Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số (Năm häc 1992-1993) a + b = c + d ab + = cd Bµi 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mÃn hệ thức: Chứng minh rằng: c = d ( Bµi 2: Chøng minh: x + ax + b ) + (x 2 + cx + d ) ≤ ( 2x 2 ) +1 Víi mäi a, b, c, d tho¶ m·n ®iỊu kiƯn a + b + c + d = Bµi 3: Cho a , a , a 10 số thực dơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 a + a + + a 10 P= a 10 ( a + a + + a ) Bµi 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(-2; -1), B(2; -4) a) Tìm điểm C Ox cho véc tơ OA, CB phơng? b) Tìm đờng thẳng x = điểm M cho MBA = 45 Đề số (Năm học 1993-1994) Bài 1: Cho phơng trình: 4x + x +5 =k a) Giải phơng trình với k = b) Tìm giá trị k để phơng trình có nghiệm Bài 2: Xác định số thực a, b thoả mÃn điều kiện sau: i) Hai phơng trình x + ax + = vµ x + bx + = cã mét nghiƯm chung ii) Tỉng a + b nhá nhÊt Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ phơng trình: y − 3x − x + = Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3) a) Xác định toạ độ điểm M thỏa m·n: 2MA + 3MB − 4MC = b) Tìm tập hợp điểm N cho: NA + NB = NC §Ị sè (Năm học 1994 1995) ( 1930 Bài 1: a) Chứng minh: 32 1945 + 29 b) Đơn giản biểu thøc: A = 1890 − 19 ) 7 sin x cos x + cos x + sin x + cos x − cos x − sin x (víi 0 < x < 180 ) Bµi 2: Cho hµm sè f ( x ) = x − x −1 + x + x a) Tìm tập xác định D hàm số b) Tìm giá trị xD cho f(x) số Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Bài 3: a) cho tam giác ABC có cạnh a, b, c Tìm phơng tích trọng tâm G tam giác đờng tròn ngoại tiếp tam giác b) Giả sử đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA lần lợt M, N, P thoả m·n AN + BP + CM = Chøng minh tam giác ABC Đề số (Năm học 1995-1996) Bài 1: Giải hệ phơng trình sau với Èn sè x, y, z: x + y + z =  2 x + y + z =  3 x + y + z = Bµi 2: a) Cho a , b, c ∈ R + vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: a+b + b+c + c+a ≤ b) Gäi x , x lµ nghiƯm cđa hƯ: αx − βx =  x + x = α, β >  Chøng minh r»ng: x x Bài 3: Cho tam giác ABC a) Tìm tập hợp điểm I thoả mÃn hÖ thøc: IA − 3IB + 6IC = b) Cho điểm E F di động mặt phẳng thoả mÃn điều kiện: EF = EA − EB + 2EC T×m bao h×nh cđa đờng thẳng EF Bài 4: Cho đờng tròn tâm O bán kính R điểm K cố định nằm đờng tròn với OK = k Qua điểm K dựng dây cung AB HÃy xác định vị trí dây cung AB tr ờng hợp sau: a) Tổng KA + KB đạt giá trị nhỏ tính giá trị b) Tổng KA + KB đạt giá trị lớn tính giá trị Đề số (Năm học 1996-1997) Bài 1: Giải hệ phơng trình: x + 3y  x+ =3  x + y2    y − y − 3x =  x + y2  Tun tËp ®Ị thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) n n n n + 1− < 2; n ∈ Z, n > n n Bµi 3: Chøng minh r»ng diƯn tÝch tam gi¸c ABC cã thĨ tính theo công thức: Bài 2: Chứng minh bất đẳng thøc: n 1+ n ( x A − x B )( y C − y B ) − ( x C − x B )( y A − y B ) Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) M điểm chuyển động O Tìm S= vị trí điểm M ®Ó biÓu thøc: T = MA + 2MB 3MC đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn Tính giá trị Đề số (Năm học 1997 1998) Bài 1: a) Cho A = { x ∈ R / x + < 3}; B = { x ∈ R / x − ≥ 4} T×m A  B; A B ? b) Cho tập hợp điểm mặt phẳng { A1 ; A ; A ; A ; A ; A } điểm thẳng hàng Mỗi ®o¹n A i A j nèi ®iĨm đợc tô màu đỏ xanh Chứng minh tồn tam giác A i A j A k có cạnh đồng màu Bài 2: Cho phơng trình: x + x + m + = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x < x tho¶ m·n: x1 x2 + x2 2 x1 c) Tìm giá trị lớn hµm sè f ( x ) = x (2 x ) [0; 2] Bài 3: a) Cho ∆ABC Chøng minh: cos A cos B cos C + + sin B sin C sin A b) Cho đoạn thẳng AB điểm M nằm A, B Trên nửa mặt ph¼ng bê AB cot g A + cot g B + cot g C ≥ dùng hình vuông AMNP MBQR Chứng minh: ARBN Đề số (Năm học 1998 1999) Bảng A Bài 1: Chứng minh phơng trình: ( x + y ) + ( x + a ) + ( y + b ) = c cã nghiệm bất đẳng thức sau đúng: 3c ( a + b ) Bµi 2: Cho hàm số: f : N * Q * thoả m·n ®iỊu kiƯn: + a) f (1) = , vµ b) f (1) + f (2) + + f (n ) = n f (n ) H·y tìm công thức đơn giản f ( n ) ? ∀n > Tun tËp ®Ị thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Bài 3: Giải phơng trình: 5x + 14 x + = x + + x − x − 20 Bµi 4: a) Cho n vÐc t¬ a , a , , a n đôi không cộng tuyến Trong tổng (n-1) vÐc t¬ bÊt n vÐc t¬ céng tuyÕn với véc tơ lại Chứng minh rằng: a = a + a + + a n = (Hai véc tơ cộng tuyến véc tơ nằm hai đờng thẳng song song trïng nhau) b) Cho ∆ABC, AM vµ BN lµ hai trung tuyÕn Chøng minh r»ng: AM⊥BN ⇔ 1 = + tgC tgA tgB Đề số (Năm học 1998-1999) Bảng B Bài 1: Cho x, y số thực thoả mÃn: x, y > 0; x+y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + y2 + + 4xy xy Bài 2: (Bài bảng A) Bài 3: Giải phơng trình: x x + x + x −1 = Bµi 4: a) Cho O điểm ABC Chøng minh: S BOC OA + S AOC OB + S AOB OC = b) Cho ∆ABC (BC=a, CA=b, AB=c) Chøng minh r»ng: NÕu a+b 0 vµ a + b + c = Chøng minh r»ng: a+b + b+c + c+a ≤ Bài 2: Bài Bảng A Bài 3: a) Bài 3a Bảng A b) Cho tam giác ABC P điểm thuộc mặt phẳng tam giác Gọi K, L, M lần lợt hình chiếu vuông góc P lên đờng thẳng BC, CA, AB HÃy xác định vị trí P cho tæng BK + CL2 + AM nhá Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A: Bài 1: a Giải phơng trình x x + x − 12 x + = b Giả sử đa thức f(x) có hệ số nguyên giá trị f(0); f(1) số lẻ Chứng minh f(x) có nghiệm nguyên Bài 2: a Tìm điều kiện để hàm số sau xác định [0; 1) y = x m + 2x − m − b Cho a, b, x, y thoả mÃn điều kiện: < b ≤ a ≤ a+b≤7 2≤ x ≤3≤ y +y+ Tìm giá ttrị nhỏ x y s= 2 a +b Bµi 3: Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh BC, CA, AB tam giác, lấy điểm M, 2x + a 2a N, P cho BM = ; CN = ; AP = x , < x < a 3 a TÝnh x theo a ®Ĩ cho AM vuông góc PN b Cho H điểm thuộc miền tam giác ABC nói Gọi H 1H2H3 lần lợt điểm đối xứng H qua cạnh tam giác Chứng minh trọng tâm tam giác H1H2H3 không phụ thuộc vào vị trí điểm H Đề số 16 (Năm học 2003-2004) Tun tËp ®Ị thi HSG TØnh NghƯ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Bài 1: Bài Bảng A Bài 2: a) Bài 2a Bảng A a + b + c = 4 b) Cho a, b, c tho¶ m·n:  Chøng minh r»ng: a , b, c ∈ − ;   3   ab + bc + ca = Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh BC, CA, AB tam giác, lấy điểm M, a 2a N, P cho BM = ; CN = ; AP = x , < x < a 3 3x a Chøng minh PN = (AC − AB) a b TÝnh x theo a ®Ĩ cho AM vuông góc PN Đáp án hớng dẫn giải Đề số Bài 1: Từ giả thiết toán, (c + d ) − 4(cd − 1) = (c − d ) + > c, d nên theo định lý viét ta có a b nghiệm phơng trình bậc 2: x − (c + d) x + (cd − 1) = Xét phơng trình trên, a b nghiệm nên ta phải có: ∆ = (c + d) − 4(cd − 1) ≥ ⇔ (c − d) + (*) Đặt c d = t t nguyên từ (*) ta suy tồn số nguyên s thoả mÃn: t + = s ≥ , tõ ®ã ta cã: (s − t )(s + t ) = Do s, t nguyên s-t s+t nguyên hay (s-t) (s+t) ớc số ta suy ra: s − t = s − t = −2 s − t = (1); hc  (2); hc  (3); hc  s + t = s − t = −2 s + t = s − t = −1 (4)  s − t = Từ (1) (2) ta có: t = ⇒ c = d Tõ (3) ta nhận đợc 2t = t = Z (loại) Hệ (4) vô nghiệm a + b = c + d th× ta cã c = d ab + = cd Tãm l¹i nÕu a, b, c, d nguyên thỏa mÃn điều kiện Bài 2: áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số: (x, x, 1) vµ (x, a, b) ta cã: x + ax + b) ≤ ( x + x + 1)( x + a + b ) = (2 x + 1)( x + a + b ) (1) Còng áp dụng BĐT Bunhiacopski cho cặp số: (x, x, 1) vµ (x, c, d) ta cã: ( x + cx + d ) ≤ ( x + x + 1)( x + c + d ) = (2 x + 1)( x + c + d ) (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ( x + ax + b) + ( x + cx + d ) ≤ (2 x + 1)( x + a + b ) + + (2 x + 1)( x + c + d ) = Tun tËp ®Ị thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tíi 2003-2004) = (2 x + 1)(2 x + a + b + c + d ) = (2 x + 1)(2 x + 1) = (2 x + 1) (V× a2 + b2 + c2 + d2 = 1) VËy: ( x + ax + b) + ( x + cx + d ) ≤ ( x + 1) Đẳng thức xảy x a b c d = = = = ⇒ a = c = bx = dx x x 2 Bµi 3: Ta cã: a + a + + a 10 = a + 2 áp dụng BĐT Cô-si ta có: a + 2 2 a 10 + a + a 10 + + a + a 10 9 2 a 10 ≥ a a 10 2 a + a 10 ≥ a a 10 2 a + a 10 ≥ a a 10 2 ⇒ a + a + + a 10 ≥ Suy ra: P = a 10 ( a + a + + a ) 2 a + a + + a 10 a (a + a + + a ) 2 ≥ 10 = a 10 ( a + a + + a ) a 10 (a + a + + a ) Đẳng thøc x¶y ⇔ a = a = = a = a 10 Bài 4: a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ®é Oxy, ta cã: O(0;0); A(-2;-1); B(2; -4) Do C điểm trục Ox nên C có toạ độ (x; 0) Khi ®ã ta cã: OA = ( x A − x O ; y A − y O ) = (−2;−1) BC = ( x C − x B ; y C − y B ) = ( x − 2;4)  − = k ( x − 2) k = − Ta cã: OA // BC ⇔ ∃k ∈ R : OA = k BC ⇔  ⇔ − = 4k x = 10 Vậy toạ độ điểm C là: (10; 0) b) Điểm M thuộc đờng thẳng x=1 có toạ ®é: M(1; y) Do ®ã ta cã: BM = (−1; y + 4) ⇒ BM = 12 + ( y + 4) = y + y + 17 BA = (−4; 3) ⇒ BA = (−4) + = 25 = Do ®ã ta cã: BM.BA = ( −1)(−4) + 3( y + 4) = 3y + 16 ( ) Ta cã: ∠MBA = 45 ⇔ BM, BA = 45 ⇔ cos(BM, BA) = Tõ ®ã suy ra: 3y + 16 = BM.BA = BM BA cos(BM, BA) = y + y + 17 2 Tun tËp ®Ị thi HSG TØnh NghƯ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) 16 29   y=− y ≥ − ⇔ ⇔  7 y + y − 87 = y =    VËy cã điểm thoả mÃn yêu cầu toán C = 1;− 29  ; C = (1;3) Đề số 2: Bài 1: a) Với k =3, ta có phơng trình: x + x + = §iỊu kiƯn: -5 ≤ x ≤ Ta cã: 4−x + x +5 =3 ⇔ − x + + x = − (4 − x )( x + 5) ⇔ ( x − 4)( x + 5) = x = ⇔  x = −5 b) §iỊu kiƯn cđa tham số: k>0 Khi phơng trình đà cho tơng ®¬ng víi: + (4 − x )( x + 5) = k ⇔ (4 − x )( x + 5) = k − k ≥ ⇔ − 4x − 4x + k − 18k + = §Ị sè Bài 1: Điều kiện: x2+y20 (*) Nhận xét x= từ hệ đà cho ta suy y = không thoả mÃn điều kiện (*) Nh (x; y) nghiệm hệ ta ph¶i cã: x≠0 ; y≠0  x +  Khi ®ã hƯ (I):  y −   x + 3y  =3 2 xy + x +y  ⇔ y − 3x xy − =0  x + y2  xy + 3y = 3y (1) x + y2 xy − 3x =0 x + y2 LÊy (1) céng (2) theo vÕ với vế ta đợc: xy + = 3y ⇔ x = (2) 3( y − 1) (a) 2y  x + 3y  x + y = x (3) Mặt khác ta cã: HÖ (I) ⇔  (II)  y − 3x = y (4) x + y2  XÐt hÖ (II) NÕu y − 3x = ⇒ y = 3x ⇔ x = y kÕt hỵp víi (a) ta ®ỵc: Tun tËp ®Ị thi HSG TØnh NghƯ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)  y= ⇒x= y 3( y − 1) = ⇔ 2y − 9y + = ⇔  2  2y y = ⇒ x = Thay kết vào hệ đà cho ta thấy chúng không thoả mÃn Vậy ta có (x; y) nghiệm hệ ta cã x – 3x ≠ Do ®ã lÊy (3) chia (4) theo tõng vÕ ta cã: x + 3y − x = ⇔ xy + 3y = 3y − x − xy + 3x y − 3x y ⇔ y + xy − 3y + x − 3x = ( b)  y = − (lo¹i) Thay (a) vào (b) ta đợc: 12 y + 15 y − 27 = ⇔   y =  Tõ y2 = ⇒ y = ± 1, thay vµo (a) ta cã: y = ⇒ x =0; y = -1 ⇒ x = VËy hƯ ®· cho cã cặp nghiệm (0; 1) (3; -1) Bài 2: Từ điều kiện nZ n>1 ta có: n n 1, nZ ta cã: − VËy: n 1+ n n n n n ≠1≠1+ n n n n n n + 1+ < n n Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ giả sử ABC có A ( x a ; y A ); B( x B ; y B ); C( x C ; y C ) Ta cã: BC = ( x C − x B ) + ( y C − y B ) đờng thẳng BC có phơng trình: x xB y − yB = ⇔ ( y C − y B )x − (x C − x B ) y − x B (y C − y B ) + y B (x C − x B ) = x C − x B yC − yB Gäi AH đờng cao kẻ từ đỉnh A ABC ta có AH khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC Do đó: Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) AH = = ( y C − y B )x A − (x C − x B ) y A − x B ( y C − y B ) + y B (x C − x B ) ( yc − yC ) + (xC − x B ) ( x A − x B )( y C − y B ) − ( x C − x B )( y A − y B ) ( yc − yC ) + ( xC − x B ) 2 = = Tõ ®ã ta cã diƯn tÝch cđa ∆ABC lµ: S ∆ABC = 1 AH.BC = ( x A − x B )( y C − y B ) − ( y A − y B )( x C − x B ) 2 VËy cã thĨ tÝnh diƯn tÝch ∆ABC b»ng c«ng thøc: S ∆ABC = ( x A − x B )( y C − y B ) − ( y A − y B )( x C − x B ) Đề số Bài 1: Đề số Bài 1: a) Đặt f ( x ) = x + mx + − m Ta xét trờng hợp: ã Phơng trình x + mx + − m = cã mét nghiÖm x ∈ [ − 1;1] ⇔ f ( −1).f (1) ≤  − ≤ m ≤ −1 ⇔ ( − m − m )( + m − m ) ≤ ⇔ (1) m ã Phơng trình cã nghiÖm thuéc [-1; 1]: ∆ ≥ f (−1) >   ⇔ f (1) >  − < S <   m − 4(1 − m ) ≥  − m − m + >  − m + m + > ⇔  − < − m <   2  m ≤ − ∨ m ≥  − < m <  − < m <  − < m <   − < m ≤ − ⇔ (2) 2  ≤ m Từ (1) ta cã: z = − xy − xy − xy ≥ − xy , ®ã: (2) ⇔ x + y + x + y + xy x + y + xy x + y + xy ⇔ ( x + y ) + xy( x + y ) + − xy ≥ 4( x + y ) + 4xy − 4xy + x y ⇔ ( x + y − ) ≥ xy(1 − x )(1 − y ) (3) Tun tËp ®Ị thi HSG TØnh NghƯ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) i) Nếu (1 − x )(1 − y ) ≤ th× (3) hiển nhiên đẳng thức xảy ( x + y − ) = xy(1 − x )(1 − y) = ⇒ x = y = KÕt hỵp víi (2) ta cã: x = y = z = ii) (1 − x )(1 − y) > Ta cã: ( x + y − 2) = (1 − x + − y ) = (1 − x ) + (1 − y) + 2(1 − x )(1 − y) ≥ 4(1 − x )(1 − y) (theo bất đẳng thức Cô-si) ( x + y − 2) ≥ 4(1 − x )(1 − y) (4) Nhng z = − xy ≥ vµ x, y ≥ ⇒ – xy ≥ ⇔ ≥ xy (5) x + y + xy Từ (4) (5) ta suy (3) đợc chứng minh b) Cho x = thay vào đẳng thøc: xP( x − 1) = ( x − 2002)P( x ) (1) ta đợc: = -2002.P(0) P(0) =0 Cho x = 1, ta cã: 1.P(0) = -2001.P(1) ⇒ P(1) = Tõ (1) ta suy : P(2) = ⇒ P(3) = 0,…, ⇒P(2001) = VËy P(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2001)Q(x) Suy P(x-1) = (x-1)(x-2)…(x-2002)Q(x-1) KÕt hợp với giả thiết: xP(x-1)=(x-2002)P(x) Q(x-1) = Q(x) Q(x) = a (a số không phụ thuộc x) Suy đa thức phải tìm P(x) = ax(x-1)(x-2)(x-2002) Bài 3: a) Từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh đợc O trọng tâm ABC Gọi I trung điểm cạnh BC; OA lần lợt lấy điểm B1, C1 cho BB1//CC1// OB1   OB' OA'  ⇒ OC OC1  CC1 // ∆ ⇒ = OC' OA'   BB1 // ∆ ⇒ OB B’ B1 = B OB OC OA1 + OB1 + OC1 (1) + = OA' OB' OC' OA' Mặt khác, ta có: OA A + A I O C’ C C1 OA + OB1 + OC1 = OA + OB + OC + BB1 + CC1 Nhng dƠ thÊy r»ng ∆BIB1 = ∆CIC1 nªn suy BB1 // = C1C ⇒ BB1 = C1C Hay BB1 + CC1 = Do   ®ã tõ OA + OB + OC = ta suy OA + OB1 + OC1 = mµ A, B1, C1 thẳng hàng nên ta có: OA + OB1 + OC1 = (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã điều phải chứng minh b) Theo tính chất đờng phân gi¸c cđa tam gi¸c, ta cã: AB' = bc bc ; AC' = (a + c) (a + b) TuyÓn tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán líp 10(Tï 1992-1992 tíi 2003-2004) Suy S AB'C' = S bc.bc AB'.AC' sin A = ABC (a + b)(a + c) bc S bc ⇒ AB'C' = (1) S ABC (a + b)(a + c) S ca (2) T¬ng tù ⇒ BC'A ' = S ABC (b + c)(b + a ) S ab ⇒ CA 'B' = (3) S ABC (c + a )(c + b) Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã: S A 'B'C' S ABC − (S AB'C' + S BC'A ' + S CA 'B' ) = S ABC S ABC   bc ca ab =1−   (a + b)(a + c) + ( b + c)(b + a ) + (c + a )(c + b)     2abc = (a + b)(b + c)(c + a ) Đề số 11 (Năm học 2002 2003) Bài 1: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c số thực d ơng, áp dụng bất đẳng thøc C«si ta cã: a b c a b c + + ≥ 33 = b c a b c a a b c = = ⇔ a = b = c , hay ∆ABC ®Ịu b c a b) Theo tính chất đờng phân giác, ta có: Đẳng thức xảy AX b BY c CZ a = ; = ; = XB c YC a ZA b Nh BĐT cần chứng minh trë thµnh A X a b c + + ≥3 b c a áp dụng câu a) ta có đpcm Bài 2: a) áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta có: (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) Đẳng thức xảy a b c = = x y z (1) B Z Y C (2) Mà theo giả thiết ta có: (a + b + c ) = 25; ( x + y + z ) = 36 ax + by + cz = 30 nên (1) có đẳng thức, tức ta có (2) Gi¶ sư P= a b c = = =k x y z a+b+c =k=± x+y+z thÕ th× 36 = ( x + y + z ) = k (a + b + c ) = 25 ⇒ k = ± Suy Tun tËp ®Ị thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Yêu cầu toán Tìm a để phơng trình x + 3x + 2a = cã nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n f ( x1 )f ( x ) < víi f ( x ) = x + 6x + 5a ∆ = − 8a ≥ ⇔ ⇔ ( x1 + x1 + 5a )( x + 6x + 5a ) <  a ≤  9( x1 + a )( x + a ) <   a ≤ ⇔ [ x x + a ( x + x ) + a ] < (*)  Nhng x1, x2 nghiệm phơng trình x + 3x + 2a = nên theo định lý Viét ta cã:  x + x = −3 thay vµo (*) ta cã: (*) ⇔ a (a − 1) < ⇔ < a <  x1x = 2a  VËy víi 0< a 0 A B AN = n > m; ∠AMN = α OH = Theo giả thiết ta có: AN phân gi¸c gãc MAD ⇒ ∠MAD ∠ANB(cïng b»ng ∠ NAD) VËy ANM cân M MN = AM =m M D C Theo bµi ta cã: AN = n = m 2(1 − cos α) = 2(1 − cos ) MN m m N Theo định lý cosin ∆ANM cã: n = m + m − 2m.m cos α = 2m (1 − cos α) ⇔ n = m 2(1 − cos α) Ta có: > 900 (vì M di động đoạn BC) cos AN = 2(1 − cos α) ≥ MN AN AN = , x¶y ⇔ cosα = ⇔ α =900 M B đạt giá trị nhỏ MN MN ... giác H1H2H3 không phụ thuộc vào vị trí điểm H Đề số 16 (Năm học 2003- 2004) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10( Tù 1992- 1992 tới 2003- 2004) Bài 1: Bài Bảng A Bài 2: a) Bài 2a Bảng... yC − yB Gọi AH đờng cao kẻ từ đỉnh A ABC ta có AH khoảng cách từ A đến đờng thẳng BC Do đó: Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10( Tù 1992- 1992 tíi 2003- 2004) AH = = ( y C − y B )x... trị Đề số (Năm học 1996-1997) Bài 1: Giải hệ phơng tr×nh: x + 3y  x+ =3  x + y2    y − y − 3x =  x + y2  TuyÓn tËp đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10( Tï 1992- 1992 tíi 2003- 2004)