải: a. I =    dx)e1(e xx   1 x x e dx e x C       b. I =  xdxtan sin (cos ) ln cos cos cos x d x dx x C x x         c. I =  xdx5cosx3sin   1 1 1 1 sin8 sin2 . sin8 (8 ) sin2 (2 ) 2 2 8 2 x x dx xd x xd x              = 1 1 cos8 cos2 16 4 x x C    d. I =  xdxsine xcos3 3cos 3cos 1 1 (3cos ) 3 3 x x e d x e C       e. I =  xdx3cosx4cos     1 1 cos7 cos cos7 cos 2 2 x x dx xdx xdx       = 1 1 sin 7 sin 14 2 x x C   f. I =  xdxsin 3 3sin sin3 3 1 sin sin3 4 4 4 x x dx xdx xdx        = 3 1 cos cos3 4 12 x x C    Dạng 3: Nguyên hàm của hai hàm số có dạng đặc biệt Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bước 1: Tìm hàm số g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số ( ) ( ) f x g x  tức là: 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x G x A x C F x G x B x C          (I) Bước 3: Từ hệ (I) ta nhận được   1 ( ) ( ) ( ) 2 F x A x B x C    là họ nguyên hàm của hàm số f(x) Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin ( ) sin cos x f x x x   Bài giải: Chọn hàm số phụ cos ( ) sin cos x g x x x   Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x) và g(x) Ta có: f(x) + g(x) = sin cos sin cos x x x x   1 sin cos (sin cos ) ( ) ( ) ln sin cos sin cos sin cos x x d x x F x G x dx x x C x x x x              (1) f(x) - g(x) = sin cos 1 sin cos x x x x    2 ( ) ( ) F x G x dx x C       (2) Từ (1) và (2) ta được hệ   1 2 ( ) ( ) ln sin cos 1 ( ) ln sin cos 2 ( ) ( ) F x G x x x C F x x x x C F x G x x C                  Bài toán 1: Nguyên hàm của hàm số dạng Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét hàm số ( ) ( ) x F x f x e  , nhận xét rằng:   '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) x x x F x f x e f x e f x f x e     Bước 2: Vậy ( ) ( ) x F x f x e  + C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho Lưu ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các hàm số sau 1) Hàm số   '( ) ( ) x f x f x e  có họ nguyên hàm là ( ) ( ) x F x f x e C    2) Hàm số   '( ) ( ) ax b f x af x e   có họ nguyên hàm là ( ) ( ) ax b F x f x e C    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 3) Hàm số   ( ) '( ) ' ( ) x f x x f x e        có họ nguyên hàm là ( ) ( ) ( ) x F x f x e C    Ví dụ 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a.     2 3 2 x f x x x e    b.   2 os 4 x f x c x e           Bài giải: a. Ta có:           2 2 2 2 1 1 1 ' 1 x x f x x x x e x x x x e                    Xét hàm số:   2 ( ) 1 x F x x x e    Ta thấy F’(x) =       2 2 2 1 1 3 2 ( ) x x x x e x x e x x e f x         Vậy   2 ( ) 1 x F x x x e    + C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho b. Ta có       cos sin cos 1 sin x x f x x x e x x e            Xét hàm số F(x) = sin x x e  Ta thấy:   '( ) cos sin cos sin 2 os ( ) 4 x x x x F x e x e x x x e c x e f x                   Vậy F(x) = sin x x e  + C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho Bài toán 2: Nguyên hàm của hàm số dạng u’v + v’u Phương pháp:Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét hàm số F(x) = uv. Nhận xét rằng F’(x) = u’v + v’u Bước 2: Vậy F(x) = uv + C là họ nguyên hàm của hàm số Ví dụ 8: Xác định họ nguyên hàm của hàm số 8 3 ( ) 2 4 x f x x    Bài giải: Ta có:     2 4 1 ( ) 4 . ' 4 4 '. 