1 Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: A * Lớp: 11 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Cho dãy số 012 , , , aaa xác định bởi 1 23. n nn aanN + = −∈ Tìm tất cả các giá trị 0 aR ∈ sao cho { } n a là dãy số tăng. Câu 2: (4 điểm) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích S. Chứng minh rằng: 34 222 cba S ++ ≤ Câu 3: (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: ()( )() 2 871 yxxxx =+++ Câu 4: (4 điểm) Giải phương trình: 11 44 sin 2 sin 2 1 22 xx++−= Câu 5: (4 điểm) Cho tứ diện OABC có OA = a; OB = b; OC = c; n BOC α = ; n COA β = ; n AOB γ = . Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: 22 2 sin sin sin 222 cot cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: A * Lớp: 11 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (4 điểm) Ta có ( ) 112 12 23 2323 nnn nn n aa a −−− −− =− =− − ( ) 122 1223 23 23.23. 23.2 323 nn nn n nn aa −− −− − −− =− + =− + − 12233 3 23.23.23. nn n n a −− − − =− + − ( ) ( ) 1 1223 1 0 2 3.2 3 .2 1 .3 1 .3 . nn nn n n n a − −− − − = − + − +− +− (1.0đ) mà ( ) ( ) 1 1223 1 2 , 3 .2 ,3 .2 , , 1 .3 n nnn n − −−− − −− là n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân nên () 1 0 3 21 2 1.3. 3 1 2 n n n n n aa − ⎛⎞ ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ =+− + ( ) () 1 0 21.3 1.3. 5 n nn n n a + +− =+− (1.0đ) () () 1 11 1 10 1 21.3 1.3. 5 nn nn n n aa − −− − − ⎡⎤ =+− +− ⎣⎦ Đặt () () 1 1 1 10 23 14.1 . 5 1 52 n n n nnn daa a − − − − ⎡⎤ ⎛⎞ =− = −− − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ (0.5đ) • Nếu 00 1 510 5 aa−> ⇔ > thì 0 n d < với n lẻ đủ lớn • Nếu 00 1 510 5 aa−< ⇔ < thì 0 n d > với n chẵn đủ lớn (0.5đ) Vậy 0 1 5 a ≠ thì { } n a không tăng (0.5đ) • Nếu 0 1 5 a = thì 1 2 0 5 n n dnN − =>∀∈ (0.5đ) Vậy 0 1 5 a = thì { } n a là dãy số tăng. Câu 2: (4 điểm) Theo công thức Hêrông ta có: ( ) ( ) ( ) cpbpappS −−−= 2 (1) (0.5đ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm p-a, p-b, p-c ta có: (Gồm 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 2 ()()() () ( ) ( ) 273 3 3 pcpbpap cpbpap = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−+− ≤−−− (2) (1.0đ) Từ (1) và (2) suy ra ( ) 31233 2 2 cbap S ++ =≤ (0.5đ) Mặt khác ta có: () ()()()( ) 222222222222 222 2 3 222 cbaaccbbacba cabcabcbacba ++=++++++++≤ +++++=++ (1.0đ) Do đó: 34 222 cba S ++ ≤ (đpcm) (0.5đ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c (0.5đ) Câu 3: (4 điểm) Ta thấy phương trình: ()( )() 2 871 yxxxx =+++ ⇔ (x 2 + 8x)(x 2 + 8x + 7) = y 2 (0.5đ) Đặt: (x 2 + 8x) = a > 0 Ta có a (a + 7) = y 2 ⇔ a 2 + 7a = y 2 ⇔ 4a 2 + 28a = 4y 2 ⇔ (2a + 7) 2 - (2y) 2 = 49 ⇔ (2a + 7 + 2y)(2a + 7 - 2y) = 49 (1) (1.0đ) Vì a, y > 0 nên: * 2a + 7 + 2y > 2a + 7 - 2y * 2a + 7 + 2y > 0 (0.5đ) Do đó từ (1) ta có hệ sau: ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =++ 12 9 1272 49272 y a ya ya (1.0đ) Với a = 9 ta có: x 2 + 8x - 9 = 0 ⇒ x = 1 hoặc x = -9 (loại) (0.5đ) Thử lại và kết luận phương trình có một nghiệm là (1, 12) (0.5đ) Câu 4: (4 điểm) Điều kiện: 1 20 11 2 2 221 20 2 Si n x Si n x Si n x ⎧ −≥ ⎪ ⎪ ⇔− ≤ ≤ ⎨ ⎪ +≥ ⎪ ⎩ (*) (0.25đ) Với điều kiện trên, Đặt u= 4 1 si n 2 2 x + , v= 4 1 si n 2 2 x − Ta có hệ phương trình: 44 1 1 uv uv += ⎧ ⎨ += ⎩ (0.5đ) 3 1 .(. 2) 0 uv uvuv += ⎧ ⇔ ⎨ −= ⎩ 11 () ( ) .0 .2 uv uv III uv uv += += ⎧⎧ ⇔∨ ⎨⎨ == ⎩⎩ (1.0đ) Hệ (II) vô nghiệm (0.25đ) Hệ (I) 01 10 uu vv == ⎧⎧ ⇔∨ ⎨⎨ == ⎩⎩ (0.5đ) 11 si n 2 1 si n 2 0 22 11 si n 2 0 si n 2 1 22 xx xx ⎧⎧ += += ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔∨ ⎨⎨ ⎪⎪ −= −= ⎪⎪ ⎩⎩ (0.5đ) ⇒ sin2x= 11 si n 2 22 x∨=− ; thỏa (*) (0.5đ) 12 12 (, ) 57 12 12 xkx m km xkxm ππ ππ ππ ππ ⎡⎡ =+ =−+ ⎢⎢ ⇒∨ ∈ ⎢⎢ ⎢⎢ =+ =+ ⎢⎢ ⎣⎣ ] (0.5đ) Câu 5: (4 điểm) Trong tam giác ABC, ta chứng minh được: cotA + cotB + cotC = 222 4 A BACBC S ++ (*) (1.0đ) Mà AB 2 = a 2 + b 2 – 2abcos γ ; (0.5đ) AC 2 = a 2 + c 2 – 2accos β ; (0.5đ) BC 2 = b 2 + c 2 – 2bccos α ; (0.5đ) Thay vào (*) ta được 222 cos cos cos cot cot 2 abcbc ca ab ABCotC S α βγ ++− − − ++ = (0.5đ) ⇒ cos cos cos cot cot 2 ab bc ca bc ca ab ABCotC S α βγ + +− − − ++ ≥ (Cosi) (0.5đ) ⇔ 22 2 sin sin sin 222 cot cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ Vậy 22 2 sin sin sin 222 cot cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ (0.5đ) Chú ý: HDC chỉ là một trong các phương án, học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. HẾT c b a γ β α C B O A . cot ab bc ca ABCotC S γ αβ ++ ++ ≥ HẾT (Gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2 011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: A. A * Lớp: 11 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (4 điểm) Cho dãy số 012 , , , aaa xác định bởi 1 23. n nn aanN + = −∈ Tìm tất cả các giá trị 0 aR ∈ sao. thí sinh: …………………… ………… Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:…………………………… ……… …………….……………… SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2 011 - 2012 * Môn thi: TOÁN * Bảng: