PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Các bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) có một vị trí xứng đáng trong chương trình dạy và học toán ở khối T.H.C.S. Các bài toán này rất phong phú về thể loại, về cánh giải. Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo. Có nghĩa đây thực sự là một bài toán khó. Vì vậy chúng thường xuyên có mặt trong các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 cũng như các kỳ thi học sinh giỏi. Để phần nào giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 9, chúng tôi xây dựng chuyên đề “Giải bài toán cực trị bằng phương pháp phương trình bậc hai”. Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số. Cụ thể là : * Thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị. * Củng cố, khắc sâu cách giải phương trình bậc hai. Việc thể hiện các nội dung trên được trình bày thông qua hệ thống ví dụ từ dễ đến khó. Cuối cùng là hệ thống bài tập để luyện giải. 2. Giới hạn của đề tài a, Về kiến thức Để giải bài toán tìn cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S có thể trình bày theo 1 trong các cách sau : T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan Cách 1 : Dùng bất đẳng thức đại số : * 1 ( ) ;f x K x≥ ∀ ∈ TXĐ ( K 1 = Const ) Dấu “ = “ Có thể thực hiện được  f min = K 1 . * 2 ( ) ;f x K x≤ ∀ ∈ TXĐ ( K 2 = Const ) Dấu “ = “ Có thể thực hiện được  f max = K 2 . Cách 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 Gọi y 0 là 1 giá trị của f(x) có thể đạt được x ⇔ ∃ ∈ TXĐ/ f(x) = y 0 (I) Khai thác điều kiện để (I) có nghiệm x ∈ TXĐ ta tìm được miền giá trị T của hàm số f(x) từ đó tìm thấy f max , f min (nếu có). Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2, đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm được cực trị của những biểu thức đại số dạng như thế nào? b, Về đối tượng áp dụng Đề tài này dùng để ôn tập, trang bị cho học sinh có học lực khá, giỏi sau khi đã học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Viét. Đồng thời đề tài này có thể dụng làm tài liệu tham khảo cho các đồng chí giáo viên giảng dạy bộ môn toán. 2 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ : Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628 PHẦN THỨ HAI TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM ĐƯỢC A. Tình hình nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, ôn tập cho học sinh lớp 9 nhiều năm và qua tham khảo tài liệu tôi thấy : Khi gặp bài toán tìm cực trị của hàm f(x) hầu hết các tài liệu ôn tập đều hướng dẫn làm theo phương pháp “Dùng bất đẳng thức đại số”. Đây là miột phương pháp hay, dễ trình bày đối với học sinh, học sinh có thể giải thành thạo bài toán trong trường hợp f(x) là 1 hàm số bậc 2 hoặc dạng phân thức đặc biệt. Tuy nhiên khi gặp dạng f(x) là một phân thức hoặc một biểu thức căn thì phương pháp “Dùng bất đẳng thức đại số” lại không phù hợp, nó làm cho học sinh lúng túng vì cách làm lại mang tính chất áp đặt không tự nhiên, không hình thành cho học sinh một phương pháp suy luận. Ví dụ : Trong tài liệu ôn tập môn toán 9 của sở giáo dục Hải Hưng năm 1996, đề 3 câu 2: 3 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A với : 2 2 2 3 2 x x A x + + = + Giải : Phương pháp “dùng bất đẳng thức đại số” Để tìm Min A ta biến đổi: 2 2 2 2 2 1 1 ( 2) 2 2 1 ( 2) 1 2 2 2 2 2( 2) 2 x x x x A x x + + + + + = = + ≥ + + 1 1 2 min 2 2 2 A x A x = ⇔ = − ⇒ = ⇔ = − • Để tìm maxA ta biến đổi: 2 2 2 2 2 2( 2) 2 1 ( 1) 2 2 2 2 x x x x A x x + − + − − = = − ≤ + + 2 1A x = ⇔ = ⇒ maxA = 2 1x ⇔ = Vậy Max A = 2 khi x = 1; Min A = 1 2 khi x = - 2 Rõ ràng cách giải này ngắn gọn