2 4 2 4 x x f x x x x x x x x x              Xét hàm số: ( ) . 4 F x x x   . Ta thấy F’(x) = 1 8 3 . 4 ( ) 2 4 2 4 x x x f x x x         Vậy ( ) . 4 F x x x   + C là họ nguyên hàm của hàm số đã cho Dạng 4: Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Tính các nguyên hàm sau đây http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a)   dx)5x4x3x2( 23 b)   dx) x 1 x3x( 3 c)   dx)2x3( 17 d)   dx x )x2xx3x( 2 1 3 1 4 3 e)   dx)xa2( x g)  xdxcosxsin 4 h)    dx)x22ee( xxx i)  x xdxln k)  xsinxcos dx 22 ĐS: 4 3 2 ) 2 5 2 x a x x x    + C b) C|x|lnx 2 3 4 x 2 4  c) C 18 )2x3( 3 1 18   d) Cx2x2x9x 3 4 2 1 3 1 4 3  e) Cx 3 2 a ln a 2 2 3 x  , g) Cxsin 5 1 5  h) Cxx 3 4 2 ln 2 ee x xx   2 ln ) 2 x i C  k) Cxcotxtan   Bài 2: a) Chứng minh công thức dx x ln tan C cosx 2 4            bằng cách tínhđạo hàm của hàm số x y ln tan C 2 4           b) Áp dụng công thức câu a) hãy chứng minh rằng dx x ln cot C sin x 2     Bài 3: Tính các nguyên hàm sau đây a)   dx) x 1 x 1 ( 3 b)   dx)1xx)(1x( c)   dx5xx 32 d)   dx) x 4 x 2 x 1 x( 3 3 e)     dx1x 2 3 f)   dx ax x 2 ĐS: 23 3 )2 2 a x x C   5 2 ) 5 b x x C   c) 5x)5x( 9 2 33  d) Cx6x4|x|ln 4 x 3 2 4  , e) Cx 4 x 7 x 47  , f) C|ax|ln 2 1 2  Bài 4: Tính các nguyên hàm sau đây a)  xdxcot b)   dx)32( xx c)   dx)baxcos( với 0a     dx) x cos e 2(e 2 x x e) dx x sin x cos xsinxcos    f)   dx 1e e x x http://baigiangtoanhoc.com Khóa học tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà g)   dx x )3xln2( 3 i)  xdxsin 2 j)  xdxsin 4 ĐS: a) ln|sinx| + C 2 3 ) ln2 ln3 x x b C   c) C)baxsin( a 1  )2 t anx x d e C   )ln cos sin e x x C   f) ln(1 + e x ) + C g) C)3xln2( 8 1 4  i) 1 1 sin 2 2 4 x C   3 1 1 ) sin2 sin 4 8 4 32 j x x x C    Bài 5:Tính các nguyên hàm sau đây a) 2 (x 2x 6) dx (x 1)(x 2)(x 4)       b) 2 3 (x 1)dx (x 1) (x 3)     c) 2 3 (x x 1) dx x 3x 2      ĐS: a) 3ln | x 1| 7ln | x 2| 5ln | x 4| C       , b) 3 2 1 3 5 5 f(x) 2(x 1) 8(x 1) 32(x 1) 32(x 3)         c) 1 2 1 ln | x 1| ln | x 2| C x 1 3 3        Bài 6: Tìm họ các nguyên hàm sau: a.   2 2 1 ( ) 1 x x x e f x x     b.     2 1 x x e f x x   c. 2 ( ) 2sin .sin 2 f x x x  ĐS: a. HD:     2 2 2 1 ' 1 ( ) 1. x x f x x x e F x x e              + C b. HD:   1 1 ' ( ) x x e f x e F x x x x                 + C c. HD: Chọn hàm số phụ 2 ( ) 2cos .sin2 g x x x  1 1 ( ) cos2 cos4 2 4 F x x x C            . 2: Tìm nguyên hàm sử dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp và các tính chất cơ bản của nguyên hàm Phương pháp: Sử dụng:  Bảng các nguyên hàm  Các tính chất của nguyên hàm . 2 3 du au b C a au b      7. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) thì a.     ( ) ( ) ( ).   là họ nguyên hàm của hàm số f(x) Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sin ( ) sin cos x f x x x   Bài giải: Chọn hàm số phụ cos ( ) sin cos x g x x x   Gọi F(x) và G(x) theo