KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 10) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất 2015!(Kèm đáp án chi tiết tại)! https://www.facebook.com/profile.php?id=100005223169289 Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2 y x x      C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tìm m để đường thẳng d: y = m(2-x) +2 cắt đồ thị   C tại 3 điểm phân biệt A(2; 2), B, C sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị   C tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II (1 điểm) Giải phương trình: 3 sin 2 cos 2 5sin (2 3) cos 3 3 1 2cos 3 x x x x x         Câu III (1 điểm) Tính tích phân 3 2 2 1 log 1 3ln e x I dx x x    Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân tại C, AB =3a, 2 14a SB  . Gọi G là trọng tâm ∆ABC, SG  (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC). Câu V (1 điểm) ): Cho 3 số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 3 1 2 2 2 a b c a b b c c a       Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm C(3; -3) và điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = 0. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = 0. Xác định tọa độ các điểm A, B, D. Câu VII (1 điểm Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau: 1 2 x 1 2t x y 1 z 2 d : ; d : y 1 t 2 1 1 z 3                 Câu VIII (1 điểm) Trong khai triển 124 4 )53(  có bao nhiêu số hạng là số hữu tỷ. Câu IX (1 điểm) Giải phương trình:   4251 2 2 2  xxx CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì! - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Hướng dẫn Câu I 1 . - TXĐ: D = R. - Sự biến thiên: + Giới hạn tại vô cực: ; lim lim x x y y       + Chiều biến thiên: 2 x 0 y' 3x + 6x ; y' 0 x 2          Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (- ∞; 0) và (2; + ∞), đồng biến trên (0; 2) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y CT = -2; đạt cực đại tại x = 2; y CĐ = 2 - Bảng biến thiên: x - ∞ 0 2 + ∞ y’ - 0 + 0 - y +∞ 2 -2 -∞ Đồ thị : Một số điểm thuộc đồ thị hàm số: (1;0), (-1;2), (3; -2) 2 Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) : -x 3 + 3x 2 - 2 = m(2-x) +2 (1)       )2(0m2xx)x(f 2x 2 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt  pt (1) có 3 nghiệm phân biệt  pt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2                     0m 4 9 m 0m 09m4 0)2(f 0 Hoành độ điểm B và C là nghiệm của pt(2). Ta có: x B + x C = 1 và x B .x C = -m -2 Tích hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại B và C là: y’(x B ). y’(x C ) = (3x B 2 -6 x B ) (3x C 2 - 6x C ) = 9(m+1) 2 -9 ≥ -9   0\); 4 9 (m    . Dấu "=" xẫy ra khi m = -1. Vậy y’(x B ). y’(x C ) nhỏ nhất bằng -9 đạt được khi m = -1 Câu II Điều kiện: 2 3 xcos  Phương trình đã cho tương đương với: 03xcos3xsin5x2cosx2sin3           2xsinxcos3 2 1 xsin 0)2xsinxcos3)(1xsin2( 02xsin5xsin2xcos3xcosxsin32 2                   2k 6 x1) 3 xsin(2xsinxcos3 2k 6 5 x 2k 6 x 2 1 xsin Đối chiếu điều kiện => nghiệm của phương trình là    2k 6 x Câ u III 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 ln log 1 ln . ln ln 2 . ln 2 1 3ln 1 3ln 1 3ln e e e x x x xdx I dx dx x x x x x x                Đặt 2 2 2 1 1 1 3ln ln ( 1) ln . 3 3 dx x t x t x tdt x        . Đổi cận … Suy ra     2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 log 1 1 1 3 . 1 ln 2 3 9ln 2 1 3ln e t x I dx tdt t dt t x x          2 3 3 3 1 1 1 4 9ln 2 3 27 ln 2 t t          Câu IV . S I B A G- K C Gọi I là trung điểm của AB => 2 a IG 2 a3 CI  ∆IGB vuông tại I => GB 2 = IG 2 + IB 2 = 2 a5 2 ∆SGB vuông tại G => SG 2 = SB 2 - GB 2 = a 2 => SG = a. 4 a3 a3. 2 a3 . 2 1 .a 3 1 .SG 3 1 V 3 ABCABC.S S   Kẻ GK//BC (KAC)  AC  (SGK)  SK  AC ∆GKC vuông cân tại K  GK =GCsin45 0 = 2 a ∆SGK vuông tại G  2 6a GKSGSK 22  ∆AIC vuông tại I  2 a3 ICIAAC 22  S ∆SAC 4 3a3 AC.SK 2 1 2  . 3 ( ; ( )) 3 S ABC SAC V d B SAC a S    C âu V 2 3 3 23 3 3 3 63 2 2 2 2 ( 1) 2 3 9 3 2 4 9 9 a ab ab a a a b a a b a a a b a b b ab a b ab                 Tương tự: 2 2 3 3 2 4 2 4 ; 2 9 9 2 9 9 b c b c bc c a ca b c c a         Do đó: 2 2 2 3 3 3 2 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 9 a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a              2 7 4 ( ) 1 3 9 3 a b c     Câu VI A  d  A(t; 2 -3t) Ta có: d(C; DM) = 2 1 d(A; DM)  | 4t -4 | = 8 | t - 1 | = 2       1t 3t t = 3  A(3, -7) (loại vì A, C phải khác phía đối DM) t = -1  A(-1, 5) (thỏa mãn) Giả sử D(m; m-2). )3;5(D5m )1m()3m()7m()1m( 0)1m)(7m()3m)(1m( CDAD CDAD 2222               Gọi I là tâm của hình vuông  I là trung điểm của AC  I (1; 1) Do I là trung điểm của BD  B(-3; -1) Câu VII Gọi     1 2 M d M 2t;1 t; 2 t , N d N 1 2t ';1 t ';3           Câu VIII Ta có: 124 1 1 124 62 124 4 2 4 2 4 124 0 ( 3 5) 3 5 ( 1) . .3 .5 k k k k k C               Số hạng thứ ( k + 1) là số hữu tỷ 62 2 4 0 124 k N k N k N k                 4 0 31 k i i N i            i  {0; 1; 2…; 31}. Vậy có 32 số hạng hữu tỷ. Câu IX Phương trình đã cho tương đương với: 4x2x51x2x 224  )2x(2x4)2x(x 222  Đặt 2 t )2x(x)2x(2.xt)2x(2xt 2 222222  Phương trình trở thành       2t 4t 08t2tt4 2 t 2 2 2x 2x 0x 08x2x 0x 4)2x(2x4t 224 2              31x 31x 0x 02x2x 0x 2)2x(2x2t 2 24 2                                1 1 MN 2t 2t ' 1; t t '; t 5 2 2t 2t ' 1 t t ' t 5 0 MN.u 0 2 2t 2t ' 1 t t ' 0 MN.u 0 6t 3t ' 3 0 t t ' 1 3t 5t ' 2 0 M 2;0; 1 , N 1;2;3 ,MN 1;2;4 x 2 y z 1 PT MN : 1 2 4                                                                  . KỲ THI THỬ TUYỂN SINH QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: Toán (đề 10) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi được soạn theo cấu trúc mới nhất. https://www.facebook.com/profile.php?id =100 005223169289 Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 3 2 y x x      C a. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số. b. Tìm m để đường thẳng d: y. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y CT = -2; đạt cực đại tại x = 2; y CĐ = 2 - Bảng biến thi n: x - ∞ 0 2 + ∞ y’ - 0 + 0 - y +∞ 2 -2 -∞ Đồ thị : Một số điểm thuộc đồ thị hàm số: