Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học Hotline: 0987.708.400 – http://edufly.vn Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Bài giảng số 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b Tính chất 1: Hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b được gọi là: i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b   ii) Nghịch biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b   Tính chất 2: Hàm số ( )y f x trên khoảng ( ; )a b được gọi là: i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b   , và ( ) 0f x  tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; )a b ii) Nghịch biến nếu '( ) 0 ( ; )f x x a b   và ( ) 0f x  tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; )a b Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường dùng tính chất 2 để áp dụng. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( )y f x Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến. Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số   3 2 5y x x  Giải: Tập xác định: .D R Ta có 3 5 10 ' x y x   . Khi đó phương trình ' 0 2.y x   Bảng xét dấu X  0 2  y’ + || - 0 + Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và (2; )  Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2). Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 2 3 3sin cos 2 x y x x     trên khoảng 0( , ).  Giải Tập xác định: .D R Ta có ' 3cos sin 1y x x   , khi đó phương trình Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học Hotline: 0987.708.400 – http://edufly.vn Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com ' 0 sin 3cos 1 sin( ) sin 3 6 2 2 7 2 6 y x x x x k x k                         Trên khoảng 0( , ).  y’ = 0 có một nghiệm . 2 x   Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) 2   và nghịch biến trên khoảng (0; ) 2  . Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. Phương pháp 1: Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng ( )f x m Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m. Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 2 2 3 1 x x m y x     đồng biến với mọi x > 3. Giải: Tập xác định:   1\D R Khi đó, ta có   2 2 2 4 3 1 ' x x m y x      . Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì   2 2 2 2 2 4 3 0 3 2 4 3 0 3 1 2 4 3 3 ' , . . x x m y x x x m x x x x m x                      Xét hàm số 2 2 4 3( )f x x x   trên miền x > 3, ta có 4 4 0 3'( ) .f x x x     Vậy f(x) là hàm số đồng biến với 3x  suy ra 3 9( ) ( )f x f  , vậy để 2 2 4 3 3x x m x     thì 3 9( ) .m f  Phương pháp 2: Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học Hotline: 0987.708.400 – http://edufly.vn Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet Ví dụ 4: Tim m để hàm số 3 2 3 (4)   y x x mx m là nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. Giải: Tập xác định: .D R Ta có 2 3 6'y x x m   . Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng bằng 1 thì phương trình: 2 3 6 0x x m   (4’) phải có hai nghiệm 1 2 ,x x sao cho 2 1 1 (*)x x  Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là 0 9 3 0 3 ' .m m       Khi đó   2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1(*) ( )x x x x x x       . Áp dụng định lý viet, ta có: 4 9 1 6 3 . m m    So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)       y x a a x a a đồng biến trên [2:+ ) . Giải: Ta có 2 2 3 2 2 7 7' ( )y x ax a a     . Điều kiện để hàm số đồng biến trên  2;     là  2 2 3 2 2 7 7 0 2             ' ( ) (*) ;y x ax a a x Ta có 2 ' 7 21 21 0a a a      Gọi 1 2 2 1 , ( )x x x x là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là 1 2 ( ; ] [ ; )x x    . Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng  2     ; Thì 1 2 [2; ) ( ; ] [ ; )x x       nghĩa là 1 2 2x x  . Điều kiện là Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học Hotline: 0987.708.400 – http://edufly.vn Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com    1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 4 3 ( ) 2 2 0 2( ) 4 0 2 7 7 4 4 0 3 3 6 6 5 1 5 2 1 2 3 5 0 2 a x x x x theo viet x x x x x x a a a a a a a a a                                                           Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau:  Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.  f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b   f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b  Ví dụ 6: Chứng minh rằng 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x      Giải: Xét hàm số 3 ( ) tan , 3 x f x x x   ta có 2 2 2 2 1 '( ) 1 tan cos f x x x x x      Dễ thấy tan (0; ) 2 x x x     nên '( ) 0 (0; ) 2 f x x     Vậy hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng (0; ) 2  suy ra 3 ( ) (0) 0 tan (0; ) 3 3 x f x f x x x         Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 cos 2 , . 2 x x x e x x R      Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 cos 2 0, . 2 x x x e x x R       Xét hàm số 2 ( ) cos 2 ( ). 2 x x f x x e x x R       Ta có ' ( ) sin 1 x f x x e x     và '' ( ) cos 1 1 cos 0, x x f x x e x e x R          Trung tâm luyện thi EDUFLY Khóa học: Các bài toán về hàm số ôn thi đại học Hotline: 0987.708.400 – http://edufly.vn Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Vậy ' ( ) 0f x  có nghiệm duy nhất 0.x  Bảng biến thiên x  0  '( ) f x - 0 + ( ) f x Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: ( ) 0f x  với x R  . (đpcm). C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x     đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Bài 2: Xác định m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x      đồng biến trên khoảng (0; 3) Bài 3: Cho hàm số 4mx y x m    a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1) Bài 4: Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x      . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R. b. Tăng trên khoảng (2; ) Bài 5: Chứng minh rằng với mọi 2 0   x ta có xxx  tan 3 1 sin 3 2 . Hướng dẫn: Xét sự biến thiên của hàm số xxxxf  tan 3 1 sin 3 2 )( với        2 ;0  x . 0   . m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x      đồng biến trên khoảng (0; 3) Bài 3: Cho hàm số 4mx y x m    a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định b. Tìm m để hàm số tăng. c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1)  Bài 4: Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x      . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R. b. Tăng trên khoảng (2; ) Bài 5: Chứng minh rằng. Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và (2; )  Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2). Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 2 3 3sin cos 2 x y x x  