SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP CẦN THƠ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014−2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (3 điểm). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 1 x y x + = − b) Xác định các giá trị của tham số thực m để đường thẳng 2y x m = − cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = 42 . Câu 2 (3 điểm). Giải phương trình, hệ phương trình trên tập số phức a) z 2 + 2z + 5 = 0. b) 2 2 w 3(1 ) w 13 z i z i + = +   + =  Câu 3 (4 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 1 : 1 ( ) 2 2 x t d y t t z t = − +   = + ∈   = +  ¡ 2 2 2 : 2 1 1 x y z d + + = = − a) Chứng minh hai đường thẳng d 1 và d 2 chéo nhau. b) Tính góc giữa hai đường thẳng d 1 và d 2 . c) Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 d và song song với 2 d HẾT Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 1 ĐÁP ÁN CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − có đồ thị (C) 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2 1 1 x y x + = − (C) 2 Tập xác định: D=R\{1} 1 1 2 1 2 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x − + → → + + = −∞ = +∞ − − Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng. 2 1 2 1 lim 2; lim 2 1 1 x x x x x x →−∞ →+∞ + + = = − − Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 3 ' 1 1 x x y x x − − + = = − − − Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng: ( ) ;1−∞ ; ( ) 1;+∞ . Hàm số không có điểm cực trị. Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞ y’ - - y 2 +∞ −∞ 2 Vẽ đồ thị x=2=>y=5 x=3=>y=7/2 x=0=>y=-1 x=-1=>y=1/2 Đồ thị hàm số nhận I(1;2) là tâm đối xứng. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 b) Xác định giá trị của tham số thực m để đường thẳng 2y x m = − cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN = 42 . 1 Phương trình hoành độ giao điểm : 2 1 2 ; 1 1 x x m x x + = − ≠ − ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 2 2 1 0 x x m x x m x m ⇔ + = − − ⇔ − + + − = Để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì 0.25 2 ( ) ( ) 2 2 4 4 13 0 3 2 4 2 1 0 3 0 1 m m m m x   + + > ∆ = + − − >  ⇔   − ≠ ≠    đúng với mọi giá trị của m. Vậy với mọi m đường thẳng luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N Gọi tọa độ của điểm M và N là: 1 1 2 2 ( ; 2 ), ( ; 2 )M x x m N x x m− − => ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4MN x x x x x x x x= − + − = + − Theo giả thiết ta có: ( ) ( ) 2 2 3 2 4 2 1 42m m   + − − =   2 4 4 8 0 1 2 m m m m ⇔ + − = =  ⇔  = −  Vậy m = 1 và m = 2− là các giá trị cần tìm. 0.25 0.25 0.25 2 Giải phương trình, hệ phương trình trên tập số phức 3 a) Giải phương trình z 2 + 2z + 5 = 0 1 Ta có: ∆ = -4 = 4i 2 ⇒ phương trình có hai nghiệm: z 1 = -1 +2i và z 2 = -1 – 2i. 1 b) Giải hệ phương trình 2 2 w 3(1 ) w 13 z i z i + = +   + =  2 Hệ đã cho tương đương với 2 w 3(1 ) ( ) 2 13 w 3(1 ) 5 2 z i z w zw i z i zw i + = +   + − =  + = +   ⇔  =   ⇒ z, w là các nghiệm của phương trình: t 2 -3(1+i) + 5 2 i = 0 Ta có: ∆ = 8i = 2 4(1 )i+ ⇒ Phương trình có hai nghiệm 5 5 2 2 1 1 2 2 t i t i  = +    = +   Vậy hệ đã cho có nghiệm 5 5 1 1 1 1 5 5 ; ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i     + + + +  ÷  ÷     0.5 0.5 0.5 0.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 3 3 1 1 ( ): 1 ( ) 2 2 x t d y t t z t = − +   = + ∈   = +  ¡ 2 2 2 ( ) : 2 1 1 x y z d + + = = − 4 a) Chứng minh hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. 2 Ta có đường thẳng (d 1 ) đi qua điểm ( 1;1;2)A − và nhận 1 (1;1;2)u = ur là một vtcp đường thẳng (d 2 ) đi qua điểm B ( 2; 2;0) − − và nhận 2 (2; 1;1)u = − uur là một vtcp Khi đó 1 2 1 2 ( 1; 3; 2) . ; 6 0 ; (3;3; 3) AB AB u u u u  = − − −    ⇒ = − ≠      = −     uuur uuur ur uur ur uur Vậy hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. 0.5 0.5 1 b) Tính góc giữa hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). 1 1 2 1 2 1 2 . 1 os(d ,d ) 2 . u u c u u = = ur uur ur uur 0 1 2 ( ; ) 60d d⇒ = 0.75 0.25 c) Viết phương trình mặt phẳng chứa d 1 và song song với d 2 1 Mặt phẳng cần tìm có 1 pvt là (1;1; 1)n = − r Phương trình mặt phẳng là 2 0x y z+ − + = 0.5 0.5 GHI CHÚ: • Mọi cách giải khác nếu đúng trong từng câu vẫn cho điểm tương ứng của từng câu đó. • Làm tròn điểm theo quy định. MA TRẬN ĐỀ 4 Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2 điểm) Mô tả Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Câu hỏi/Bài tập Câu 1a Giao điểm của hai đồ thị (1 điểm) Mô tả Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thỏa một điều kiện cho trước Câu hỏi/Bài tập Câu 1b Giải phương trình trên tập số phức (1 điểm) Mô tả Giải phương trình Câu hỏi/Bài tập Câu 2a Giải hệ phương trình trên tập số phức (2 điểm) Mô tả Giải hệ phương trình Câu hỏi/Bài tập Câu 2b Đường thẳng trong không gian Oxyz (2 điểm) Mô tả Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau Câu hỏi/Bài tập Câu 3a Đường thẳng trong không gian Oxyz Mô tả Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Câu hỏi/Bài 5 (1 điểm) tập Câu 3b Đường thẳng trong không gian Oxyz (1 điểm) Mô tả Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau Câu hỏi/Bài tập Câu 3c 6 . VÀ ĐÀO TẠO TP CẦN THƠ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014−2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian làm bài: 60 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 (3. trong từng câu vẫn cho điểm tương ứng của từng câu đó. • Làm tròn điểm theo quy định. MA TRẬN ĐỀ 4 Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2 điểm) Mô. đường thẳng d 1 và d 2 . c) Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 d và song song với 2 d HẾT Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 1 ĐÁP ÁN CÂU NỘI