http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài giảng số 5. GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai đồ thị hàm số     : C y f x  và     ' : . C y g x  Hai đồ thị   C và   ' C cắt nhau tại điểm       0 0 0 0 0 0 , y f x M x y y g x         tức là   0 0 ; x y là một nghiệm của hệ phương trình     y f x y g x        . Như vậy hoành độ giao điểm của   C và   ' C là nghiệm của phương trình       1 f x g x Số nghiệm của phương trình   1 bằng số giao điểm của   C và   ' C . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho hàm số 1 . 1 x y x    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   C của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 (1) 1 x m x    Lời giải: a. Hàm số 1 1 x y x    có tập xác định   \ 1 . D R Giới hạn: 1 1 1 1 1 lim 1; lim ; lim . 1 1 1 x x x x x x x x x                 Đạo hàm:   2 2 ' 0, 1 1 y x x        Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1  và   1; .  Hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1; x  tiệm cận ngang 1. y  Giao của hai tiệm cận   1;1 I là tâm đối xứng. Đồ thị b. Đồ thị hàm số 1 1 x y x    được vẽ từ đồ thị hàm số 1 1 x y x    theo quy tắc giữ nguyên phần đồ thị của hàm số 1 1 x y x    ứng với 0 x  , phần đồ thị của hàm số ứng với 0 x  lấy đối xứng qua trục tung. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị 1 1 x y x    và đường thẳng . y m  Dựa vào đồ thị ta có  Với 1; 1: m m    phương trình (1) có 2 nghiệm.  Với 1: m   phương trình (1) có 1 nghiệm.  Với 1 1: m    phương trình (1) vô nghiệm. x   1   ' y   y 1     1 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Ví dụ 2: Cho hàm số       3 2 3 1 3 4 8 . m y x m x m x C      Tìm m để   m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân. Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử   m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , , x x x lập thành một cấp số nhân. Khi đó phương trình:     3 2 3 1 3 4 8 0 x m x m x       (2) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 , , x x x .           3 2 1 2 3 3 1 3 4 8 x m x m x x x x x x x                   3 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 1 3 4 8 x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x               1 2 3 8 x x x   . Vì 1 2 3 , , x x x lập thành một cấp số nhân nên 2 3 2 1 3 2 2 8 2. x x x x x      Thay 2 x  vào phương trình     3 2 3 1 3 4 8 0 x m x m x       ta được 4 2 0 2. m m     Điều kiện đủ: Với 2 m  thay vào phương trình (2) ta được:       3 2 1 2 3 7 14 8 0 1 2 4 0 1; 2; 4 x x x x x x x x x              lập thành một cấp số nhân. Vậy 2 m  là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1 2    x y x có đồ thị   C . Chứng minh đường thẳng   : d y x m    luôn cắt đồ thị   C tại hai điểm phân biệt , A B . Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất. Lời giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị   C và đường thẳng   d là nghiệm của phương trình     2 2 2 1 4 1 2 0 3 2 x x x m x m x mx                  Do phương trình   1 có 2 1 0 m     và      2 2 4 2 1 2 3 0, m m m           nên đường thẳng   d luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt , A B . Ta có     2 2 2 2 ; 2 12 A A B B A B A B y m x y m x AB x x y y m            AB ngắn nhất 2 AB  nhỏ nhất 0 12. m AB    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng   : 1 d y mx   cắt   2 1 : 2 x x C y x     tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị   . C Lời giải: Hoành độ giao điểm của đường thẳng   d và đồ thị   C là nghiệm của phương trình         2 2 1 1 1 2 1 1 0 4 2 x x mx g x m x m x x             Do   C có tiệm cận đứng là 2 x   nên   d cắt   C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của   C khi và chỉ khi phương trình   4 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn          1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ' 1 0 1 0 2 2 2 2 0 2 4 0 m m m m x x x x x x x x x x                                      1 0 1 0 0 1 1 0 2.2 4 0 1 m m m m m m m                         Vậy với 0 m  thì   d cắt   C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng ( 3) y m x   cắt đồ thị hàm số 2 1 x y x    tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải: Số giao điểm của hai đồ thị hàm số 2 1 x y x    và ( 3) y m x   là số nghiệm của phương trình hoành đồ giao điểm: 2 2 ( 3) (4 1) 3 2 0 (5) 1 x m x mx m x m x           Để đường thẳng ( 3) y m x   cắt đồ thị hàm số 2 1 x y x    tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình   5 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1. Nếu m = 0, thì phương trình có nghiệm x = 2. Vậy m = 0 không thỏa mãn Nếu 0 m  , ta có các trường hợp sau: TH1: Phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 1 x x        2 1 2 1 2 1 2 0 4 1 0 3 2 4 1 1 0 0 1 1 0 1 0 m m m m x x m m x x x x                                http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần TH2: Phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 2 1 x x            2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 4 1 0 4 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 4 1 2 0 2 0 1 1 0 m m m m m x x x x x x m m x x x x m                                                Vậy 0 m  thỏa mãn bài toán. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số 3 2 . y x mx x m     . Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Đáp số:   0; 3 m   Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 2 y x x    có đồ thị   . C Gọi d là đường thẳng đi qua   1; 2 A   và có hệ số góc k. a. Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N. Đáp số:     2 1 4 4 0 x x x k        2 x 1 0 k 9 g x x 4x 4 k 0               b. Với điều kiện câu a, hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi. Đáp số: : 2, 2 25. x y      Bài 3: Cho hàm số 3 2 6 9 . y x x x    Tìm m để đường thẳng : d y mx  (C) tại ba điểm phân biệt , , . O A B Chứng minh rằng khi m thay đổi, trung điểm I của AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục Oy. Bài 4: Cho hàm số 3 1 3 3 y x x    có đồ thị (C) và đường thẳng : ( 3) d y m x   và   3;0 . A Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm A, B, C. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng BC. Đáp số: 3 6 , 4 m   3 9 ( ) : , 36 2 2 x y       Bài 5: Cho đường cong         3 2 2 2 2 1 4 1 2 1 . m y x m x m m x m C        Tìm m để   m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Đáp số: 3 17 3 17 2 17 m m            http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài 6: Cho đường cong   3 2 3 3 3 . m y x x mx m C    Tìm m để   m C cắt đường thẳng   : 3 1 d y x    tại ba điểm phân biệt 1 2 3 , , x x x sao cho 1 2 3 1 2 . x x x     Đáp số: 1. m  Bài 7: Cho đường cong   3 2 3 3 3 2 . m y x mx x m C      Tìm m để   m C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , , x x x sao cho 2 2 2 1 2 3 15. x x x    Đáp số: 1. m   Bài 8: Tìm m để hàm số 4 2 2 2 1 y x mx m      cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng ứng với mỗi m tìm được. Đáp số: 1 5 1, 5, . 2 9     m m m Bài 9: Cho đường cong     4 2 3 2 3 . m y x m x m C     Tìm m để đường thẳng 1 y   cắt   m C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số: 1 1 3 0. m m              Bài 10: Cho hàm số 4 2 1 3 4 2 y x mx    có đồ thị   . m C a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị   m C có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của tam giác vuông cân. b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị   m C cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 3 4 20. x x x x    Bài 11: Cho đường cong     4 2 3 2 3 . m y x m x m C     Tìm m để đường thẳng 1 y   cắt   m C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số: 1 1; 0. 3 m m     Bài 12: Cho hàm số 3 1 x y x    có đồ thị (C). a. Chứng minh rằng đường thẳng : 2 d y x m   luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN. Đáp số: quỹ tích I là đường thẳng 2 1. y x    b. Xác định m để đoạn MN ngắn nhất. Đáp số: min 2 5 3. MN m    Bài 13: Cho hàm số 2 2 1 x y x    Tìm m để đường thẳng   : 2 d y x m   cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 5. AB  Đáp số: 10; 2 m m    http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài 14: Cho hàm số 2 4 . 1 x y x    Gọi   d là đường thẳng đi qua   1;1 A có hệ số góc . k Tìm k sao cho đường thẳng   d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm , M N và 3 10. MN  Đáp số: 3 41 3; 16 k k      Bài 15: Cho hàm số 2 . 1 mx x m y x     Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. Đáp số: 1 0. 2 m    Bài 16: Tìm m để đường thẳng   : 2 d y mx m   cắt đồ thị   2 2 3 : 2 x x C y x    tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị   . C Đáp số: 1. m  Bài 17: Tìm m để đường thẳng   : 2 d y x m   cắt đồ thị hàm số   3 : 3 1 C y x x      tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. Đáp số: 0. m  . nguyên phần đồ thị của hàm số 1 1 x y x    ứng với 0 x  , phần đồ thị của hàm số ứng với 0 x  lấy đối xứng qua trục tung. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị 1 1 x y x    . Các bài toán hàm số ôn thi đại học Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Quách Thị Nhuần Bài giảng số 5. GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ. cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải: Số giao điểm của hai đồ thị hàm số 2 1 x y x    và ( 3) y m x   là số nghiệm của phương trình hoành đồ giao điểm: 2 2 ( 3)