nhưng mang tính áp đặt. Học sinh có thể thắc mắc “dựa trên cơ sở suy luận nào mà tách được A như vậy” nếu đối với 1 biểu thức B khác thì tách như thế nào? Trường hợp biểu thức C có cực trị là một giá trị vô tỉ thì làm thế nào để tách được? Một ví dụ khác : Câu 4 đề 4 tài liệu ôn tập toán 9 của sở giáo dục Hải Hưng năm 1997 có bài Cho 2 2 3 1.x y + = Tìm giá trị lớn nhất của A x y = − Giải : “ Dùng bđt đại số” Nhận thấy x- y và 2 2 3x y + là các thành phần của bđt B.C.S 2 2 2 2 2 ( . . ) ( )( )a x b y a b x y+ ≤ + + . áp dụng bđt trên ta có: 4 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan 2 2 2 2 2 2 1 1 4 ( ) ( ( 3 )) (1 ( ) )( ( 3 ) ) 3 3 3 x y x y x y− = + − ≤ + + − = 2 4 2 ( ) 3 3 x y x y⇒ − ≤ ⇔ − ≤ ⇒ maxA = 2 3 . Dấu “ = “ xảy ra khi : 3 3 3 ( ; ) ( ; ) 6 6 x y − = hoặc 3 3 3 ( ; ) ( ; ) 6 6 x y − = Cách giải này là quá khó đối với học sinh thậm chí khó cả đối với giáo viên. Trong thực tế giảng dạy tôi đã chữa cho học sinh 2 ví dụ trên theo cách “dùng bất đẳng thức đại số” sau đó cho học sinh làm 2 ví dụ tương tự, kết quả số học sinh làm được là không đáng kể. Để giải quyết được phần nào khó khăn cho học sinh khi gặp dạng toán tìm cực trị của hàm phân thức, căn thức chúng ta có thể trang bị cho học sinh “phương pháp miền giá trị” cơ sở lý luận của phương pháp này là điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2, đó là một vấn đề quen thuộc đối với học sinh lớp 9. Tôi nghĩ rằng phương pháp tìm cực trị này cần được tổng kết và áp dụng vào giảng dạy, ôn luyện cho học sinh nhằm mục đích : - Thuật toán hoá cách giải bài toán tìm cực trị. - Củng cố khắc sâu cách giải phương trình bậc hai. Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, đề tại này khó trách khỏi thiếu sót. Rất mong các bạn đồng nghiệp phê bình, góp ý. 5 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan B. Phương pháp nghiên cứu 1. Nghiên cứu tài liệu tham khảo Trước khi viết đề tài nay tôi luôn suy nghĩ có những phương pháp nào để tìm cực trị của hàm số? Phương pháp nào phù hợp với học sinh cấp T.H.C.S? Từ các 6 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan câu trả lời tìm được tôi dã tham khảo các chuyên đề về bất đẳng thức, phương trình bậc 2, tam thức bậc 2 và các bài toán về tim cực trị. Qua các chuyên đề đó tôi nghiên cứu lời giải, phân tích các ưu điểm, hạn chế của từng phương pháp nhằm nắm vững phương pháp suy luận, tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng bài tập. 2. Nghiên cứu phương pháp dạy đại số 9 Thông qua việc tìm cực trị của biểu thức đại số kết hợp ôn lại công thức nghiệm của phương trình bậc 2, định lý vi ét, bất phương trình bậc nhất, giải phương trình bậc nhất Kết hợp giữa việc học kiến thức mới với việc ôn lại, hệ thống lại từng bước kiến thức, kỹ năng tính toán. Kết hợp linh hoạt giữa phân tích và tổng hợp, quy nạp và suy diễn nhưng luôn đảm bảo tính vừa sức đối với học sinh. 3. Nghiên cứu đến nội dung đề tài *Xây dựng lý thuyết. *Hệ thống bài tập từ dễ đến khó. *Hệ thống bài tập luyện giải. C. Nội dung chuyên đề 7 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan I/ Kiến thức cơ bản. 1.Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên miền D nào đó. Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất (Max) trên D nếu thoả mãn 0 0 ( ) , / ( ) f x M x D x D f x M ≤ ∀ ∈   ∃ ∈ =  (M = const) Khi đó Max f(x) = M tại x = x 0 . Tương tự, m là giá trị nhỏ nhất (Min) trên D nếu thoả mãn : 0 0 ( ) , / ( ) f x m x D x D f x m ≥ ∀ ∈   ∃ ∈ =  (m= const ) Khi đó Min f(x) = m tại x = x 0 . Như vậy, khi nói đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số, ta phải xác định xem hàm số xác định trên tập hợp nào? có tồn tại giá trị của biến số để dấu “=” xảy ra hay không? 2.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai . Phương trình bậc hai : 2 0ax bx c + + = . Với 2 4b ac ∆ = − • Nếu ∆ < 0 : Phương trình vô nghiệm • Nếu ∆ = 0 : Phương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a = = − • Nếu ∆ > 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 2 b x x a − ± ∆ = = 3.Hệ thức Viét. Nếu phương trình 2 0ax bx c + + = có 2 nghiệm là x 1 , x 2 thì: S = 1 2 b x x a + = − ; P = 1 2 . c x x a = * Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu 0P ⇔ < 8 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan * Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm 0 0 0 S P ∆ ≥   ⇔ <   >  * Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương 0 0 0 S P ∆ ≥   ⇔ >   >  4. Phương pháp phương trình bậc hai. Cho hàm số f(x) xác định trên D. Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) được làm như sau: Gọi y 0 là một giá trị của f(x) điều đó có nghĩa y 0 = f(x) có nghiệm trên D (I). * Với f(x) là hàm bậc hai ta có thể dễ dàng tìm được điều kiện của y 0 thoả mãn (I). + Nếu 0 y M≤ và dấu “=” có thể đạt được thì Max f(x) = M + Nếu 0 y m≥ và dấu “=” có thể đạt được thì Min f(x) = m. Như vậy bản chất của phương pháp này chính là việc tìm điều kiện để một phương trình bậc hai có nghiệm ( 0 ∆ ≥ ). Việc này đối với học sinh lớp 9 không phải là việc khó. *Trường hợp f(x) không phải là hàm bậc hai, + Nếu y 0 = f(x) có thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai với TXĐ là ' D thì bài toán quy về việc tìm điều kiện của y 0 để phương trình mới có nghiệm trên ' D . + Nếu y 0 = f(x) không thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai thì dùng phương pháp này không làm được. II. Một số ví dụ: 9 T×m cùc trÞ b»ng ph¬ng ph¸p ph¬ng tr×nh bËc hai- NguyÔn Xu©n Phan Ví dụ 1: Tìm min của f(x) = 2 3 4 5x x − + Giải: TXĐ: R Gọi y 0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình y 0 = 2 3 4 5x x− + có nghiệm ( ẩn x) 2 0 3 4 5 0x x y⇔ − + − = có nghiệm ' 0 0 0 11 4 3(5 ) 3 11 0 3 y y y∆ = − − = − ≥ ⇔ ≥ . Dấu “=” xảy ra khi 2 3 x = * chú ý : Đa thức f(x) = 2 ax bx c + + • Với a > 0 có Min • Với a < 0 có Max Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2 2 3 ( ) 2 x x f x x + + = + Giải: TXĐ : R Gọi y 0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình 2 0 2 2 3 2 x x y x + + = + có nghiệm 2 0 0 (1 ) 2 3 2 0x y x y⇔ − + + − = có nghiệm ' 0 0 1 (1 )(3 2 ) 0y y⇔ ∆ = − − − ≥ 2 0 0 2 5 2 0y y⇔ − + ≤ Giải bpt này được 0 1 2 2 y≤ ≤ • Xét y 0 = 2 suy ra x = 1 • Xét y 0 = 1/2 suy ra x = -2. Vậy Max f(x) = 2 khi x = 1 ; Min f(x) = 1/2 khi x = - 2. • Chú ý : Nếu 1- y 0 = 0 suy ra y 0 = 1 thì phương trình đã cho cũng có nghiệm, nhưng 1/2 < y 0 = 1 < 2 nên kết quả bài toán không thay đổi. 10 [...]... suy ra x = 0; y = 2 2 Vi A = 3 5 1 5 suy ra x = 0; y = 2 2 14 2 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Vy Max A = 3+ 5 1+ 5 ti x = 0; y = 2 2 Min A = 3 5 1 5 ti x = 0; y = 2 2 Nhn xột: Qua cỏc vớ d 5; 6; 7 ta cũn thy rng phng phỏp phng trỡnh bc hai cũn ỏp dng vi c hm s hai bin dng phõn thc, a thc bc hai vi x; y Ngoi ra phng phỏp ny cú th ỏp dngduwowcj vi hm s dng no na?... ' ri xõy dng u 2 v 2 = const a v dng quen bit ó bit cỏch gii Vớ d 5: Cho x 2 + 3 y 2 = 1 Tỡm Max x y 12 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Gii: y0 = x y Gi y0 l mt giỏ tr no ú ca x y Khi ú 2 2 x + 3y = 1 phi cú nghim D thy h ó cho tng ng vi mt trong hai h sau: y0 = x y y0 = y x 2 (*) hoc 2 (**) 2 2 x + 3y = 1 x + 3y = 1 x = y0 + y x = y0 + y 2 , ta... ra f(x; y) = 0 2 2 x x 2y ữ 2y 2ữ Nu y 0 chia c t v mu ca f(x; y) cho 4y2 ta c f ( x; y ) = 2 x 2 y ữ +1 13 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan 4t 4 t t = 2 y Biu thc ó cho cú dng 2 Nh vy t vic tỡm cc tr ca mt t +1 x hm s hai bin ta tr v dng bi toỏn quen bit Gi t0 l mt giỏ tr no ú ca 4t 4 t2 +1 4t 4 t 2t0 4t + 4 + t0 = 0 cú nghim Gii ra ta c 2... 