hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn Toán.– Thời gian làm bài: 180’ Câu 1* (2đ): Cho hàm số: ( ) 2 1 1 x y C x + = − a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Định m để đường thẳng (d): y = mx + 3 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm A, B sao cho tam giác OMN vuông tại O Câu 2* (1đ): a) Giải phương trình lượng giác: 2 2 cos 3 cos 3sin 3sin 0x x x x + + − = b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: 1 1 3 3 2 2 z i i   − = +  ÷   . Tính môđun của số phức w = 1 + I + z Câu 3* (0,5đ): Giải phương trình: ( ) 2 2 2 1 3 log 2 3 log 0 2 3 x x x x + + − + = − Câu 4 (1đ): Giải hệ phương trình: 12 1 2 3 12 1 6 3 x y x y y x    − =   ÷ +       + =  ÷  +    Câu 5* (1đ) Tính tích phân: 9 4 1 xdx x − ∫ Câu 6* (1đ): Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) 1 1 2 1 3 x y z + − = = trên mặt phẳng (P): x + y – z +1 =0. Câu 7 (1đ): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 1 1 25x y − + − = và điểm M (7,3). Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho MA = 3MB Câu 8 (1đ): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = 2a. Mặt bên (SBC) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt (SAB) và (ABC) bằng 30 0 . Tính thể tích khối chóp SABC và khoáng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a Câu 9* (0,5đ): Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh ngọt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh. Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt. Câu 10 (1đ): Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3. Tính góc giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 a bc b ca c ab P b ca c ab a bc + + + = + + + + + hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT C âu Điểm 1a Cho hàm số 2 1 1 + = − x y x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số • Tập xác định: { } D \ 1 = ¡ • 2 3 y' x D (x 1) − = ∀ ∈ − • x lim y 2 →±∞ = y 2 ⇒ = là tiệm cận ngang. x 1 x 1 lim y lim y + − → → = +∞ = −∞ x 1 ⇒ = là tiệm cận đứng. • BBT: Hàm số nghịch biến trên ( ,1) −∞ và (1, ) +∞ . Hàm số không có cực trị. • Điểm đặc biệt: • Vẽ đồ thị: 0,25 0,5 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 1b b) Định m để đường thẳng d: y = mx + 3 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm M, N sao cho ∆ OMN vuông tại O. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2x 1 mx 3 x 1 + = + − 2x 1 (mx 3)(x 1) ⇔ + = + − 2 mx (1 m)x 4 0 (*) ⇔ + − − = (C) cắt d tại hai điểm phân biệt 2 m 0 m 14m 1 0 ≠   ⇔ ⇔  + + >   m 0 m 7 4 3 m 7 4 3 ≠   < − − ∨  > − +   Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình (*) 1 2 1 2 m 1 x x m 4 x x m −  + =   ⇒  −  =   Khi đó 1 1 OM (x ;mx 3)= + uuuur , 2 2 ON (x ;mx 3) = + uuur OMN ∆ vuông tại O nên 2 1 2 1 2 OM.ON 0 (1 m )x x 3m(x x ) 9 0= ⇔ + + + + = uuuur uuur 2 4(1 m ) 3m(m 1) 9 0 m m − + − ⇔ + + = 2 m 6m 4 0⇔ − + = m 3 5 (n) m 3 5 (n)  = + ⇔  = −   0,25 0,25 0,5 2a a) Giải phương trình lượng giác: 2 2 3 3 3 0 + + − = cos x cos x sin x sin x 2 2 cos x 3 cos x 3sin x 3sin x 0 + + − = 2 2 3 3 cosx 3sin x 2 2     ⇔ + = −  ÷  ÷     hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 3 3 cosx 3sin x 2 2 3 3 cosx 3sin x 2 2  + = −   ⇔  + = − +   3sin x cosx 0 (1) 3sin x cosx 3 (2)  + = ⇔  − =   (1) 1 tan x 3 ⇔ = − x k 6 π ⇔ = − + π (2) sin x sin 6 3 π π   ⇔ − =  ÷   x k2 2 5 x k2 6 π  = + π  ⇔  π  = + π   Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x k 6 π = − + π hay x k2 2 π = + π . 