Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt A. T VN I. LI M U: Toỏn hc l mt mụn hc cú vai trũ khỏ quan trng trong trng THPT. Qua toỏn hc giỳp cho ngi hc nõng cao c kh nng t duy , kh nng suy lun v vic vn dng cỏc kin thc ú vo cỏc mụn hc khỏc. Qua ú giỳp ngi hc phỏt trin v hon thin nhõn cỏch ca mỡnh. Chớnh vỡ l ú vic lnh hi v tip thu mụn toỏn l c mt vn m khụng ngi giỏo viờn dy toỏn no khụng quan tõm. c bit trong cỏc hot ng dy v hc mụn toỏn ũi hi ngi dy cng nh ngi hc phi khụng ngng tỡm tũi sỏng to, tớch lu kinh nghim a ra nhng phng phỏp ging dy, nhng cỏch lnh hi phự hp nht. giỳp ngi hc nm vng kin thc mụn hc cú tớnh h thng õy l vn c t ra. Nht l trong thc hnh vic gii cỏc bi toỏn mang tớnh vn dng ũi hi ngi hc phi nm vng nhng h thng kin thc c bn v kh nng vn dng linh hot cỏc cụng c toỏn hc cú tớnh h thng, cỏc k nng, k so trong khi thc hin. Trong chng trỡnh toỏn hc ph thụng tam thc bc hai úng vai trũ khỏ quan trng, nờn vic hiu v nm vng c l mt vic lm vụ cựng cn thit, nú lm tin v sau cho cỏc em khi cỏc em tip tc hc lờn nhng bc cao hn. Trong chng trỡnh toỏn hc lp 9 chỳng ta ó lm quen vi phng trỡnh bc hai v hm s bc hai. Song vic ng dng v vn dng phng trỡnh bc hai, hm s bc hai trong vic gii cỏc loi toỏn khỏc nh th no cha c quan tõm nhiu. Chớnh vỡ l ú trong quỏ trỡnh ging dy cho cỏc em c bit l hc sinh khỏ gii ,tụi nhn thy õy l iu cn quan tõm. giỳp cỏc em hiu sõu v tam thc bc hai v vic vn dng nú vo vic gii cỏc loi toỏn khỏc; tụi mnh dn nờu lờn vn :" vn dng tam thc bc hai vo gii toỏn bc THPT" Vi ti ny, tụi hi vng s giỳp cỏc em nm vng hn kin thc c bn ca mụn hc v cú t tin khi thc hnh gii toỏn. T ú phỏt huy c kh nng vn dng kin thc linh hot, kh nng sỏng to cng nh t duy c lp c bit 1 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt giỳp cỏc em cú mt hnh trang tt chun b cho mt cp hc cao hn. Tuy vy do khuụn kh ca ti cng nh kinh nghim cũn hn ch chc rng cũn gp nhng thiu xút khụng mong mun, rt mong s úng gúp xõy dng ca quớ ng nghip. 2 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt MT S DNG TON VN DNG TAM THC BC HAI (I):GII PHNG TRèNH : A:KIN THC C BN: vn dng tam thc bc hai vo gii phng trỡnh ta a phng trỡnh ú v dng phng trỡnh bc hai dng :ax 2 + bx + c = 0 bng cỏch t hoc bin i. Khi a phng trỡnh ú v dng phng trỡnh bc hai mt n ta ó cú cụng c gii lp 9. ú l cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn ca phng trỡnh bc hai . B :MT S DNG TON C BN : 1 : PHNG TRèNH TRNG PHNG A :KIN THC C BN : Phng trỡnh trựng phng cú dng : a x 4 +bx 2 +c =0 (a 0 ) a phng trỡng trờn v dng phng trỡng bc hai ta t n ph :x 2 = t (t 0 ) Ta c phng trỡng bc hai : at 2 +bt +c = 0 B.Vớ d : Gii phng trỡnh : 2x 4 -3x 2 -2=0 Gii : t x 2 =t iu kin t 0 ta c phng trỡnh bc hai i vi n t . 2t 2 - 3t - 2 = 0 =9 +16 = 25; =5 Phng trỡnh cú hai nghim: t 1 = 2 1 4 53 = ; t 2 = 2 4 53 = + t 2 =2 tho món iu kin t 2 0 . vi t=t 2 =2 ta cú x 2 =2 x 1 = 2 ; x 2 =- 2 . Vy phng trỡnh cú ha inghim : x 1 = 2 ; x 2 =- 2 2: PHNG TRèNG I XNG BC CHN : A: KIN THC C BN : Ta xột phng trỡnh bc bn dng : a x 4 + bx 3 +c x 2 +bx +a = 0 (a 0 ; cỏc h s ca n cỏch u s hng chớnh gia ) 3 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt vỡ x= 0 khụng phi l nghim ca phng trỡnh nờn chia hai v ca phng trỡnh cho x 2 ta cú : 2 4 x ax + 0 222 2 2 3 =+++ x a x bx x cx x bx a x 2 + bx +c - 0 2 =+ x a x b 0) 1 () 1 ( 2 2 =++++ c x xb x xa (1) t x+ y x = 1 ta cú : x 2 + .22) 1 ( 1 22 2 =+= y x x x Do ú phng trỡnh ( 1) cú dng phng trỡnh bc hai : ay 2 + by +c -2a = 0 (2) Gii phng trỡnh bc hai vi n s y ta tỡm c y t ú suy ra x . B: vớ d : Gii phng trỡnh : 2x 4 + 3x 3 - x 2 +3x +2 = 0 Gii : Nhn thy x= 0 khụng l nghim ca phng trỡnh , vi x 0 chia c hai v ca phng trỡnh cho x 2 ta c phng trỡnh tng ng : 2x 2 + 3x -1 + 0 23 2 =+ x x 05) 1 (3) 1 (2 05) 1 (3) 1 2(2 2 2 2 =+++ =++++ x x x x x x x x ti õy ta nhn thy phng trỡnh trờn cú dng bc hai nu t x + y x = 1 a phng trỡnh v dng : 2y 2 + 3y -5 = 0 gii phng trỡnh ta c : 4 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt y 1 =1 ; y 2 = - 2 5 vi x + 1 1 = x ta cú : x 2 + 1 -x = 0 vụ nghim vi x + x x 2 2 51 = 2 + 5x + 2 = 0 gii phng trỡnh ta c hai nghim : x 1 = -2 ; x 2 = - 2 1 C : NHN XẫT : phng trỡnh i xng bc chn nu m l nghim thỡ m 1 cng l nghim ca phng trỡnh . Nu phng trỡnh cú dng : a x 5 +bx 4 cx 3 +cx 2 +bx +a = 0 c gi l phng trỡnh i xng bc l , phng trỡnh ny bao gi cng nhn -1 lm nghim . Do ú cú th h bc a phng trỡnh v phng trỡnh i xng bc chn m ta v trỡnh by cỏch gii trờn . 3 : PHNG TRèNH HI QUY : A: PHNG TRèNH Cể DNG : a x 4 + bx 3 +cx 2 +dx +k = 0 (a )0 vỡ x= 0 khụng phi l nghim nờn ta chia c hai v cho x 2 ta c phng trỡnh tng ng : a(x 2 + ) 2 ax k + b(x + 0) =+ c bx d trong ú : 2 )( b d a k = t x + b d t xb d xt bx d 2 2 2 2 2 =+= hay x 2 + b d t ax k 2 2 2 = vy phng trỡnh ó cho c a v dng phng trỡnh bc hai i vi n t : at 2 + bt + c +2 0= b ad B: vớ d : 5 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt Gii phng trỡnh : 2x 4 - 21x 3 + 74x 2 - 105x + 50 = 0 Gii : x = 0 khụng phi l nghim ca phng trỡnh nờn chia c hai v cho x 2 ta c phng trỡnh tng ng : 2(x 2 + 074) 5 (21) 25 2 =++ x x x t x + 2 2 2 255 t x xt x =+= - 10 khi ú phng trỡnh trờn cú dng phng trỡnh bc hai i vi n t 2t 2 - 21t +54 = 0 Gii phng trỡnh bc hai trờn ta c hai nghim : t 1 = 6 v t 2 = 4,5 vi t 1 = 6 ta cú 6 5 =+ x x hay x 2 - 6x + 5 = 0 gii phng trỡnh trờn ta c : x 1 = 1 ; x 2 =5 vi t 2 = 4,5 ta cú : x + 5,4 5 = x hay x 2 - 4,5x + 5 = 0 Gii phng trỡnh ta c x 3 = 2 ; x 4 =2,5 vy phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim l : x 1 = 1 ; x 2 = 5 ; x 3 = 2 ; x 4 =2,5 C : NHN XẫT : Phng trỡnh hi quy trong ú 2 )( b d a k = ; k 0 cú n ph dng t =x + bx d 4 : PHNG TRèNH DNG : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m hoc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx 2 A: vớ d1: Gii phng trỡnh : ( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3 6 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt Gii : ( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3 ( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3 (x 2 + 5x +4 )(x 2 +5x+6) = 3 t : x 2 +5x + 4 = t ta c phng trỡnh bc hai vi n t : t(t + 2) = 3 t 2 +2t-3 = 0 Gii phng trỡnh bc hai i vi n t ta c : t 1 =1 ;t 2 = -3 vi t 1 = 1 ta cú : x 2 +5x+4 = 1 x 2 +5x +3 =0 Gii phng trỡnh ta c : x 1;2 = 2 135 t 2 = -3 ta cú : x 2 +5x+4= -3 x 2 + 5x + 7 = 0 ; phng trỡnh ny vụ nghim (vỡ = 25 - 28 < 0 ) vy phng trỡnh ó cho cú nghim : x 1;2 = 2 135 B.Vớ d 2 : gii phng trỡnh : 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x 2 (1) Gii : (1) 4(x 2 +17x + 60)(x 2 + 16x + 60) = 3x 2 4(x +17 + 2 60 x )(x + 16 + x 60 ) = 3 (vỡ x 0 ) 7 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt t x+16 + x 60 = y Ta c phng trỡnh bc hai n y : 4y 2 + 4y - 3 = 0 Phng trỡnh cú hai nghim vỡ / = 4 + 12 = 16 Gii phng trỡnh ta c : y 1 = 2 1 ; y 2 = 2 3 vi y 1 = 2 1 ta cú : 2x 2 + 31x +120 = 0 gii phng trỡnh ta c x 1 = - 8 ;x 2 = - 2 15 vi y 2 = - 2 3 ta cú : 2x 2 + 35x + 120 = 0 gii phng trỡnh ta c : x 3;4 = 4 26535 vy phng trỡnh ó cho cú nghim : x 1 = - 8 ; x 2 = 2 15 ; x 3;4 = 4 26535 C: NHN XẫT : i vi tphng trỡnh dng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 trong ú a + d = b +c ta nhúm [ ][ ] mcxbxdxax =++++ ))(())(( t ú ta t n ph a phng trỡnh ó cho v dng phng trỡnh bc hai mt n . i vi phng trỡnh dng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx 2 trong ú :ad = bc ta nhúm [ ][ ] 2 ))(())(( mxcxbxdxax =++++ 8 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt n ph cú th t l : y= x + x ad hoc y = (x + a)(x + d). i vi phng trỡnh dng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong ú d = 2 cba ++ m = (d - a)(d - b)(d - c) ta t n ph y = x + d mt nghim ca phng trỡnh l y y = 0 5: PHNG TRèNH Vễ T : A) C S L THUYT : Trong quỏ trỡnh gii phng trỡnh vụ t ụi khi ta gp nhng phng trỡnh nu ta dựng phng phỏp bỡnh phng hai v phỏ cn thc bc hai thỡ dn n phng trỡnh bc cao m vic gii phng trỡnh ú khụng n gin . Song nu khộo lộo t n ph ta cú th qui phng trỡnh ú v phng trỡnh bc hai sau õy ta s xột mt vi vớ d: B) V D : Vớ d 1: Gii phng trỡnh : 2x 2 - 8x - 3 54 2 xx = 12 (2) Gii : (2) 543)54(2 22 xxxx - 2 = 0 t 54 2 xx = t (t )0 ta quy phng trỡnh bc hai vi n t : 2t 2 - 3t - 2 = 0 Gii phng trỡnh ny ta c hai nghim t 1 = 2 ; t 2 = - 2 1 vi t 2 = - 2 1 loi ( vỡ t )0 vi t 1 = 2 ta gii phng trỡnh : 54 2 xx = 2 hai v khụng õm phng trỡnh tng ng vi x 2 - 4x - 5 = 4 x 2 - 4x - 9 = 0 9 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt gii phng trỡnh trờn ta c hai nghim : x 1;2 = 2 13 vớ d 2 : Gii phng trỡnh : (4x - 1) 1 2 +x = 2x 2 + 2x + 1 Gii : Nu bỡnh phng hai v phỏ cn thc ta quy v phng trỡnh bc bn y vic gii gp khú khn hn , nu t t = 1 2 +x ( t )1 x 2 = t 2 - 1 phng trỡnh trờn tr thnh (4x - 1)t = 2(t 2 - 1) + 2x + 1 ta quy v phng trỡnh bc hai i vi n t : 2t 2 -(4x - 1)t + 2x - 1 = 0 = (4x - 1) 2 - 8(2x - 1) = (4x - 3) 2 t 1;2 = 4 )34(14 xx t 1 = 2x - 1 ; t 2 = 2 1 < 0 (loi) vi t = 2x - 1 thay t = 1 2 +x ta c phng triỡnh: 4x 2 - 4x + 1 = x 2 + 1 (t )1 3x 2 - 4x = 0 Gii phng trỡnh ta c x 1 = 3 4 ; x 2 = 0 (loi) vy x = 3 4 l nghim ca phng trỡnh ó cho. 6: Gii v bin lun phng trỡnh : A)KIN THC C BN : i vi phng trỡnh bc cao vi nhng tham s õy khụng phi l nhng phng trỡnh c bit nờn vic gii ụi khi rt khú khn, nu phng trỡnh ó cho cú tham s l bc hai ta cú th a phng trỡnh v dng phng trỡnh bc hai i vi n l tham s: b) Vớ d : Gii v bin lun phng trỡnh : 10 [...]... nghim III: CC BI TON CC TR A:KIN THC C BN tỡm cc tr ca mt biu thc ta cú th vn dng cỏc tớnh cht v iu kin cú nghim ca tam thc bc hai Nh vy ta cú th bin i biu thc a v 16 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt dng tam thc bc hai B: MT S V D: 1) i bin a v tam thc bc hai i vi bin mi vỡ d 1: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc sau: A= x + 1 x Gii: iu kin: x 1 t 1 x = y ta cú : y2 = 1 - x x... nh ca cỏc parabol x1 = 1 ( 2;3) ; 2 x2 = -2 (2;3) 15 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt f 1 (2) 0 f (3) 0 1 (*) f 2 (2) 0 f 2 (3) 0 hay 13 m 0 29 + m 0 12 + m 0 21 + m 0 vy :-12 m 13 3: Dựng nh lớ v du ca tam thc bc hai Vớ d : Chng minh bt ng thc : x2+2y2-2xy +12x- 4y+3 > 0 Gii : Ta nhn thy cú dng tam thc bc hai i vi n x : f(x) = x2 - 2(y - 1)x+(2y2 - 4y+3) ta... tham s ca chỳng nu tham s l bc hai ta a phng trỡnh ó cho v phng trỡnh bc hai vi n l tham s: II: BT NG THC: A:KIN THC C BN : 11 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt Do tam thc bc hai f(x) = ax2+ bx + c (a 0) x R 0 a > 0 - iu kin f(x) 0 x - Xột hm s bc hai :y = ax2+ bx + c (a 0) x [ , ] *Nu x = - b [ , ] thỡ : 2a max y = max y ( ); y ( ); y ( *Nu x = - b b ) min y =... 1- 2 2000 + 2 x x vỡ x 0 Biu thc trờn cú dng tam thc bc hai nu ta t ta cú : A = 1 - 2y + 2000y2 = 2000(y A Vy: minA = 1 =y x 1 2 1999 ) + 2000 2000 1999 2000 1999 1 y= hay x = 2000 2000 2000 3: a v phng trỡnh bc hai v s dng iu kin 0 Vớ d 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc : M = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y + 2 Gii : 18 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt Gi s A l mt giỏ tr ca biu thc vỡ vy... 0 (*) Do x l nghim ca h nờn x l nghim ca (*) vy (*) cú nghim khi 0 (4 - y)2 + 4 13 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt - 3y2 + 8y 0 0 y Nu x + y + z = -4 tng t ta c :- 8 3 8 y 0 3 8 8 y 3 3 Vy ta cú : Vỡ x, y,z cú vai trũ nh nhau nờn ta c : 8 8 x, y , z 3 3 2: Dựng tớnh cht ca hm s bc hai : y=ax2 +bx + c (a 0) vi x [ , ] vớ d 1 : Cho a,b,c [ 0;2] tho món iu kin a+b+c... 3 y= 1- x = x= 4 2 4 4 2: i bin a v bt phng trỡnh bc hai i vi bin mi : vớ d 1 : Tỡm giỏ tr nh nht , giỏ tr ln nht ca A = x2 + y2 bit : x2 (x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = 1 (1) Gii : T (1) ( x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) + 3 = - x2 0 vy : A2 - 4A + 3 0 (A - 1)(A - 3) 0 1 A 3 minA = 1 x = 0 khi ú y = 1 17 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt maxA = 3 x = 0 khi ú y = 3 Vớ d 2: Tỡm giỏ.. .Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt x4 - 10x3 - 2(a - 11)x2 +(5a + 6)x + 2a + a2 = 0 Gii : Phng trỡnh trờn cú th vit di dng: a2 - 2(x2 - 5x - 1)a + (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = 0 / a = (x2 - 5x - 1)2 - (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = (x - 1)2 a1 = x2 - 4x - 2 ; a2 = x2 - 6x - Vi a = x2 - 4x - 2 x2 - 4x - 2 - a = 0 ta cú : = 4+ 2+ a = 6 + a *Nu / 0 a 6 phng trỡnh cú hai nghim x1;2... a2+ 2a + 1 2 Ta li cú : b + c = -(a + 2) do ú b,c l nghim ca phng trỡnh X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 tn ti X thỡ: 0 (a + 2)2- 4(a2 + 2a + 1) 0 a(3a + 4) 0 4 a0 3 12 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt 4 b 0; 3 Tng t : 4 c0 3 Vớ d 2: Cho ba s tho món : a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) 4 3 -1 a + b + c 4 Chng minh rng : Gii: a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) Ta cú: 4 3 (... [ 0;2] Do h s ca a bng 2 > 0 nờn a [ 0;2] thỡ : max f(a) = max { f (0), f (2)} vi a [ 0;2] ta cú : f(0) = b2 +(3 - b)2 - 5 =2(b - 1)(b - 2) khi a = 0 thỡ b + c = 3 c = 3 - b 14 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt do 0 c 2 0 3 b 2 1 b 3 1 b 2 (b - 1)(b - 2) 0 f(0) 0 f(2) = 8 - 4(3 - b) +b2 +(3 - b )2 - 5 = 2b(b - 1 ) khi a = 2 thỡ b +c = 1 0 b, c 1 b(b - 1) 0 f(2)... 0 vi mi x :Do ú A = x2 +1 2 (x2 + 1)A = 2x2 + 2x + 2 (A - 2)x2 - 2x + (A -2) = 0 (1) khi A = 2 thỡ x = 0 khi A 2 (1) cú nghim , iu kin cn v l / 0 tc l : 1 - (A - 2)2 0 19 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt (A - 2)2 1 1 A Vy minA = 1 khi x=- 1 v maxA = 3 khi x = 1 20 . cú nghim ca tam thc bc hai .Nh vy ta cú th bin i biu thc a v 16 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt dng tam thc bc hai . B: MT S V D: 1) i bin a v tam thc bc hai i vi bin mi. . dng ca quớ ng nghip. 2 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt MT S DNG TON VN DNG TAM THC BC HAI (I):GII PHNG TRèNH : A:KIN THC C BN: vn dng tam thc bc hai vo gii phng trỡnh ta. a phng trỡnh ó cho v phng trỡnh bc hai vi n l tham s: II: BT NG THC: A:KIN THC C BN : 11 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt Do tam thc bc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) x