SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH Trường: Họ tên HS: Số báo danh: ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: TOÁN LỚP 12 THPT Thời gian 90 phút (không kể thời gian phát đề) Đề có 01 trang gồm có 5 câu I.PHẦN CHUNG. (7.0 điểm). Dành chung cho tất cả các thí sinh. Câu 1. (2.5 điểm). Cho hàm số: = − +y x x 3 2 3 1 ( ) C a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm m để phương trình: 3 2 3 0x x m− − = có 3 nghiệm phân biệt. Câu 2. (1.5 điểm ). Tính các tích phân sau. a. 2 2 1 1 ( 2 5 )I x x dx x = − + − ∫ . b. ( ) 2 2 0 2 os2x .cosxdxI c π = − ∫ Câu 3. (3.0 điểm ). Trong không gian toạ độ Oxyz cho 4 điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) 3;9;8 , 3; 2;0 , 0;2;1 , 1;1;2A B C D− − a. Viết phương trình mặt phẳng ( )BCD . b. Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên mặt phẳng ( )BCD c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( )BCD II.PHẦN RIÊNG.( 3.0 điểm). ( Thí sinh chỉ được chọn một trong hai chương trình ). Phần I. ( Chương trình chuẩn). Câu 4a.(1.5 điểm): Cho số phức z thoả mãn: ( ) 1 3 4 1 3i z i i+ − + = − + . Tìm z ? Câu 5a. (1.5 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường: . x y x e= , 0y = và hai đường thẳng 0; 1x x= = , khi quay quanh Ox. Phần II. ( Chương trình nâng cao). Câu 4b.(1.5 điểm). Giải phương trình sau trên C: 2 (z 2 ) 2( 2 ) 3 0i z i+ + + − = Câu 5b. (1.5 điểm): Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường: 1. x y x e= + , 0y = và hai đường thẳng 0; 1x x= = , khi quay quanh Ox. Hết SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Toán lớp 12 THPT (Hướng dẫn chấm này có 06 trang) YÊU CẦU CHUNG *Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Học sinh có lời giải khác so với đáp án, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. * Điểm bài kiểm tra là tổng các điểm thành phần. Nguyên tắc làm tròn điểm bài kiểm tra học kì theo Quy chế đánh giá, xếp loại học sinh. * Đối với phần riêng, nếu thí sinh làm bài theo đề cả hai chương trình thì không chấm điểm phần này. Câu Nội dung Biểu điểm I.PHẦN CHUNG. (7.0 điểm). Dành chung cho tất cả các thí sinh. 7.0 điểm Câu1 2.5 điểm a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : = − +y x x 3 2 3 1 2.0 điểm • TXĐ: D R = . • Sự biến thiên: +. Chiều biến thiên: Ta có : = −  = ⇒ = = ⇔  = ⇒ = −  y x x x y y x y 2 ' 3 6 0 1 ' 0 2 3 Trên khoảng ( ;0) −∞ và (2; ) +∞ ; y’>0 ⇒ Hàm số đồng biến Trên khoảng (0;2) ; y’<0 ⇒ Hàm số nghịch biến +. Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, (0) 1 CĐ y y= = Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, (2) 3 CT y y= = − +. Giới hạn: lim ; lim . x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ +. BBT: 0,25đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ x – ∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + y + ∞ 1 -3 – ∞ • Đồ thị: +. Điểm đặc biệt: ( 1; 3); (3;1)− − x y 2 3 1 -3 -1 1 + NX: đồ thị nhận điểm uốn (1; 1)I − làm tâm đối xứng. 0,25đ 0,5đ b. Tìm m để phương trình: 3 2 3 0x x m− − = có 3 nghiệm phân biệt. 0.5 điểm Ta có : 3 2 3 0x x m− − = 3 2 3 1 1x x m⇔ − + = + Dựa vào đồ thị (C) để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 3 1 1 4 0m m− < + < ⇔ − < < 0.25đ 0.25đ Câu2 Tính các tích phân sau: 1.5 điểm a. 2 2 1 1 ( 2 5 )I x x dx x = − + − ∫ . 0.5 điểm Ta có: 2 3 2 2 2 1 1 1 ( 2 5 ) ( 5 ln ) 3 8 1 13 4 10 ln 2 ( 1 5 ln1) ln2 3 3 3 x I x x dx x x x x = − + − = − + − = − + − − − + − = − ∫ 0.25đ 0.25đ b. ( ) 2 2 0 2 os2x .cosxdxI c π = − ∫ 1.0 điểm Ta có: ( ) 2 2 0 2 os2x .cosxdxI c π = − ∫ ( ) 2 2 2 0 1 2sin .cosxdxx π = + ∫ Đặt: sinx cosxdxt dt= ⇒ = Đổi cận: 0 0 1 2 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = Khi đó: 1 2 2 0 1 2 4 0 1 3 5 0 (1 2 ) (1 4 4 ) 4 4 47 (t 4. 