Page 1 of 2 T-2 Q Nguyên lí cực trị (Tổng điểm: 10) A Nguyên lí cực trị trong cơ học Xét một mặt phẳng nằm ngang   không có ma sát như thấy trên Hình 1. Mặt phẳng này được chia làm hai vùng, vùng I và vùng II, bởi đường thẳng AB thỏa mãn phương trình    . Thế năng của một hạt có khối lượng  trong vùng I là   còn trong vùng II là     . Hạt được phóng từ gốc tọa độ O với tốc độ   dọc theo phương lập với trục x góc   . Nó đi đến điểm P trong vùng II với tốc độ   theo phương lập với trục x góc   . Bỏ qua trọng lực và các hiệu ứng tương đối tính trong toàn bộ bài T-2. A1 Hãy tìm biểu thức của   theo ,   và   . 0.2 A2 Hãy biểu thị   theo   ,   và   . 0.3 Ta định nghĩa đại lượng gọi là tác dụng     , với  là quãng đường vô cùng bé dọc theo quỹ đạo của một hạt có khối lượng  chuyển động với tốc độ . Tích phân được lấy theo đường đi. Thí dụ, đối với một hạt chuyển động với tốc độ không đổi  trên một đường tròn có bán kính , tác dụng  cho một vòng là . Đối với một hạt có năng lượng không đổi , có thể chứng minh được rằng trong mọi quỹ đạo khả dĩ giữa hai điểm cố định, quỹ đạo thực tế của hạt là quỹ đạo mà trong đó  được định nghĩa như trên đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu). Điều này đã được biết đến với tên là Nguyên lý tác dụng tối thiểu (PLA – the Principle of Least Action). A3 Theo PLA thì quỹ đạo của một hạt chuyển động giữa hai điểm cố định trong vùng có thế năng không đổi là một đường thẳng. Cho hai điểm  và  trong Hình 1 với tọa độ lần lượt là và      và điểm trên biên mà tại đó hạt chuyển từ vùng I sang vùng II có tọa độ       Chú ý rằng   là cố định và tác dụng chỉ phụ thuộc vào tọa độ . Tìm biểu thức của tác dụng . Sử dụng PLA để tìm mối liên hệ giữa     và các tọa độ này. 1.0 B Nguyên lí cực trị trong quang học Một tia sáng truyền từ môi trường I sang môi trường II có chiết suất tương ứng là   và   . Hai môi trường được ngăn cách bởi một đường thẳng song song với trục x. Tia sáng lập với trục y một góc   trong môi trường I và góc and   trong môi trường II (xem Hình 2). Để tìm đường đi của tia sáng, ta dùng một nguyên lý cực trị (cực tiểu hoặc cực đại) khác gọi là nguyên lí Fermat về thời gian truyền ngắn nhất. B1 Nguyên lí Fermat phát biểu rằng khi truyền giữa hai điểm cố định, ánh sáng đi theo đường sao cho thời gian truyền giữa hai điểm là cực trị. Dựa vào nguyên lý Fermat, hãy tìm ra mối liên hệ giữa   và    . 0.5 Hình 3 là phác họa đường đi của tia laze chiếu nằm ngang vào dung dịch đường có nồng độ đường giảm dần theo độ cao. Do đó, chiết suất của dung dịch cũng giảm dần theo độ cao. B2 Giả thiết rằng chiết suất  chỉ phụ thuộc vào . Dùng phương trình thu được ở B1, hãy tìm biểu thức độ nghiêng  của đường truyền tia sáng theo   (chiết suất ở   ) và . 