A. PHẦN MỞ ĐẦU I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1.Cơ sở khoa học: Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả. Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa Toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán. Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học từ Tiểu học đến Trung học. Việc nắm vững các phương pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn Toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác như Hoá học, Vật lí, Tin học…vv,đặc biệt nó giúp cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo một cách tốt nhất. Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và qua quá trình tìm tòi bản thân tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải Bất đẳng thức mà thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải tốt các bài toán về bất đẳng thức góp phần nâng cao tư duy toán học, tạo diều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung. 2. Cơ sở thực tiễn Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS vẫn coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải loại toán này như thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chương trình THCS, nhưng không được hệ thống thành những phương pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp và giải quyết loại toán này. Các bài toán có liên quan tới Bất đẳng thức hầu như có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp cho đến đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 trung học phổ thông. Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phương pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung nhiều vào kho kiến thức của mình. Đối với học sinh sẽ khắc phục được những hạn chế trước đây giúp các em có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán. Với bản thân mình, tôi xây dựng thành kinh nghiệm về : “ Sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng, đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPT . Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phương pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập. III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu các phương pháp giải Bất đẳng thức - Thông qua nội dung phgương pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh - Rèn kĩ năng cho học sinh qua các bài tập đề nghị. IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ SỬ DỤNG: - Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS. - Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh THCS. B. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa:Cho hai số: a, b ta nói số a lớn hơn số b, kí hiệu là : a > b nếu a – b > 0; số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a < b nếu a – b < 0. II. Tính chất: 1. a > b ⇔ b < a 2. a < b, b < c ⇒ a < c ( tính chất bắc cầu) 3. a < b ⇒ a + c < b + c ( tính chất đơn điệu) 4. a < b, c < d ⇒ a + c < b + d ( cộng hai vế của một bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều với chúng) 5. a < b, c > d ⇒ a – c > b – d ( trừ hai bất đẳng thức ngược chiều ta được một bất đẳng thức có chiều là chiều của bất đẳng thức bị trừ) 6. Nhân hai vế của bất đẳng thức a < b với cùng một số m thì A < b . . , 0 . . , 0 a m b m m a m b m m < >  ⇔  > <  7. Nhân hai vế của hai bất đẳng thức không âm cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều : 0 < a < b, 0 < c < d ⇒ a.c < b.d 8. a > b > 0 ⇒ a n > b n ; 0 > a > b ⇒ a n+1 > b 2n+1 và a n < b 2n 9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số : m > n > 0; a >1 ⇒ a m > a n ; a m < a n với 0 < a < 1 10. Nghịch đảo hai vế của một bất đẳng thức ta được một bất đẳng thức đổi chiều: 1 1 a b a b ≤ ⇒ ≥ Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ điịnh nghĩa và các tính chất trước đó. III. Một số Bất đẳng thức cần nhớ: 1. a 2k ≥ 0 với mọi a ( k nguyên dương). Dấu “ =” xảy ra khi a = 0. 2. 