2 ; Max f(x) = 6 ti x = 0 Nhn xột: Qua 3 vớ d trờn ta thy cỏch gii ny rt cú hiu qu trong vic tỡm cc tr ax 2 + bx + c ax 4 + bx 2 + c ca hm bc hai, hm phõn thc dng: ' 2 ' hoc ' 4 ' 2 ' a x + b x + c' a x +b x +c 11 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan bng cỏch t n ph Vớ d 4: Tỡm Max ca f ( x ) = 6 x + x + 2 Gii: TX : 2 x 6 t 6 x = u; u 0 ; x + 2 = v; v 0 y0 = u +... 4) 2 3 3 Nu dy cho hc sinh gii bi toỏn cc tr bng phng phỏp Phng trỡnh bc hai kt qu kho sỏt nh sau: Lp S s 9 (02 03) 9 ( 03 04) 9 (04 05) 35 37 34 Gii Khỏ TB Yu Kộm (9; 10) 4 7 5 (7; 8) 15 14 13 (5; 6) 14 15 13 (4; 5) 2 1 3 ( < 4) 0 0 0 Nhn xột : Qua thc t kho sỏt tụi nhn thy : 18 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Khi ging dy cho hc sinh gii bi toỏn cc tr bng phng... ta cú th tỡm c min, max ca cỏc hm s f(x) nu phng trỡnh y 0 = f(x) cú th a c v dng phng trỡnh bc hai 1 n (n khỏc y 0) lm c iu ú thỡ f(x) phi cú dng nh th no? Ngoi cỏc dng vớ d 1 n 7 thỡ dng no khỏc ca f(x) m ta cú th ỏp dng phng phỏp ny tỡm cc tr? PHN TH BA 20 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan KT LUN Qua thc t ging dy v kt qu thc nghim chỳng tụi thy ni dung chuyờn ... 3 ri kt hp iu kin Max f(x) = 9, Min f(x) = -1 Gii ra c a = 8, b =7 hoc a = - 8, b = 7 Bi 4: Tng t bi 3, gii ra c m = 8, m= - 8 Bi 5: Nh vớ d 4, tỡm c Max f(x) = 4 vi x = -1 16 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Bi 6: Nh vớ d 5, gii ra c Max f(x, y) = 2 2 2 vi 2 ; 4 ữ hoc vi ữ 2 2 2 ; 4 ữ ữ Bi 7: m = -9/8 D Kt qu kho sỏt *i tng kho sỏt: hc sinh lp 9 *Thi gian... bi: Bi 1: (5) Tỡm giỏ tr ln nht,( nh nht) ca a/ f ( x) = 9 x 2 5 x + 1 b/ f ( x ) = 8 x 2 + 7 x 3 c/ f ( x) = 6 x 2 x + 4 Bi 2: (3) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca cỏc biu thc 17 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan a/ f ( x) = x2 + x + 1 x2 x + 1 b/ f ( x) = 3x 4 + 4 x 2 + 3 x4 + 2 x + 1 Bi 3: (2) ax 2 + bx + c Cho f ( x) = x2 + 1 , Tỡm a, b Max f(x) = 9; Min f(x) = -1...Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan 3x 4 2 x 2 + 6 Tỡm Max, Min ca f ( x ) = 4 x + x2 + 1 Vớ d 3: Gii: D thy TX : R t x 2 = m 0 Gi y0 l mt giỏ tr no ú ca f(x) suy ra phng trỡnh 3m 2 2m + 6 y0... 4: Tỡm giỏ tr nguyờn ca m sao cho giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc sau cng nguyờn f ( x) = 12 x 2 12mx x2 + 6 Bi 5: Tỡm giỏ tr ln nht ( nh nht ) ca : f ( x) = 3 x + x + 5 15 Tìm cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai- Nguyễn Xuân Phan Bi 6: Tỡm giỏ tr ln nht ca f(x; y) = x 2 y vi x; y tho món x2 + 4 y 2 = 1 Bi 7: Xỏc nh giỏ tr ca m giỏ tr nh nht ca hm s f ( x) = x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 m . khắc sâu cách giải phương trình bậc hai đồng thời thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị. E Những điểm còn hạn chế I- Những vấn đề hạn chế 1. Về kiến thức Giải bài toán cực trị đại số thường. tôi xây dựng chuyên đề Giải bài toán cực trị bằng phương pháp phương trình bậc hai . Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 8, tuy nhiên tìm cực trị bằng phương pháp phương trình bậc 2” chỉ áp dụng được cho học sinh lớp 9 sau khi đã học xong công thức nghiệm của phương trình bậc 2. Về mặt này phương pháp “dùng bất