SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT HOÀI ÂN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Toán Năm học 2014-2015 Thời gian làm bài : 120’ Bài 1.(2 điểm) Giải phương trình: 3 2 543 27 3 9 13 3 2 90 x x x x − + + − = − + Bài 2. (2 điểm) Giải hệ phương trình: 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y  + + + − =     + + =   Bài 3 (2 điểm): Cho a, b, c >0 thỏa 21ab+2bc+8ca 12. Tìm GTNN của biểu thức: 1 2 3 P a b c = + + Bài 4 (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a và BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 2 6 a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hết Bài YÊU CẦU Điểm 1 Tập xác định D= 3 1; 2       0.5 Đặt 3 2 ( ) 3 9 13 3 2f x x x x x = + + − − − Ta có 3 '( ) 0, 1; 2 f x x   > ∀ ∈  ÷   nên hàm số đồng biến trên 3 1; 2    ÷   0.5 4 543 27 3 9 f −   =  ÷   . Do đó 4 3 x = là nghiệm duy nhất của phương trình. 1.0 2 Điều kiện 1 0 3 0 x y x y  + ≥    + − ≥  Đặt 1 , , 0 3 u x y u v v x y  = +  ≥   = + −  . Hệ trở thành 2 2 3 5 u v u v + =   + =  0.5 Giải ra ta được 2 1 1 2 u u v v = =   ∨   = =   0.5 + 3 1 2 1 5 1 x y u v x y  =    = =    ⇔   = =     = −    4 10 3 10 1 2 4 10 3 10 x y u v x y   = −     = + =    ⇔   =   = +     = −     1 câu 3 Đặt 1 2 3 , ,x y z a b c = = = . ĐK bài toán thành: , , 0 2 2 4 7 x y z xyz x y z >   ≥ + +  Bài toán quy về tìm GTNN của p = x+y+z. Từ ( ) 2 2 4 7 2 7 2 4xyz x y z z xy x y≥ + + ⇒ − ≥ + 2 7 2 4 2 7 xy x y z xy >   ⇒ +  ≥  −  Khi đó: 14 2 2 4 11 7 2 7 2 2 2 7 x x y x P x y x y xy x x xy + + ≥ + + = + + − + − − 2 11 7 2 1 2 x x x ≥ + + + (AM-GM) 1.0 Dể dàng CM được 2 7 3 7 2 1 2 x x + + ≥ 7 3 11 3 9 3 9 15 2 . 2 2 2 2 2 x P x x x x x x + ≥ + + = + + ≥ + = (AM-GM) Dấu “=” xảy ra khi 5 3, , 2 2 x y z= = = hay 1 4 3 , , 3 5 2 a b c= = = Vậy 15 1 4 3 min , , . 2 3 5 2 P khi a b c= = = = 1.0 Câu 4 (4,0 điểm) Gọi H là hình chiếu của S trên ( )ABCD , suy ra H AB∈ (do ( ) ( )SAB ABCD⊥ ). CB HB ⊥ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABCD là góc SBH. Hạ ( )HE CD E CD⊥ ∈ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( )SCD và ( )ABCD là góc SEH. Do đó SBH=SEH 2HB HE a⇒ = = . Ta được //BD AE //( )BD SAE⇒ d( , ) d( ,( )) d( ,( ))SA BD B SAE H SAE⇒ = = (do A là trung điểm HB ) 2 d( ,( )) 6 a H SAE⇒ = . 2,0 Nhận xét rằng , ,HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra: 2 2 2 2 1 1 1 1 d ( ,( ))H SAE HA HE HS = + + 2 2 2 2 3 1 1 1 2 4a a a HS ⇔ = + + 2SH a⇔ = . Thể tích: 3 ( . ) ( ) 1 4 . 3 3 S ABCD ABC D a V S SH= = . 2,0 S A B C D E t H . SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT HOÀI ÂN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Toán Năm học 201 4-2 015 Thời gian làm bài : 120’ Bài 1.(2 điểm). Khi đó: 14 2 2 4 11 7 2 7 2 2 2 7 x x y x P x y x y xy x x xy + + ≥ + + = + + − + − − 2 11 7 2 1 2 x x x ≥ + + + (AM-GM) 1.0 Dể dàng CM được 2 7 3 7 2 1 2 x x + + ≥ 7 3 11 3 9 3 9 15 2 . 2. +     = −     1 câu 3 Đặt 1 2 3 , ,x y z a b c = = = . ĐK bài toán thành: , , 0 2 2 4 7 x y z xyz x y z >   ≥ + +  Bài toán quy về tìm GTNN của p = x+y+z. Từ ( ) 2 2 4 7 2 7 2 4xyz x