1.5 B3 Chùm laze hướng theo phương nằm ngang tại gốc tọa độ , đi vào dung dịch đường ở độ cao   so với đáy bình như trên Hình 3. Cho          với   và  là các hằng số dương. Hãy tìm biểu thức của  theo  và các đại lượng liên quan cho đường đi thực của tia laze. Em có thể dùng:      constant, với      hoặc                  1.2 Hình 2 Hình 3: Bình chứa dung dịch đường  𝜃  𝑦 𝑥  𝑥     𝛼  𝜃   𝑉  𝑉 𝑉  𝑥  𝑦      𝑥 𝑦  𝜃  𝑦 𝑥  𝑥     𝛼  𝜃   𝑉  𝑉 𝑉    𝑥  𝑦   𝑖  𝑖  𝑛  𝑛  𝛼 𝑦 𝑥  I II Hình 1 Page 2 of 2 T-2 Q B4 Hãy tìm giá trị   là tọa độ của điểm mà chùm laze chiếu tới đáy bình. Cho    cm,    ,  cm  (1 cm = 10 -2 m). 0.8 C Nguyên lý cực trị và bản chất sóng của vật chất Bây giờ ta khảo sát mối liên hệ giữa PLA và bản chất sóng của một hạt chuyển động. Muốn vậy, ta giả thiết rằng một hạt chuyển động từ  đến  có thể đi theo mọi quỹ đạo khả dĩ và ta đi tìm quỹ đạo phụ thuộc vào cực đại giao thoa của sóng de Broglie. C1 Khi hạt chuyển động dọc theo quỹ đạo của nó một khoảng vô cùng bé , hãy tìm mối liên hệ giữa độ biến thiên pha của sóng de Broglie của hạt với độ biến thiên tác dụng  và hằng số Planck. 0.6 C2 Xem lại bài toán ở phần A mà ở đó một hạt chuyển động từ  đến  (xem Hình 4). Đặt một màn chắn dọc theo biên AB giữa hai vùng. Trên AB, có một khe nhỏ  với độ rộng  sao cho       và     . Xét hai đường đi giới hạn  và  trong đó  nằm trên quỹ đạo cổ điển đã được xét ở phần A. Hãy tìm độ lệch pha   giữa hai đường đi trong phép gần đúng bậc nhất. 1.2 D Giao thoa sóng vật chất Súng electron ở  bắn ra một chùm electron chuẩn trực tới một khe hẹp  trên màn chắn     tại vị trí    sao cho  là đường thẳng.  là một điểm trên màn chắn tại vị trí    (xem Hình 5). Tốc độ trong miền I là        m s  và    . Thế năng trong miền II có giá trị sao cho tốc độ trong miền này là        m s  . Khoảng cách      là m (m   ). Bỏ qua tương tác giữa các electron. D1 Nếu các electron ở  đã được gia tốc từ trạng thái nghỉ, hãy tính điện áp gia tốc  . 0.3 D2 Tạo ra thêm trên màn chắn     một khe  giống hệt và nằm dưới khe  một khoảng nm (nm    m) (Hình 5). Nếu hiệu pha giữa các sóng de Broglie đi đến điểm P từ F và từ G là , hãy tính . 0.8 D3 Tìm khoảng cách nhỏ nhất  tính từ P mà tại đó không có electron đập vào màn? [Chú ý: em có thể dùng phép gần đúng         ]. 1.2 D4 Chùm tia có tiết diện ngang hình vuông    và hệ có độ dài 2 m. Hãy tìm mật độ thông lượng nhỏ nhất I min (số electron đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với chùm tia trong một đơn vị thời gian) nếu trung bình luôn có ít nhất một electron trong hệ tại mọi thời điểm. 0.4 Hình 4 Hình 5         𝑥  𝑦   𝑉 𝑉  𝑉   𝑦 𝑥 𝑥  𝑦  𝑥 𝑥  𝑥           215.00 nm  250 mm . Page 2 of 2 T -2 Q B4 Hãy tìm giá trị   là tọa độ của điểm mà chùm laze chiếu tới đáy bình. Cho    cm,    ,  cm  (1 cm = 10 -2 m). 0.8 C Nguyên lý cực. qua trọng lực và các hiệu ứng tương đối tính trong toàn bộ bài T -2. A1 Hãy tìm biểu thức của   theo ,   và   . 0 .2 A2 Hãy biểu thị   theo   ,   và   . 0.3 Ta định. bé , hãy tìm mối liên hệ giữa độ biến thi n pha của sóng de Broglie của hạt với độ biến thi n tác dụng  và hằng số Planck. 0.6 C2 Xem lại bài toán ở phần A mà ở đó một hạt chuyển động