4. ) 1 3 5 3 5 15 I t dt t t dt t t = + = + + = + + = + + = ∫ ∫ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu3 Trong không gian toạ độ Oxyz cho 4 điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) 3;9;8 , 3; 2;0 , 0;2;1 , 1;1;2A B C D− − 3.0 điểm a. Viết phương trình mặt phẳng (BCD) 1.0 điểm Ta có: ( 3;4;1) ( 4;3;2) ; (5;2;7) BC BD BC BD = − = −   ⇒ =   uuur uuur uuur uuur Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua (3; 2;0)B = − và nhận ; (5;2;7)BC BD   =   uuur uuur làm một véc tơ pháp tuyến, do đó có phương trình tổng quát là: 5( 3) 2( 2) 7( 0) 0 5 2 7 11 0x y z x y z− + + + − = ⇔ + + − = 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b. Tìm tọa độ hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD) 1.25 điểm Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) nên 0.25đ ∆ nhận véc tơ (5;2;7)n = r làm một véc tơ chỉ phương, do đó ∆ có phương trình tham số là: 3 5 9 2 ( ) 8 7 x t y t t R z t = +   = + ∈   = +  Khi đó tọa độ điểm H chính là nghiệm ( ) ; ;x y z của hệ phương trình: 3 5 9 2 8 7 5 2 7 11 0 x t y t z t x y z = +   = +   = +   + + − =  ( ) 1 2 2;7;1 7 1 t x H y z = −   = −  ⇔ ⇒ = −  =   =  Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là: ( ) 2;7;1H = − 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( )BCD 0.75 điểm Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 7 9 1 8 78AH R= − − + − + − = = Vậy phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 9 8 78x y z− + − + − = 0.5đ 0.25đ II.PHẦN RIÊNG. ( Thí sinh chỉ được chọn một trong hai chương trình ). 3.0 điểm Câu 4a Cho số phức z thoả mãn: ( ) 1 3 4 1 3i z i i+ − + = − + . Tìm z ? 1.5 điểm Ta có: ( ) 1 3 4 1 3i z i i+ − + = − + ( ) 1 2i z i⇔ + = − ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 3 2 2 i z i i i z z i − ⇔ = + − − ⇔ = ⇔ = − Vậy 2 2 1 3 10 2 2 2 z     = + − =  ÷  ÷     0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Câu 5a Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường: . x y x e= , 0y = và hai đường thẳng 0; 1x x= = , khi quay quanh Ox. 1.5 điểm Ta có: [ ] . 0, 0;1 x x e x≥ ∀ ∈ Khi đó thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh Ox là: 1 1 2 2 0 0 ( . ) . x x V x e dx x e dx π π = = ∫ ∫ Đặt: 2 2 1 2 x x du dx u x dv e dx v e =   =   ⇒   = =     Vậy: ( ) 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 4 1 2 4 4 1 ( ) 4 x x x x V xe e dx xe e e e e dvtt π π π π   = −  ÷  ÷     = −  ÷  ÷       = − −    ÷     = + ∫ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu 4b Giải phương trình sau trên C: 2 (z 2 ) 2( 2 ) 3 0i z i+ + + − = 1.5 điểm Đặt: 2t z i= + . Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2 1 2 3 0 3 t t t t =  + − = ⇔  = −  *. Với: 1t = , ta có: 2 1 1 2z i z i+ = ⇔ = − *. Với: 3t = − , ta có: 2 3 3 2z i z i+ = − ⇔ = − − Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 1 2 à 3 2z i v z i= − = − − 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 5b Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường: 1. x y x e= + , 0y = và hai đường thẳng 0; 1x x= = , khi quay quanh Ox. 1.5 điểm Ta có: [ ] 1. 0, 0;1 x x e x+ > ∀ ∈ Khi đó thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh Ox là: 1 1 2 2 0 0 ( 1. ) ( 1). x x V x e dx x e dx π π = + = + ∫ ∫ 0.25đ Đặt: 2 2 1 1 2 x x du dx u x dv e dx v e =   = +   ⇒   = =     Vậy: ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 2 2 1 1 ( 1) 2 2 1 1 ( 1) 2 4 1 1 2 1 2 4 4 3 1 ( ) 4 x x x x V x e e dx x e e e e e dvtt π π π π   = + −  ÷  ÷     = + −  ÷  ÷       = − − −    ÷     = − ∫ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Hết . SỞ GD VÀ ĐT QUẢNG BÌNH Trường: Họ tên HS: Số báo danh: ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 201 3-2 014 MÔN: TOÁN LỚP 12 THPT Th i gian 90 phút (không kể th i gian phát đề) Đề có 01 trang. i m b i kiểm tra học kì theo Quy chế đánh giá, xếp lo i học sinh. * Đ i v i phần riêng, nếu thí sinh làm b i theo đề cả hai chương trình thì không chấm i m phần này. Câu N i dung Biểu i m I. PHẦN. bước trước thì cho i m 0 đ i v i những bước gi i sau có liên quan. * Học sinh có l i gi i khác so v i đáp án, nếu đúng vẫn cho i m t i đa. * i m b i kiểm tra là tổng các i m thành phần. Nguyên