0,a a≥ ∀ . Dấu “ =” xảy ra khi a = 0. 3. a b a b+ ≤ + . Dấu “ =” xảy ra khi ab ≥ 0. 4. - a a a≤ ≤ . Dấu “ =” xảy ra khi a = 0. 5. a b a b− ≥ − . Dấu “ =” xảy ra khi 0ab ≥ và a b≥ . 6. a ≥ b; ab ≥ 0 ⇒ 1 a b ≤ . Dấu “ =” xảy ra khi a = b. 7. 2 a b b a + ≥ với a, b cùng dấu, Dấu “ =” xảy ra khi a = b. 8. Bất đẳng thức Cauchy: +) Đối với hai số dương a, b bất kì: 2 a b ab + ≥ hoặc a 2 + b 2 ≥ 2ab. Dấu “ =” xảy ra khi a = b. +) Đối với mọi a i ≥ 0; I = 1,…,n. Ta có : 1 2 1 2 n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu “ =” xảy ra khi a i = 0. 9. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki: Nếu (a 1 , a 2 , … , a n ) và ( b 1 , b 2 , … , b n ) là những số tuỳ ý, ta có: (a 1 2 + a 2 2 +… + a n 2 ).(b 1 2 + b 2 2 +… +b n 2 ) ≥ (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n ) 2 Dấu “ = “ xảy ra khi j i i j a a b b = 10.Bất đẳng thức Trêbưsep : +) Nếu 1 2 1 2 n n a a a b b b ≥ ≥ ≥   ≥ ≥ ≥  thì: n.(a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a n b n ) ≥ ( a 1 + a 2 + … + a n ).( b 1 + b 2 +… + b n ). Dấu “ = “ xảy ra khi a i = a j hoặc b i = b j . Nếu 1 2 1 2 n n a a a b b b ≥ ≥ ≥   ≤ ≤ ≤  Thì : n.(a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a n b n ) ≤ ( a 1 + a 2 + … + a n ).( b 1 + b 2 +… + b n ). Dấu “ = “ xảy ra khi a i = a j hoặc b i = b j . Chú ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý. - Khi chứng minh xong bất đẳng thức a ≤ b ta phải xét trường hợp dấu “ = “ xảy ra khi nào. C. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I- Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa: a. Nội dung phương pháp: Để chứng minh bất đẳng thức A > B ta chứng minh bất đẳng thức A – B > 0 b. Kiến thức cần vận dụng: - Các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 . - Tổng quát: 2 1 1 1 ( ) 2 n n n i i i j i i i A A A A = = = = + ∑ ∑ ∑ ( j = 2,…n) , i < j - Các kĩ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế các bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài. c. Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức : a 2 + b 2 ≥ ab. Giải: Xét hiệu: a 2 + b 2 – ab = (a 2 + 1 4 b 2 – 2. 1 2 ab) + 3 4 b 2 = ( a - 1 2 b) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 đúng với mọi a,b vì ( a - 1 2 b) 2 ≥ 0; 3 4 b 2 ≥ 0 . Dấu “ = “ xảy ra khi ( a - 1 2 b) 2 = 3 4 b 2 = 0 suy ra a = b = 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Từ bài toán trên ta có thể chứng minh cho bài toán tổng quát sau: (a n ) 2 + (b n ) 2 ≥ . n n a b . Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn 0 < a ≤ b ≤ c. Chứng minh rằng: a b c b a c b c a a c b + + ≥ + + Giải: Xét hiệu: 1a b c b a c b c a a c b abc + + − − − = (a 2 c + ab 2 + bc 2 – b 2 c – ba 2 – ac 2 ) = 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( )a c b c b a a b c b ac abc   − + − + −   = 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )c a b a b ab a b c a b a b c a b ab c abc abc     − + − − − − = − + − −     = 1 ( )( )( ) 0( 0 )a b b c c a do a b c abc − − − ≥ < ≤ ≤ Dấu “=” xảy ra khi a = b hoặc b = c hoặc a = c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3: Cho a ≤ b ≤ c và x ≤ y ≤ z. Chứng minh rằng : . . . 2 2 2 a b x y a x b y+ + + ≤ Giải: Xét hiệu : . . 1 . ( . . . . 2 . 2 . ) 2 2 2 4 a b x y a x b y a x a y b y b x a x b y + + + − = + + + − − = [ ] 1 1 ( . . ) ( . . ) ( )( ) 4 4 a y a x b x b y x y b a− + − = − − ( do x ≤ y và a ≤ b ). Dấu “=” xảy ra khi x = y hoặc a = b. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. • Chứng minh tương tự ta được bất đẳng thức : . . . . 