Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014-2015 TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 10 - Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC − − − − − −&− − − − − − o0o Câu 1 (1,0 điểm): Xét dấu biểu thức ( ) 2 (3 )(2 1)f x x x x= − − − . Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình 2 (3 )(2 1) 0x x x− − − ≥ Câu 2 (1,0 điểm): Giải bất phương trình 3 1 2 4x x ≤ + − Câu 3 (1,0 điểm): Tìm các giá trị m để phương trình 2 2 2( 1) 6 5 0x m x m m− − − + − = (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Câu 4 (1,0 điểm): Rút gọn biểu thức ( ) 2 2 sin sin 1 tan( ) 2 p x x x π π π   = − + − − + +  ÷   Câu 5 (1,0 điểm): Cho 3 sin , 5 2 π α α π = < < . Tính giá trị của biểu thức 2 3 cos sin 4 3 5 A π π α α     = + + − −  ÷  ÷     Câu 6 (1,0 điểm): Chứng minh đẳng thức 1 sin 2 cos2 cot 1 sin 2 cos2 a a a a a + + = + − , (khi các biểu thức có nghĩa) Câu 7 (1,0 điểm): Cho , , A B C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng: 2 2 2 cos cos cos 1 2cos .cos .cosA B C A B C+ + = − Câu 8 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng ( )Oxy cho ( ) 1; 1A − − và đường thẳng :3 4 5 0x y∆ − + = a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và song song với ∆ . b) Viết phương trình đường tròn tâm ( ) 3;1I và tiếp xúc với ∆ . Câu 9 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng ( )Oxy cho tam giác ABC cân ở ( ) 4;6A và điểm ( ) 6;2M nằm trên cạnh BC , trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng : 2 2 0d x y− + = . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC . Hết ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015 Câu Nội dung Điểm 1 Xét dấu biểu thức ( ) 2 (3 )(2 1)f x x x x= − − − . 1,0 Ta có 2 ( ) 0 (3 )(2 1) 0f x x x x= ⇔ − − − = 2 3 3 0 1 2 1 0 1 2 x x x x x x   = − =   ⇔ ⇔ =   − − =   = −   0,25 Bảng xét dấu của ( )f x x −∞ 1 2 − 1 3 +∞ 3 x − + + + 0 ─ 2 2 1x x− − + 0 ─ 0 + + ( )f x + 0 ─ 0 + 0 ─ 0,25 Từ BXD ta có ( ) 1 ( ) 0, ; 1;3 2 f x x   > ∀ ∈ −∞ −  ÷   U ; ( ) 1 ( ) 0, ;1 3; 2 f x x   < ∀ ∈ − +∞  ÷   U 0,25 Dựa vào BXD suy ra tập nghiệm của bất phương trình 2 (3 )(2 1) 0x x x− − − ≥ là [ ] 1 ; 1;3 2 S   = −∞ −     U 0,25 2 Giải bất phương trình 3 1 2 4x x ≤ + − (1) 1,0 ĐK : 2 4 x x ≠ −   ≠  0,25 Bpt (1) ( ) ( ) 3 1 10 4 0 0 2 4 2 4 x x x x x − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ + − + − 0,25 Đặt ( ) ( ) ( ) 10 4 2 4 x g x x x − = + − ; ( ) 5 0 2 g x x= ⇔ = 0,25 x −∞ 2− 5 2 4 +∞ 10 4x− + + 0 ─ ─ ( ) ( ) 2 4x x+ − ─ 0 + + 0 ─ ( )g x ─ + 0 ─ + . Dựa vào BXD suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( ) 5 ; 2 ;4 2 S   = −∞ − ÷    U 0,25 3 Tìm các giá trị m để phương trình 2 2 2( 1) 6 5 0x m x m m− − − + − = (1) có hai nghiệm dương phân biệt. 1,0 Để pt(1) có hai nghiệm dương phân biệt ' 0 0 0 S P ∆ >   ⇔ >   >  0,25 2 2 2 2 2 ( 1) 6 5 0 2 8 6 0 2( 1) 0 1 6 5 0 6 5 0 m m m m m m m m m m m   − + − + > − + >   ⇔ − > ⇔ >     − + − > − + <   0,25 1 3 1 3 5 1 5 m m m m m  <    >    ⇔ > ⇔ < <   < <    Vậy 3 5m< < là giá trị cần tìm 0,50 4 Rút gọn biểu thức ( ) 2 2 sin sin 1 tan( ) 2 p x x x π π π   = − + − − + +  ÷   1,0 Ta có ( ) 2 2 sin sin 1 tan( ) 2 p x x x π π π   = − + − − + +  ÷   2 2 cos sin 1 tanx x x= + − + 0,75 tan x= 0,25 5 Cho 3 sin , 5 2 π α α π = < < . Tính giá trị của biểu thức 2 3 cos sin 4 3 5 A π π α α     = + + − −  ÷  ÷     1,0 Ta có 2 2 9 16 4 cos 1 sin 1 cos 25 25 5 α α α = − = − = ⇒ = ± 0,25 Vì 2 π α π < < suy ra cos 0 α < nên 4 cos 5 α = − 0,25 2 3 cos sin 4 3 5 A π π α α     = + + − −  ÷  ÷     2 3 cos .cos sin .sin sin .cos cos .sin 4 4 3 3 5 π π π π α α α α = − + − − 0,25 4 2 3 2 3 1 4 3 2 3 3 7 2 . . . . 