ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 116 Ngày 30 tháng 5 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 1 2 x y x + = − . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Gọi (d) là đường thẳng qua ( ) 2;0M có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2MA MB= − uuur uuur . Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình 1 3 sin cos cos x x x + = . 2. Giả sử 1 2 3 , ,z z z là ba nghiệm của phương trình 3 10 0z z+ + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 1 2 3 z z z+ + Câu 3.(0.5 điểm) Giải hệ phương trình 2 3 3 3 9.4 2.4 4 0 log log 1 0 y x x y   − − =   − + =  . Câu 4.(0.5 điểm) Giải phương trình 2 2 2 2 3 2 3 9x x x x x + + + + + = ( ) x ∈¡ . Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 4 2 2 0 log 9I x x dx= + ∫ . Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc · 0 60ABC = , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 0 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a. Câu 7.(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 1;2A − và đường thẳng ( ) : 2 3 0d x y− + = . Tìm trên đường thẳng (d) hai điểm ,B C sao cho tam giác ABC vuông tại C và 3AC BC= . Câu 8.(1.0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho các điểm ( ) ( ) ( ) 0;1;0 , 2;2;2 , 2;3;4A B C − và đường thẳng ( ) 1 2 3 : 2 1 2 x y z d − + + = = − . Tìm điểm M thuộc (d) sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3. Câu 9.(0,5 điểm) Cho tập hợp { } 1, 2, 3, 4, 5 .E = Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau thuộc E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M. Tính xác suất để tổng các chữ số của số đó bằng 10. Câu 10.(1,0 điểm) Cho bất phương trình 2 2 4 2 15 2 13x x x x m− − + + ≥ − − + Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi [ ] 3;5x ∈ − . Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 116 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1 2 x y x + = − 1.0 • Tập xác định: { } \ 2D = ¡ • Sự biến thiên: Chiều biến thiên: ( ) 2 3 ' 0, 2 y x D x − = < ∀ ∈ − Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;2−∞ và ( ) 2;+∞ 0.25 Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1 x x y y →−∞ →+∞ = = ; tiệm cận ngang: 1y = 2 2 lim ,lim x x y y − + → → = −∞ = +∞ ; tiệm cận đứng: 2x = 0.25 ￚ Bảng biến thiên: 0.25 • Đồ thị 0.25 1.2 Gọi (d) là đường thẳng qua ( ) 2;0M có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2MA MB= − uuur uuur 1.0 Phương trình đường thẳng (d): 2y kx k= − Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): 1 2 2 x kx k x + = − − (1) Điều kiện: 2x ≠ Phương trình (1) tương đương với: ( ) 2 ( ) 4 1 4 1 0f x kx k x k= − + + − = (2) 0.25 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ( ) 0 0 12 1 0 1 2 3 0 12 k k k k f  ≠ ≠    ⇔ ∆ = + > ⇔   > −   = − ≠   (*) 0.25 Đặt ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ;A x y B x y với 1 2 ,x x là hai nghiệm của (2) và 1 1 2 2 2 ; 2 2y kx k y x k= − = − Khi đó: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 x x MA MB x x y y − = − −  = − ⇔ ⇔ + =  − = − −   uuur uuur (3) Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 4 1 (4) 4 1 (5) k x x k k x x k +  + =    −  =   Từ (3) và (4) suy ra: 1 2 2 2 4 1 ; k k x x k k + − = = (6) 0.25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 2 Từ (5) và (6) ta được: 2 2 2 1 4 1 2 . 3 k k k k k k k + − − = ⇔ = , thỏa (*) Vậy, giá trị k thỏa đề bài là: 2 3 k = . 0.25 2.1 Giải phương trình 1 3 sin cos cos x x x + = . 0.5 Điều kiện: cos 0x ≠ (*) Phương trình đã cho tương đương với: 2 3 1 cos2 3 sin cos cos 1 sin2 1 cos 2 3 sin2 1 2 2 x x x x x x x + + = ⇔ + = ⇔ + = 1 3 1 cos 2 sin2 2 2 2 x x⇔ + = 1 cos 2 3 2 x π   ⇔ − =  ÷   3 x k x k π π π  = +  ⇔  =  ( k ∈ ¢ ), thỏa (*) 0.25 Vậy, phương trình có nghiệm là: 3 x k x k π π = + ∨ = ( k ∈ ¢ ). 0.25 2.2 Giả sử 1 2 3 , ,z z z là ba nghiệm của phương trình 3 10 0z z+ + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 1 2 3 z z z+ + 0.5 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 10 0 2 2 5 0 2 1 2 1 2 0z z z z z z z i z i+ + = ⇔ + − + = ⇔ + − + − − = Do đó ta có thể giả sử 1 2 3 2; 1 2 ; 1 2z z i z i= − = − = + suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 2 4 1 2 1 2 14z z z i i + + = + − + + = + + + + = . 0.25 Vậy 2 2 2 1 2 3 14z z z+ + = 0.25 3 Giải hệ phương trình 2 3 3 3 9.4 2.4 4 0 log log 1 0 y x x y   − − =   − + =  . 0.5 Xét hệ phương trình 2 3 3 3 9.4 2.4 4 0 (1) log log 1 0 (2) y x x y   − − =   − + =  Điều kiện: 0; 0x y> > Khi đó: 3 3 (2) log 3 log 3x y y x⇔ = ⇔ = (3) 0.25 Thay (3) vào (1) ta được: ( ) 2 2 4 4 1 9.4 2.4 4 0 2. 4 9.4 4 0 1 1 2 4 2 x x x x x x x x  =  − − = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = ∨ = −  =   (loại) • Với 1 3x y= ⇒ = Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: 1 3 x y =   =  . 0.25 4 Giải phương trình 2 2 2 2 3 2 3 9x x x x x + + + + + = ( ) x ∈¡ . 1.0 Đặt 2 3t x x= + + , phương trình đã cho trở thành: 2 12 0t t+ − = 2 3 12 0 4 t t t t =  + − = ⇔  = −  0.5 • Với 3t = thì 2 2 2 3 3 3 1 3 6 9 x x x x x x x ≤  + + = ⇔ ⇔ =  + = − +  0.25 • Với 4t = − thì 2 2 2 4 3 4 3 8 16 x x x x x x x ≤ −  + + = − ⇔ ⇔ ∈∅  + = + +  Vậy, phương trình có nghiệm là: 1x = . 0.25 5 Tính tích phân ( ) 4 2 2 0 log 9I x x dx= + ∫ . 1.0 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 3 Đặt ( ) ( ) 2 2 2 2 log 9 9 .ln 2 x u x du dx x = + ⇒ = + và 2 9 2 x dv xdx v + = ⇒ = 0.25 Suy ra: ( ) 4 4 2 2 2 0 0 9 1 .log 9 2 ln 2 x I x xdx   + = + −     ∫ 0.25 • ( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 0 9 25 9 .log 9 log 25 log 9 25log 5 9log 3 2 2 2 x x   + + = − = −     • 4 4 2 0 0 8 2 x xdx   = =     ∫ 0.25 Vậy 2 2 8 25log 5 9log 3 ln 2 I = − − . 0.25 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc · 0 60ABC = , hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 0 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, CD theo a. 1.0 Gọi O AC BD= I , M là trung điểm AB và I là trung điểm của AM. Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên: ,CM AB OI AB⊥ ⊥ và 2 3 3 3 , , 2 4 2 ABCD a a a CM OI S= = = 0.25 Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên ( ) SO ABCD⊥ Do AB OI AB SI⊥ ⇒ ⊥ . Suy ra: ( ) ( ) · ( ) · · 0 , , 30SAB ABCD OI SI SIO= = =    Xét tam giác vuông SOI ta được: 0 3 3 .t an30 . 4 3 4 a a SO OI= = = Suy ra: 2 3 1 1 3 3 . . . . 3 3 2 4 24 ABCD a a a V S SO= = = . 0.25 Gọi J OI CD= I và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI Suy ra: 3 2 2 a IJ OI= = và ( ) JH SAB⊥ Do ( ) / / / /CD AB CD SAB⇒ . Suy ra: ( ) ( ) ( ) , , ,d SA CD d CD SAB d J SAB JH= = =        0.25 Xét tam giác vuông IJH ta được: 0 3 1 3 .sin30 . 2 2 4 a a JH IJ= = = Vậy ( ) 3 , 4 a d SA CD = . 0.25 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) 1;2A − và đường thẳng ( ) : 2 3 0d x y− + = . Tìm trên đường thẳng (d) hai điểm ,B C sao cho tam giác ABC vuông tại C và 3AC BC= . 1.0 Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra C là hình chiếu vuông góc của A trên (d) Phương trình đường thẳng ( ) ∆ qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m 0+ + = ( ) ( ) A 1;2 2 2 m 0 m 0− ∈ ∆ ⇔ − + + = ⇔ = Suy ra: ( ) : 2x y 0∆ + = . 0.25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 4 Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: { 3 x 3 6 2x y 0 5 C ; x 2y 3 6 5 5 y 5  = −    + = ⇔ ⇒ −   ÷ − = −    =  . 0.25 Đặt ( ) B 2t 3;t (d)− ∈ , theo giả thiết ta có: 2 2 3 9AC BC AC BC= ⇔ = 2 2 2 16 t 4 16 12 6 15 9 2t t 45t 108t 64 0 4 25 25 5 5 t 3  =        ⇔ + = − + − ⇔ − + = ⇔    ÷  ÷        =     . 0.25 Với 16 13 16 ; 15 15 15 t B   = ⇒ −  ÷   Với 4 1 4 ; 3 3 3 t B   = ⇒ −  ÷   Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là: 13 16 ; 15 15 B   −  ÷   hoặc 1 4 ; 3 3 B   −  ÷   . 0.25 8 Trong không gian Oxyz, cho các điểm ( ) ( ) ( ) 0;1;0 , 2;2;2 , 2;3;4A B C − và đường thẳng ( ) 1 2 3 : 2 1 2 x y z d − + + = = − . Tìm điểm M thuộc (d) sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3. 1.0 Ta có: ( ) ( ) ( ) 2;1;2 ; 2;2;4 , 0; 12;6AB AC AB AC   = = − ⇒ = −   uuur uuur uuur uuur 0.25 Phương trình tham số của (d): 1 2 2 3 2 x t y t z t = +   = − −   = − +  . Đặt ( ) 1 2 ; 2 ; 3 2M t t t+ − − − + Ta có: ( ) 1 2 ; 3 ; 3 2AM t t t= + − − − + uuuur .Suy ra: , . 18 24AB AC AM t   = +   uuur uuur uuuur 0.25 0 1 3 , . 3 18 24 18 3 6 2 MABC t V AB AC AM t t =     = ⇔ = ⇔ + = ⇔    = −  uuur uuur uuuur 0.25 Với ( ) 0 1; 2; 3t M= ⇒ − − Với 1 0 2; ; 6 2 t M   = ⇒ − − −  ÷   Vậy, có hai điểm thỏa đề bài là ( ) 1; 2; 3M − − hoặc 1 2; ; 6 2 M   − − −  ÷   . 0.25 9 Cho tập hợp { } 1, 2, 3, 4, 5 .E = Gọi M là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau thuộc E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M. Tính xác suất để tổng các chữ số của số đó bằng 10. 0.5 Số các số thuộc M có 3 chữ số là 3 5 60.A = Số các số thuộc M có 4 chữ số là 4 5 120.A = Số các số thuộc M có 5 chữ số là 5 5 120.A = Suy ra số phần tử của M là 60 120 120 300.+ + = 0,25 Các tập con của E có tổng các phần tử bằng 10 gồm 1 2 3 {1,2,3,4}, {2,3,5}, {1,4,5}.E E E= = = Gọi A là tập con của M mà mỗi số thuộc A có tổng các chữ số bằng 10. Từ 1 E lập được số các số thuộc A là 4! Từ mỗi tập 2 E và 3 E lập được số các số thuộc A là 3! Suy ra số phần tử của A là 4! 2.3! 36.+ = Do đó xác suất cần tính là 36 0,12. 300 P = = 0,25 10 Cho bất phương trình 2 2 4 2 15 2 13x x x x m− − + + ≥ − − + Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi [ ] 3;5x ∈ − . 1.0 Xét bất phương trình: 2 2 4 2 15 2 13x x x x m− − + + ≥ − − + (1) Điều kiện: 2 2 15 0 3 5x x x− + + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 5 Đặt 2 2 15t x x= − + + , ta có: 2 1 ' , ' 0 1 2 15 x t t x x x − = = ⇔ = − + + Bảng biến thiên: Suy ra: [ ] 0;4t ∈ 0.25 Do 2 2 2 2 15 2 15t x x x x t= − + + ⇔ − = − nên bất phương trình đã cho trở thành: 2 4 2t t m− − ≥ (2) 0.25 Xét hàm số 2 ( ) 4 2f t t t= − − với [ ] 0;4t ∈ , ta có: ( ) ' 2 4 0 2f t t t= − = ⇔ = Bảng biến thiên: Suy ra: [ ] ( ) 0;4 min ( ) 2 6 t f t f ∈ = = − 0.25 Bất phương trình (1) nghiệm đúng [ ] 3;5x∀ ∈ − ⇔ Bất phương trình (1) nghiệm đúng [ ] 0;4t∀ ∈ ⇔ m ≤ [ ] 0;4 min ( ) t f t ∈ ⇔ 6m ≤ − Vậy, giá trị m thỏa đề bài là: 6m ≤ − . 0.25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 184 Đường Lò Chum Thành Phố Thanh Hóa 6 . ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 116 Ngày 30 tháng 5 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 1 2 x y x + = − . 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2 một số thuộc M. Tính xác suất để tổng các chữ số của số đó bằng 10. 0.5 Số các số thuộc M có 3 chữ số là 3 5 60.A = Số các số thuộc M có 4 chữ số là 4 5 120.A = Số các số thuộc M có 5 chữ số. Hóa 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 116 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1 2 x y x + = − 1.0 • Tập xác định: { } 2D = ¡ • Sự biến thi n: Chiều biến thi n: ( ) 2 3 '