http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 04: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Số phức dưới dạng lượng giác Acgumen của số phức 0 z  : Cho số phức 0 z  . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( radian ) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z Chú ý: 1. Nếu  là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng 2 , k k Z     2. Hai số phức z và l z ( 0 z  và l là số thực dương ) có cùng acgumen. Dạng lượng giác của số phức: Dạng   cos is z r in     , trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức 0 z  . Còn dạng   , z a bi a b R    được gọi là dạng đại số của số phức z Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác   cos is r in    của số phức   , z a bi a b R    khác 0 cho trước, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Tìm r: đó là môđun của z, 2 2 r a b   ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức Bước 2: Tìm  : đó là acgumen của z,  là số thực sao cho cos ,s a b in r r     ; số  đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM Chú ý: 1.   1 cos is z z in R         2. Khi z = 0 thì 0 z r   , nhưng acgumen của z không xác định ( đôi khi coi acgumen của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết   0 0 cos is in     ) 3. Cần để ý đồi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác   cos is r in    của số phức 0 z  2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu   cos is z r in     và   ' ' cos ' is ' z r in     với , ' 0 r r  thì:    ' ' cos( + ') is ( ') zz rr in             cos ' +isin ' ' ' z r z r            , r’ > 0 Chú ý: Nếu các điểm M. M’ biểu diễn theo thứ tự các số phức z, z’ khác 0 thì acgumen của ' z z là số đo lượng giác tia đầu OM’, tia cuối OM 3. Công thức Moivre và ứng dụng http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. Công thức Moivre: Với mọi số nguyên dương n, ta có:     r(cos is ) cosn isin n n in r n        Khi r = 1, ta được: (cos is ) cosn isin n in n        b. Ứng dụng vào lượng giác: Ta có: 3 (cos is ) cos3 isin3 in        Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta được:     2 3 3 2 3 (cos is ) cos 3cos sin 3cos isin sin in i              Từ đó, suy ra: 3 2 3 2 3 3 cos3 cos 3cos sin 4cos 3cos sin3 3cos sin sin 3sin 4sin                     c. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức   cos is z r in     , r > 0 có hai căn bậc hai là: cos sin 2 2 r i          và cos sin cos sin 2 2 2 2 r i r i                                     B. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Dạng 1: Agumen của số phức Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về acgumen của số phức Ví dụ: Tìm acgumen của số phức z, biết: a. z = - 1 + i b. cos is z in     c. sin icos z      Bài giải: a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta biến đổi: 2 2 3 3 1 2 2 cos sin 2 2 4 4 i i i                        3 4      acgumen của z bằng 3 2 , 4 k k Z     Cách 2: Ta có:   2 2 1 1 2 r     nên: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1 cos = 3 2 1 4 sin 2                 acgumen của -1 + i bằng 3 2 , 4 k k Z     b. Ta biến đổi: cos is z in     cos(- ) is ( ) in       acgumen của z bằng 2 , k k Z      c. Ta biến đổi: sin icos z      cos - - is 2 2 in                      acgumen của z bằng 2   2 , k k Z      Dạng 2: Dạng lượng giác của số phúc Phương pháp: Sử dụng kiến thức được trình bày trong nhận xét của phần 1 Tuy nhiên, trong thực tế để tìm dạng lượng giác của số phức z a bi   chúng ta sử dụng phép biến đổi:   2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 cos s a b z i i in a b a b a b a b                 Ví dụ 1: a. Giả sử số phức 0 z  có dạng lượng giác   cos is z r in     . Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức   1 ; ; ; z z kz k R z    b. Xét riêng trường hợp 1 3 z i   Bài giải: a. Ta lần lượt có:  Số phức z có môdun r và acgumen bằng   nên có dạng:   cos(- ) is ( ) cos is z r in r in           Số phức –z có môdun r và acgumen bằng    nên có dạng:     (cos( ) is ( ) cos isin z r in r                Số phức 1 1 . z z zz  có môdun 2 1 1 .r r r  và acgumen bằng  nên có dạng:   1 1 cos is in r z     http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà  Số phức kz có môdun kz k r  và acgumen bằng  (k > 0) và là    (k < 0) nên có dạng:       cos is , 0 cos sin , 0 kr in k kz kz i k                       b. Với 1 3 z i   , ta có: Môdun 1 3 2 r    Acgumen  thỏa mãn 1 3 cos = ,sin 2 2    chọn 3    2 cos is 3 3 z in            Lưu ý: Ta có thể sử dụng ngay phép biến đổi: 1 3 1 3 2 2 cos is 2 2 3 3 z i i in                       Ví dụ 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác a.   2 3 i i  b. 1 2 2 i  c. s cos z in i     Bài giải: a. Ta có:   1 3 2 3 2 2 3 4 4 