5 2 5 2 5 2 5 2 5 10 − = − − + + − = 0,25 6 Chứng minh đẳng thức 1 sin 2 cos2 cot 1 sin 2 cos2 a a a a a + + = + − , (khi các biểu thức có nghĩa) 1,0 Ta có 2 2 1 sin 2 cos2 (1 cos2 ) sin 2 2cos 2sin cos 1 sin 2 cos2 (1 cos2 ) sin 2 2sin 2sin cos a a a a a a a a a a a a a a + + + + + = = + − − + + 0,50 2cos (cos sin ) 2sin (sin cos ) a a a a a a + = + 0,25 cos cot sin a a a = = 0,25 7 Cho , , A B C là ba góc của một tam giác, chứng minh rằng: 2 2 2 cos cos cos 1 2cos .cos .cosA B C A B C+ + = − 1,0 Ta có 2 2 2 2 1 cos2 1 cos2 cos cos cos cos 2 2 B C A B C A + + + + = + + 0,25 ( ) 2 2 1 cos 1 cos2 cos2 1 cos cos( ).cos( ) 2 A B C A B C B C= + + + = + + + − 0,25 2 2 1 cos cos( ).cos( ) 1 cos cos .cos( )A A B C A A B C π = + + − − = + − − [ ] 1 cos cos cos( )A A B C= + − − 0,25 [ ] 1 cos cos( ) cos( ) 1 2cos cos cosA B C B C A B C= + − + − − = − 0,25 8 Trong mặt phẳng ( )Oxy cho ( ) 1; 1A − − và đường thẳng :3 4 5 0x y∆ − + = 2,0 8a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và song song với ∆ . 1,0 Vì d song song với ∆ nên phương trình đường thẳng d có dạng :3 4 0d x y C− + = với 5C ≠ 0,5 Vì ( ) 1; 1A − − thuộc d ta có 3 4 0 1C C − + + = ⇔ = − thỏa mãn 5C ≠ 0,25 Vậy phương trình đường thẳng :3 4 1 0d x y− − = 0,25 8b Viết phương trình đường tròn tâm ( ) 3;1I và tiếp xúc với ∆ . 1,0 Đường tròn tâm ( ) 3;1I và tiếp xúc với ∆ nên có bán kính 2 2 9 4 5 10 ( ; ) 2 5 3 4 R d I − + = ∆ = = = + 0,50 Vậy phương trình đường tròn tâm ( ) 3;1I bán kính 2R = là 2 2 ( 3) ( 1) 4x y− + − = 0,50 9 Trong mặt phẳng ( )Oxy cho tam giác ABC cân ở ( ) 4;6A và điểm ( ) 6;2M nằm trên cạnh BC , trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường thẳng : 2 2 0d x y− + = . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC . 1,0 Gọi ( ) ;H x y là trung điểm của BC suy ra AH BC⊥ Vì G d∈ nên tọa độ ( ) 2 2;G a a− Ta có (2 6; 6)AG a a= − − uuur ; ( 4; 6)AH x y= − − uuur Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên 2 2 6 ( 4) 2 3 2 3 6 ( 6) 3 a x AG AH a y  − = −   = ⇔   − = −   uuur uuur 3 5 3 3 5; 3 3 2 3 2 x a a H a a y = −     ⇔ ⇒ − −   ÷ = −     0,25 Ta có 3 (3 9; 9) 2 a AH a= − − uuur ; 3 (3 11; 5) 2 a MH a= − − uuuur Mà . 0M BC AH MH AH MH∈ ⇒ ⊥ ⇔ = uuur uuuur 3 3 (3 9)(3 11) 9 5 0 2 2 a a a a    ⇔ − − + − − =  ÷ ÷    0,25 2 5 108 576 0t t⇔ − + = với 3t a = 12 4 48 16 5 5 t a t a = =     ⇔ ⇒   = =   + Với 4 (7;3)a H= ⇒ và (3; 3) 3(1; 1)AH = − = − uuur Đường thẳng BC đi qua ( ) 6;2M và nhận véc tơ 1 (1; 1) 3 n AH= = − r uuur làm VTPT Phương trình đường thẳng BC : 6 ( 2) 0 4 0x y x y− − − = ⇔ − − = 0,25 + Với 16 23 9 ; 5 5 5 a H   = ⇒  ÷   và ( ) 3 21 3 ; 1; 7 5 5 5 AH   = − = −  ÷   uuur Đường thẳng BC đi qua ( ) 6;2M và nhận véc tơ 5 (1; 7) 3 n AH= = − r uuur làm VTPT Phương trình đường thẳng BC : 6 7( 2) 0 7 8 0x y x y− − − = ⇔ − + = 0,25 Hết . Trường THPT Vinh Xuân KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014-2015 TỔ TOÁN MÔN TOÁN LỚP 10 - Thời gian làm bài: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC − − − − − −&− − − − − − o0o. 0d x y− + = . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC . Hết ĐÁP ÁN KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2014-2015 Câu Nội dung Điểm 1 Xét dấu biểu thức ( ) 2 (3 )(2 1)f x x x. −   ≠  0,25 Bpt (1) ( ) ( ) 3 1 10 4 0 0 2 4 2 4 x x x x x − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ + − + − 0,25 Đặt ( ) ( ) ( ) 10 4 2 4 x g x x x − = + − ; ( ) 5 0 2 g x x= ⇔ = 0,25 x −∞ 2− 5 2 4 +∞ 10 4x− + + 0 ─ ─ ( ) (