0,5 0,5 2b Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:   − = +  ÷   1 1 z 3 i 3 i 2 2 . Tính môđun của số phức w = 1 + i + z 1 1 z 3 i 3 i 2 2   − = +  ÷   1 3 i 35 12 2 z i 1 37 37 3 i 2 + ⇔ = = + − 72 49 w 1 i z i 37 37 = + + = + 2 2 72 49 7585 w 37 37 37     ⇒ = + =  ÷  ÷     0,25 0,25 3 Bài 3. Giải phương trình: ( ) − + − + = + 2 1 2 2 1 x 7 log x 2x 3 log 0 2 x 3 Điều kiện: x 3 x 7 < − ∨ > Phương trình 2 2 2 x 7 log (x 2x 3) log 0 x 3 − ⇔ + − − = + 2 2 (x 2x 3).(x 3) log 0 x 7 + − + ⇔ = − 2 (x 2x 3).(x 3) 1 x 7 + − + ⇔ = − 3 2 x 5x 2x 2 0⇔ + + − = 2 (x 1)(x 4x 2) 0 ⇔ + + − = 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 x 1 x 4x 2 0 = −  ⇔  + − =  x 1 x 2 6 x 2 6 = −  ⇔  = − − ∨ = − +  So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 2 6 = − − . 0,25 4 Bài 4. Giải hệ phương trình:    − =   ÷ +       + =  ÷  +    12 1 x 2 y 3x 12 1 y 6 y 3x Điều kiện: x > 0 và y > 0. 12 1 x 2 y 3x 12 1 y 6 y 3x    − =   ÷ +       + =  ÷  +    12 2 1 (1) y 3x x 12 6 1 (2) y 3x y  − =  +  ⇔   + =  +  (1) + (2): 2 6 1 3 2 1 x y x y = + ⇔ = + (*) (2) – (1): 12 3 1 y 3x y x = − + (*) 12 3 1 3 1 y 3x y x y x    ⇔ = − +  ÷ ÷  ÷ ÷ +    12 9 1 y 3x y x ⇔ = − + 2 2 y 6xy 27x 0 ⇔ + − = y 3x y 9x =  ⇔  = −  So với điều kiện, nhận y = 3x (*) x 4 2 3 y 12 6 3 ⇔ = + ⇒ = + Vậy hệ phương trình có nghiệm x 4 2 3 y 12 6 3  = +   = +   0,25 0,25 0,25 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 5 Bài 5. Tính tích phân = − ∫ 9 4 xdx I x 1 Đặt 2 t x t x = ⇒ = 2tdt dx ⇒ = Đổi cận: x = 4 t 2 ⇒ = x = 9 t 3 ⇒ = 3 3 3 2 2 2 t dt 1 I 2 2 t t 1 dt t 1 t 1   = = + + +  ÷ − −   ∫ ∫ 3 3 2 2 t t 59 2 t ln t 1 2ln 2 3 2 3   = + + + − = +  ÷  ÷   0,25 0,5 0,25 6 Bài 6. Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d x y 1 z 1 2 1 3 + − = = trên mặt phẳng (P): x + y – z +1 =0. PTTS của x 2t d : y 1 t z 1 3t =   = − +   = +  Thay x, y, z của phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2t – 1 +t – 1 – 3t + 1 = 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm ⇒ d // (P). Lấy điểm A(0; 1;1) d − ∈ . Gọi ∆ là đường thẳng qua A và vuông góc với mp(P) x t : y 1 t z 1 t =   ⇒ ∆ = − +   = −  Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) H (P) ⇒ = ∆ ∩ Thay x, y, z của phương trình ∆ vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: t – 1 + t – 1 + t + 1 = 0 1 t 3 ⇔ = 1 2 2 H ; ; 3 3 3   ⇒ −  ÷   Gọi d’ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) d'⇒ qua H và song song với d 0,25 0,5 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 1 x 2t 3 2 d' : y t 3 2 z 3t 3  = +   ⇒ = − +   = +   0,25 7 Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): ( ) ( ) − + − = 2 2 x 1 y 1 25 và điểm M(7;3). Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A ,B sao cho MA = 3MB. Đường tròn (C) có tâm I(1;1) và bán kính R = 5. Ta có IM = 2 10 R > ⇒ M nằm ngoài đường tròn (C). Gọi H là trung điểm AB mà MA = 3MB ⇒ B là trung điểm MH Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 IH MH 40 IH 4BH 40 IH BH 25 IH BH 25   + = + =   ⇔   + = + =     2 IH 20 IH 2 5 ⇔ = ⇔ = Đường thẳng d qua M(7;3) và có VTPT n(a;b) r với 2 2 a b 0+ > : a(x 7) b(y 3) 0 − + − = ax by 7a 3b 0 ⇔ + − − = Ta có: 2 2 a b 7a 3b IH d(I,d) 2 5 a b + − − = = = + 2 2 3a 2b 5 a b ⇔ + = + 2 2 2a 3ab 2b 0⇔ + − = b a 2 a 2b  =  ⇔  = −  • b a d : x 2y 13 0 2 = ⇒ + − = • a 2b d : 2x y 11 0 = − ⇒ − − = 0,25 0,25 0,25 0,25 8 Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2a. Mặt bên (SBC) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt (SAB) và (ABC) bằng 30 o . Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a. • Tính V S.ABC Gọi H là trung điểm BC. Do SBC ∆ cân tại S nên SH BC ⊥ . Ta có: (SBC) (ABC) (SBC) (ABC) BC SH (ABC) SH BC ⊥   ∩ = ⇒ ⊥   ⊥  Gọi K là trung điểm của AB ⇒ HK // AC mà AC AB ⊥ HK AB ⇒ ⊥ và SH AB ⊥ (do SH (ABC) ⊥ ) AB (SHK) AB SK ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (SAB) (ABC) AB SK AB HK AB ∩ =   ⊥   ⊥  ⇒ Góc giữa (SAB) và (ABC) là · o SKH 30 = o SH a 3 tan30 SH HK 3 = ⇒ = 3 S.ABC ABC 1 a 3 V .SH.S 3 9 ∆ ⇒ = = • Tính d(SC,AB) Vẽ hình chữ nhật BKEC ⇒ CE // AB mà AB (SHK) ⊥ ⇒ CE (SHK) ⊥ d(AB,SC) = d(AB,(SEC)) = d(K,(SEC)) = 2 d(H,(SEC)) Kẻ HF SE ⊥ và HF CE ⊥ ⇒ HF (SEC) ⊥ Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 4 HF HE SH a a a = + = + = a HF 2 ⇒ = ⇒ d(H,(SEC)) = a 2 ⇒ d(AB,SC) = a. 0,25 0,25 0,25 0,25 9 Bài 9. Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh ngọt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh. Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử. Gọi A là biến cố “Trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt”. 0,25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 2 5 2 4 2 8 5 3 n( ) (C ) , n(A) 5.(C ) .C ⇒ Ω = = 2 4 2 5 3 2 5 8 5.(C ) .C 9375 P(A) 0,0087 (C ) 1075648 ⇒ = = ≈ 0,25 10 Bài 10. Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 + + + = + + + + + a bc b ca c ab P b ca c ab a bc Xét 2 2 2 1 a bc b ca c ab P 3 3b 3ca 3c 3ab 3a 3bc + + + = + + + + + Ta có 3b 3ca b(a b c) 3ca b(a b c) ca 2ca + = + + + = + + + + mà 2 2 a c 2ac + ≥ nên 2 2 2 3b 3ca ab b bc ca a c + ≤ + + + + + Chứng minh tương tự ta có: 2 2 2 3c 3ab ac c bc ab a b + ≤ + + + + + 2 2 2 3a 3bc a ab ac bc c b + ≤ + + + + + Khi đó 2 2 2 2 2 2 1 a bc b ca c ab P 1 P 3 3 ab b bc ca a c + + + + + ≥ = ⇔ ≥ + + + + + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy MinP 3 = khi a = b = c = 1. 0,25 0,5 0,25 . - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn Toán. – Thời gian làm bài: 180’ Câu 1* (2đ): Cho hàm số: (. kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT C âu Điểm 1a Cho hàm số 2 1 1 + = − x y x a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số • Tập xác định: { } D 1 = ¡ • 2 3 y'. x 2 2     ⇔ + = −  ÷  ÷     hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 3 3 cosx 3sin x 2 2 3 3 cosx 3sin x 2 2  + = −   ⇔  +