cos is 2 2 3 3 i i i i in                        b. Ta có:   1 2 2 1 2 2 2 2 1 cos sin 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 i i i i i                                        c. Ta có: s cos cos sin 2 2 z in i i                         Ví dụ 3: Cho số phức 4 4 3(cos sin ) 3 3 z i     . Tìm số phức x sao cho x 3 = z. Bài giải: Đặt (cos isin ) x r     khi đó ta có 3 3 4 4 (cos3 sin3 ) 3(cos sin ) 3 3 x z r i i          3 3 3 3 4 4 2 3 2 ( 0;1;2) 3 9 3 r r k k k                          http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 3 4 4 ) 0 3(cos sin ) 9 9 k x i        3 10 10 ) 1 3(cos sin ) 9 9 k x i        3 16 16 ) 1 3(cos sin ) 9 9 k x i        Dạng 3: Các ứng dụng Ví dụ 1: Tính sin 4  và cos4  theo các lũy thừa của s in  và cos  Bài giải: Ta có: 4 (cos is ) cos4 isin 4 in        Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc bốn ta được:     2 4 4 3 2 3 4 (cos is ) cos 4cos sin 6cos isin 4cos ( sin ) sin in i i                 Từ đó, suy ra: 4 2 2 4 3 3 cos4 cos 6cos sin sin sin 4 4cos sin 4 os sinc                Ví dụ 2: Tính a.   6 3 i  b. 2004 1 i i        c. 21 5 3 3 1 2 3 i i           Bài giải: a. 3 1 3 2 2 cos isin 2 2 6 6 i i                                          6 6 6 6 3 2 cos isin 2 cos sin 2 6 6 i i                                             b.   1 1 2 2 2 2 cos sin 1 2 2 2 2 2 2 4 4 i i i i i i i                            2004 2004 2004 1002 2 2 1 cos sin cos501 sin 501 1 2 4 4 2 2 i i i i                                       c.     5 3 3 1 2 3 5 3 3 1 3 1 3 2 13 2 2 1 2 3 i i i i i i                    = 2 cos sin 3 3 i                         http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà       21 21 21 21 5 3 3 2 cos sin 2 cos 7 sin 7 2 3 3 1 2 3 i i i i                                                     Ví dụ 3: a. Tìm phần thực, phần ảo của   2010 1 i b. Khai triển   2010 1 i theo nhị thức Newton c. Tính 2 4 2010 2010 2010 2010 2010 o C C C C     Bài giải: a. 2 2 1 2 2 cos sin 2 2 4 4 i i i                        2010 1005 1005 1005 1005 1005 1 2 cos sin 2 0 sin 2 2 2 i i i                      Phần thực: 0 Phần ảo: 1005 1005 2 sin 2  b.   2010 1 2 3 4 2010 2 3 4 2010 2010 2010 2010 2010 2010 1 o i i i i i C C C C C C         1 2 3 4 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 o i i C C C C C C            2 4 2010 1 3 5 2009 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 o i C C C C C C C C           c. So sánh phần thực và phần ảo của   2010 1 i , ta có: 2 4 2010 2010 2010 2010 2010 o C C C C     = 0 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm acgumen của mỗi số phức sau: a. 2 2 3 i   b. cos sin 4 4 i    c. sin cos 8 8 i     ĐS: a. 2 2 , 3 k k Z     b. 2 , 4 k k Z      c. 5 2 , 8 k k Z      Bài 2: Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức 1 ; ; ; z z z z  , biết: a. 1 z i   c. 3 z i   b. 1 z i   d. 1 3 z i   http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà ĐS: a. 2 cos is 4 4 z in           , 2 cos - is 4 4 z in          , 2 cos - is 4 4 z in            1 1 cos + is 4 4 2 in z          b. 2 cos is 6 6 z in           , 2 cos - is 6 6 z in          , 2 cos - is 6 6 z in            1 1 cos + is 2 6 6 in z          Bài 3: Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0 z iz    . Viết dạng lượng giác của z 1 và z 2 ĐS: 1 2 cos is 3 3 z in          2 2 2 2 cos is 3 3 z in          Bài 4: Viết các số sau dưới dạng lượng giác 3 ; i  1 3; i      3 1 3 ; i i  3 ; 1 3 i i   1 3 3 i i   ĐS: 2 cos is 6 6 z in                         , 5 5 2 cos is 6 6 z in           2 2 4 cos is 3 3 z in           ,     cos isz in           , cos is z in     Bài 5: Cho     6 2 6 2 z i    a. Viết z 2 dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác b. Từ câu a. hãy suy ra dạng lượng giác của z ĐS: a. 2 8 3 8 z i   , 2 16 cos is 6 6 z in           b. 4 cos is 12 12 z in           Bài 6: Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn   19 1 i  và công thức Moivre để tính 2 4 16 18 19 19 19 19 19 o C C C C C      ĐS: 16 2  Bài 7: Tính http://baigiangtoanhoc.com Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a.   6 3 i  b. 2000 1 i i        c. 3 5 3 3 1 2 3 i i           ĐS: a. 6 2  , b. 2000 1 2       c. 8 . Khóa học số phức ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 04: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A Dạng lượng giác của số phức: Dạng   cos is z r in     , trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức 0 z  . Còn dạng   , z a bi a b R    được gọi là dạng đại số của số. LÝ THUYẾT 1. Số phức dưới dạng lượng giác Acgumen của số phức 0 z  : Cho số phức 0 z  . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo ( radian ) của mỗi góc lượng giác tia đầu