3 2 3 a b c x y z a x b y c z+ + + + + + ≤ và ta có thể chứng minh tương tự cho bài toán tổng quát. Bài 4: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: A 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) . Giải: Xét hiệu : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 – a(b + c + d + e) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 – ab – ac – ad – ae = 1 4 ( 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 - 4ab – 4 ac – 4ad – 4ae) = 1 4 [(a 2 + 4b 2 + 4ab) + ( a 2 + c 2 + 4ac) + ( a 2 + 4d 2 + 4ad) + (a 2 + 4e 2 + 4ae)] = 1 4 [( a + 2b) 2 + (a + 2c) 2 + (a + 2d) 2 + ( a + 2e) 2 ] ≥ 0 Do (a + 2b) 2 ≥ 0; (a + 2c) 2 ≥ 0 ; (a + 2d) 2 ≥ 0 ; (a + 2e) 2 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi b = c = d = e = 2 a . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 5: ( Tổng quát của bài 4) Cho a i (i = 1,2,…,n) là các số thực, chứng minh rằng : 2 1 1 1 2 1 n n i i i i a a a n = = ≥ − ∑ ∑ Việc chứng minh tương tự bài 4. d. Bài tập đề nghị Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 4x 2 + y 2 ≥ 4xy. 2. x 2 + y 2 + 1 ≥ xy + x + y 3. (x + y).( x 3 + y 3 ).( x 7 + y 7 ) ≤ 4( x 11 + y 11 ) 4. (x 1996 + y 1996 + x 1996 ) : ( x 1995 + y 1995 + z 1995 ) ≥ ( x + y + z ) : 3 5. ( a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ ( a + b + c).(a 2 + b 2 + c 2 ) với a, b, c > 0. 6. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a) 8 8 8 3 1 1 1 ( ) a b c abc a b c + + ≥ + + b) 3 3 3 3 3 3 6 a b b c c a a c b a c b abc c a b b c a + + + + + ≥ II . Phương pháp 2 : Dùng tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương. 1. Nội dung phương pháp: Khi chứng minh một bất đẳng thức nào đó ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất dẳng thức đã được chứng minh hoặc điều kiện của đề bài. 2. Kiến thức cơ bản: - Các tính chất của bất đẳng thức. - Các bất đẳng thức thường dùng. - Kỹ năng biến đổi tương đương một bất đẳng thức. - Các hằng đẳng thức đáng nhớ. 3. Bài tập mẫu. Bài 1: Chứng minh rằng: x 2 + 2y 2 + 2z 2 ≥ 2xy + 2yz + 2z – 1 (*). Giải: Ta có : x 2 + 2y 2 + 2z 2 ≥ 2xy + 2yz + 2z – 1 ⇔ x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2z + 1 ≥ 0. ⇔ ( x 2 – 2xy + y 2 ) + ( y 2 – 2yz + z 2 ) + ( z 2 – 2z + 1) ≥ 0 ⇔ ( x – y) 2 + ( y – z) 2 + ( z – 1) 2 ≥ 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x, y, z. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: (a 10 + b 10 ).(a 2 + b 2 ) ≥ ( a 8 + b 8 ).(a 4 + b 4 ). Giải: Ta có : (a 10 + b 10 ).(a 2 + b 2 ) ≥ ( a 8 + b 8 ).(a 4 + b 4 ) ⇔ (a 10 + b 10 ).(a 2 + b 2 ) - ( a 8 + b 8 ).(a 4 + b 4 ) ≥ 0 ⇔ a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 – a 12 – a 8 b 4 – a 4 b 8 – b 12 ≥ 0 ⇔ ( a 10 b 2 – a 8 b 4 ) + (a 2 b 10 – a 4 b 8 ) ≥ 0 ⇔ a 8 b 2 (a 2 – b 2 ) – a 2 b 8 (a 2 – b 2 ) ≥ 0 ⇔ a 2 b 2 (a 2 – b 2 )(a 2 – b 2 )(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) ≥ 0 ⇔ a 2 b 2 (a 2 – b 2 ) 2 .(a 4 + a 2 b 2 + b 4 ) ≥ 0 luôn đúng với mọi a, b. Dấu “=” xảy ra khi a 2 = b 2 ⇔ a = b hoặc a = - b và a = 0 hoặc b = 0. Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. • Nhận xét từ kết quả bài toán trên ta có bài toán tương tự: • Cho 0 ≤ a ≤ b. Chứng minh bất đẳng thức : (a 5 + b 5 )(a + b) ≥ (a 2 +b 2 )(a 4 + b 4 ) Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) ≥ -9 b. Cho a ≥ c ≥ 0 và b ≥ c. Chứng minh: ( ) ( )c a b c b c ab− + − ≤ . Giải: a. Nhận xét: 3 + 4 = 1 + 6 nên ta nhân (x – 1)(x – 6) và (x – 3)(x – 4) c. Ta có: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) ≥ -9 ⇔ (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 9 ≥ 0. ⇔ ( x 2 – 7x +6)(x 2 -7x + 12) + 9 ≥ 0 ⇔ ( x 2 – 7x +6)(x 2 -7x + 6 + 6) + 9 ≥ 0 ⇔ ( x 2 – 7x +6) 2 + 6( x 2 – 7x +6) + 9 ≥ 0 ⇔ ( x 2 – 7x +9) 2 ≥ 0. Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x. Suy ra : (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) ≥ -9. Dấu “=” xảy ra khi x 2 – 7x +9 = 0 ⇔ x = 7 13 2 ± b. 2 2 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )c a c c b c ab c a c c b c ab− + − ≤ ⇔ − + − ≤ ( ) ( ) 2 ( ) ( )c a c c b c c a c c b c ab⇔ − + − + − − ≤ 2 2 ( )( ) 0c c a c b c a c b c⇔ + − − + − − ≥ 2 ( ) 0c a c b c⇔ − − − ≥ . Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn đièu kiện của đề bài. Vậy ( ) ( )c a b c b c ab− + − ≤ với a ≥ c ≥ 0 và b ≥ c. 4. Bài tập áp dụng 1. Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 1. Chứng minh: a. 0 ≤ x + y + z – xy – xz – yz ≤ 1 b. X 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 + x 2 y + y 2 z + z 2 x. c. 2 . 1 . 1 . 1 x y z y z x z z y + + ≤ + + + 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2. 3. Chứng minh rằng với mọi x, y > 2 ta có: X 4 – x 3 y + x 2 y 2 – xy 3 + y 4 > x 2 + y 2 4. Cho ba số a, b, c là ba số tuỳ ý trên đoạn [0,1]. Chứng minh: a. a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2 b +b 2 c + c 2 a. b. 2(a 3 + b 3 + c 3 ) – ( a 2 b + b 2 c + c 2 a) ≤ 3 c. 2 1 1 1 a b c bc ac ba + + ≤ + + + III. Phương pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số 1. Nội dung phương pháp: Khi vận dụng các tính chất của tỉ số thì việc chứng minh bất đẳng thức trở nên rất nhanh và gọn. 2. Kiến thức cần vận dụng: - Với ba số dương a, b, c - Nếu 1 a b ≤ thì a a c b b c + ≤ + Dấu “=” xảy ra khi a = b. - Nếu 1 a b ≥ thì a a c b b c + ≥ + Dấu “=” xảy ra khi a = b. - Nếu b, d > 0 và a c a a c c b d b b c d + ≤ ⇒ ≤ ≤ + Dấu “=” xảy ra khi ad = bc. 3. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác: Chứng minh rằng : Giải: Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có: a, b, c > 0 và a + b > c; b + c > a; c + a > b. Từ a + b > c 2 2c c c c c c a b a b c a b c a b a b c + ⇒ < = ⇒ < + + + + + + + + Chứng minh tương tự ta có: 2 2 ; b b a a a c a b c c b b c a < < + + + + + + Cộng từng vế của ba bất đẳng thức cuối cùng ta được: 2 a b c a b c b c a c a b a b c a b c a b c + + < + + = + + + + + + + + + Ta có: 1 a b c a b c b c a c a b a b c a b c a b c + + > + + = + + + + + + + + + Vậy 1 2 a b c b c a c b a < + + < + + + (Đpcm). Nhạn xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất : Với ba số dương a, b, c: Nếu 1 a b ≤ thì a a c b b c + ≤ + Dấu “=” xảy ra khi a = b. Bài 2: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: 1 ( ) 2 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b + + < < + + + + + + + Giải: Ta chứng minh: 1 ( ) 2 1 1 1 a b a b a b a b + + < + + + + Do a > 0 ta có 1 1 1 1 a a a b a a a b + < ⇒ < + + + + Tương tự ta có 1 1 b a b b a b + < + + + Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cuối cùng ta được: ( ) 2 1 1 1 a b a b a b a b + + < ⇒ + + + + 1 ( ) 2 1 1 1 a b a b a b a b + + < + + + + (1) Ta lại chứng minh: 1 1 1 a b a b a b a b + < + + + + + Do a, b > 0 nên ta có ; 1 1 1 1 a a b b a a b b a b > > + + + + + + Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được: 1 1 1 a b a b a b a b + < + + + + + (2). Từ (1) và (2) suy ra : 1 ( ) 2 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b + + < < + + + + + + + [...]... một bất đẳng thức đúng với mọi n, bằng quy nạp ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Kiểm tra xem bất đẳng thức đứng với n ≤ n0 nào đó ( thông thường ta chọn n0 = 0 hoặc 1) Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≤ k Bước 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n ≤ k +1 Bước 4: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n 2.Kiến thức cần vận dụng: -Các tính chất của bất đẳng thức Kỹ năng biến đổi đẳng thức và bất. .. B ta giả sử A < B rồi suy ra một điều vô lý với giả thiết hoặc các hằng bất đẳng thức rồi từ đó khẳng định A ≥ B là đúng 2 Kiến thức cần dùng: - Các tính chất của bất đẳng thức - Các bất đẳng thức có sẵn - Kĩ năng biến đối tương đương một bất đẳng thức - Các hằng đẳng thức và các hằng bất đẳng thức 3 Bài tập mẫu Bài 1: Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau sai:... (2) Vậy điều giả sử là sai, suy ra trong các bất đẳng thức sau: a(1 – b) > 0,25 ; b( 1 – c) > 0,25 ; c(1 – a) > 0,25 có ít nhất một bất đẳng thức sai Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x, y, z mà có thể thoả mãn đồng thời ba bất đẳng thức sau: x < y−z ; y < x−z ; z < y−x GiảI : Giả sử phán chứng cả ba bất đẳng thức trên không có bất đẳng thức nào sai, nghĩa là cả ba bất đẳng thức đó đều đúng Khi... Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 2n+2 > 2n + 5 với ∀ n ≥ 1, n ∈ N b [(n + 1) !]n ≤ 2!.4! (2n)! với ∀ n, n ∈ N* c (2n)! < 22n(n!)2 với ∀ n, n ∈ N* VI Phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức trong tam giác 1 Nội dung phương pháp Nhiều bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giảI bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của bất đẳng thức ta phảI sử dụng cả các tính... minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai: ax2 + bx + c ≤ y ; ay2 + by + c ≤ z ; az2 + bz + c ≤ x V Phương pháp 5: Phương pháp quy nạp 1 Nội dung phương pháp: Có rất nhiều các bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thường thì không thể chứng minh được Thường các bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những bất đẳng thức tổng quát, và để chứng minh các bất đẳng thức này... bài toán phù hợp với trình độ học sinh dễ cảm nhận, tiếp thu làm cho học sinh không cảm thấy gò bó khi học Bất đẳng thức Cần tạo cho học sinh tính linh hoạt không máy móc sử dụng một phương pháp có lời giải nhanh nhất Mọi điều mà chúng ta thấy rằng khi chứng minh Bất đẳng thức thì cần vận dụng linh hoạt, kết hợp các phương pháp D MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1 Giải phương trình 1- Phương pháp giải: ... thức Côsi - Bất đẳng thức Bunhicopxky - Bất đẳng thức Trebưsep - Một số bất đẳng thức khác - Các kỹ năng biến đổi tương đương, biến đổi đồng nhất 3- Bài tập mẫu Bài 1: Giải phương trình: 3 x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 Nhận xét: Thông thường khi giải bài tập có căn thức ta thường làm mất căn thức bằng cách sử dụng công thức ( n a )n = a hoặc đưa về a2n = an Đối với bài toán này học... Bài 3: Chứng minh a2 + 2a2 + + na2 < 2 Trong đó nak = + + + ∈ N * 2 3 k 1 2 n Bài 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có: 1 1 1 1 3 < + + + < 2 n +1 n + 2 n+n 4 VII- Phương pháp 7: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 1 Kiến thức cơ bản Các kỹ năng biến đổi BBất đẳng thức: Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a,b ≥ 0 a+b ≥ ab Dấu “=” xảy ra khi a=b 2 Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a1, a2,…... tích nhỏ nhất Tiểu kết: Bất đẳng thức có ứng dụng rất nhiều trong việc giải toán ở bậc THCS Việc sử dụng các bất đẳng thức với mỗi bài toán đòi hỏi phải có tính linh hoạt cao , mỗi bài có một nét riêng biệt, không tuân thủ theo một quy tắc chung nào cả Vì vậy cần phải cho học sinh làm quen nhiều với dạng bài tập này Làm được việc này sẽ góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi trong nhà trường nói riêng... của đè bài Vậy bất đẳng thức [(a+b):2]n ≤ ( an + bn ) : 2 với a+b ≥0 và n ∈ N được chứng minh Bài 2: Cho tam giác vuông a,b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của tam giác đó Chứng minh rằng: b2n + a2n ≤ c2n Giải: + Với n ≤ 1 theo định lý Pitago ta có b2 + a2 = c2 Bất đẳng thức đúng + Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≤ k tức là b2k + a2k ≤ c2k + Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với . thành kinh nghiệm về : “ Sử dụng Bất đẳng thức trong giải toán THCS . II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng, đặc biệt. Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≤ k. Bước 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n ≤ k +1. Bước 4: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n. 2.Kiến thức cần vận dụng: -Các tính chất của bất đẳng. bất đẳng thức trong tam giác 1. Nội dung phương pháp Nhiều bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giảI bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của bất