ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 122 Ngày 5 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 2 2 4 = − + − y x mx m ( ) m C . (m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1.=m 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) m C có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có góc ở đỉnh của tam giác đó bằng α với 22 1 2 tan = α . 1 Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình 2 2cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x + + = + . 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện iziz 242 −=−− . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất. Câu 3.(1.0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 9 3 3 log ( 1) log (4 ) log (4 )x x x+ = − + + ,(*) 2. Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập { } 1,2, ,11 .S = Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12. 2 Câu 4.(1.0 điểm) : Giải hệ phương trình : 2 2 5 3 6 7 4 0 ( 2) 3 3 x y y x y y x x  − + + − + =   − + = +   ( , )x y R∈ . Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân ∫ + ++− = 1 0 1 1)1( dx e xex I x x . Câu 6.(1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có · 0 , 2 , 60AB a BC a ABC= = = , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC). 3 Câu 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, ,072: =−− yxBC đường thẳng AC đi qua điểm ),1;1(−M điểm A nằm trên đường thẳng .064: =+−∆ yx Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. Câu 8. (1.0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(13; −1; 0), B(2; 1; −2), C(1; 2; 2) và mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 4 6 67 0S x y z x y z+ + − − − − = . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và tiếp xúc mặt cầu (S). 4 Câu 9. (1,0 điểm) Cho bất phương trình 2 ( 2 2 1) (2 ) 0m x x x x− + + + − ≥ Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 0;1 3x   ∈ +   . Hết 5 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 122 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Cho hàm số 4 2 2 2 2 4 = − + − y x mx m ( ) m C . (m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1.=m 1.0 Với m 1 = 4 2 2 2y x x⇒ = − − TXĐ: D . = ¡ 0.25 6 3 ' 4 4y x x= − . Cho y’ 0= ta được: x 0 = hoặc 1x = ± Sự biến thiên: - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) 1;0− và (1; )+∞ ; - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 1)−∞ − và ( ) 0;1 . - Hàm số đạt cực đại tại 0, 2 cd x y= = − . Hàm số đạt cực tiểu tại 1, 3 ct x y= ± = − . - Giới hạn: x x lim y ; lim y . →−∞ →+∞ = +∞ = +∞ 0.25 Bảng biến thiên: x −∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + 0.25 7 y -3 - Đồ thị - Đồ thị cắt Ox tại hai điểm ( 1 3;0)± + cắt Oy tại (0; -2) - Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng 0.25 8 +∞ -2 +∞ -3 4 2 -2 -4 -5 5 y x O 1.2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) m C có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có góc ở đỉnh của tam giác đó bằng α với 22 1 2 tan = α . 1.0 Ta có: 3 ' 4 4y x mx= − . 2 x 0 y' 0 x m =  = ⇔  =  0.25 9 Đồ thị hàm số có ba cực trị 0m⇔ > (*) Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: 2 (0;2 4)A m − , 2 ( ; 4)B m m − , 2 ( ; 4)C m m− − . 0.25 Ta thấy B, C đối xứng nhau qua trục Oy và A Oy∈ nên tam giác ABC cân tại A. Phương trình cạnh BC: 2 4 0y m− + = . Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC, ta có: 2 ( , )AH d A BC m= = , BH m= 0.25 Tam giác ABH vuông tại H nên 2 2 tan m m AH BH == α 3 2 1 8 2 2 2 m m m m ⇔ = ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn *). Vậy 2m = là giá trị cần tìm. 0.25 10 [...]... ) 3 Nên (1) ⇔ tan x = − 3 ⇔ x = − 0.25 11 2.2 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất 0.5 Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) Ta có x − 2 + ( y − 4)i = x + ( y − 2)i (1) ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 4) 2 = x 2 + ( y − 2) 2 ⇔ y = − x + 4 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y = 4 Mặt khác... 16 − x 2 ⇒  ⇒  −4 < x < −1 1 − 69  x =  2   x − x − 17 = 0  2  0.5 0,25 13 Vậy (*) có 2 nghiệm x = 3.2 −1 + 61 1 − 69 và x = 2 2 0,25 Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập S = { 1, 2, ,11} Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12 0.5 3 Số trường hợp có thể là C11 = 165 Các bộ (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là (1, 2,9), (1,3,8), (1, 4, 7), (1,5, 6), (2,3, 7), (2, 4, 6), (3, 4,5) 7 Vậy... 2 t2 − 2 > 0, ∀t ∈ [ 1; 2] t ∈ [ 1; 2] , ta có: f ' ( t ) = Xét hàm số f (t ) = với 2 ( t + 1) t +1 1 2 Suy ra: min f (t ) = f ( 1) = − , max f (t ) = f ( 2 ) = t∈[ 1;2 ] 2 t∈[ 1;2] 3 Bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀x ∈ 0;1 + 3  ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng   2 2 ∀t ∈ [ 1; 2 ] ⇔ m ≥ max f (t ) ⇔ m ≥ Vậy, giá trị m thỏa đề bài là: m ≥ t∈[ 1;2] 3 3 0.25 0.25 28 ... (4a − 5) + (a − 1) 5 2 2 = 1 2 23 a = 2 ⇒ A(2;2) 2 ⇔ 13a − 42a + 32 = 0 ⇔  a = 16 ⇒ A − 14 ; 16 (ktm)    13  3 3  8 Vậy A( 2; 2) Suy ra AC : x − 3 y + 4 = 0, AB : 3 x + y − 8 = 0 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(13; −1; 0), B(2; 1; −2), C(1; 2; 2) và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 67 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và tiếp xúc mặt cầu... x + 2 + 1) + x (2 − x) ≥ 0 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ 0;1 + 3    Xét bất phương trình: m( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x (2 − x) ≥ 0 (1) Điều kiện: x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ R Theo đề bài ta xét x ∈ 0;1 + 3    0.25 26 Do t = x 2 − 2 x + 2 , ta có: t ' = x −1 [ , t ' = 0 ⇔ x = 1 ∈ 0;1 + 3 x − 2x + 2 t (0) = 2 , t (1) = 1 , t (1 + 3 ) = 2 Suy ra: x ∈ 0;1 + 3  ⇔ t ∈ [ 1; 2] ... tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC) 1.0 18 Từ A ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ AG là hình chiếu của AA ' lên ( ABC ) Gọi M là trung điểm BC Từ giả thi t ta có: A' C' 0.25 B' N A H C G I B M K 19 BC = 2a, AG = 2 2a · 2a 3 AI = ; A ' AG = 600 ⇒ A ' G = AG.tan600 = 3 3 3 Vì AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 AB.BC cos 60 0 = 3a 2 ⇒ AC = a 3 Mặt khác AB 2 + AC 2 . ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 122 Ngày 5 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 2 2 4 = − + − y x mx m ( ) m C . (m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thi n và. Hết 5 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 122 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Cho hàm số 4 2 2 2 2 4 = − + − y x mx m ( ) m C . (m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với 1.=m 1.0 Với. biến thi n: - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) 1;0− và (1; )+∞ ; - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 1)−∞ − và ( ) 0;1 . - Hàm số đạt cực đại tại 0, 2 cd x y= = − . Hàm số đạt