ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 121 Ngày 04 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = 4mx x m + + ,với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1m = 2) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ) ;1−∞ Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3 sin 4sin cos 0x x x− + = 2. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức 2 3z i = + là nghiệm của phương trình 2 0.z az b+ + = Câu 3.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình : ( ) ( ) 3 1 8 2 2 log 1 log 3 log 1x x x+ = − + − 2. Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x       − 2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC =+ + . Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 1 4 2 7 2 x y xy y y x y x y  + + + =   + = + +   Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân : ( ) 4 2 0 ln 9I x x dx= + ∫ Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ 1 1 1 .ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5 và 1 1 1 5A A A B A C= = = .Chứng minh rằng tứ giác 1 1 BCC B là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ 1 1 1 .ABC A B C . Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 5 0C x y x y+ − − − = và điểm ( ) ( ) 0; 1A C− ∈ .Tìm toạ độ các điểm ,B C thuộc đường tròn ( ) C sao cho tam giác ABC đều. Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt cầu ( ) S có phương trình ( ) 2 2 2 : 2 4 4 0S x y z x y z+ + + + + = .Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua trục Ox và cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 Câu 9.(1,0 điểm) Cho các số thực , ,a b c thoả mãn 1ab bc ca+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 40 27 14A a b c= + + HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 121 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 1 Câu NỘI DUNG Điểm 1.1 Cho hàm số y = 4mx x m + + ,với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1m = 1.0 Khi 1m = hàm số trở thành : 4 1 x y x + = + Tập xác định: Hàm số 4 1 x y x + = + có tập xác định { } \ 1 .D R= − Giới hạn: 1 1 4 4 4 lim 1; lim ; lim . 1 1 1 x x x x x x x x x + − →±∞ →− →− + + + = = +∞ = −∞ + + + 0,25 Đạo hàm: ( ) 2 3 ' 0, 1 1 y x x − = < ∀ ≠ − ⇒ + Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1; .− +∞ Hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên: 0,25 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1;x = − tiệm cận ngang 1.y = Giao của hai tiệm cận ( ) 1;1I − là tâm đối xứng. 0 0,25 Đồ thị hàm số (học sinh tự vẽ hình) 1.2 Tìm m để hàm số y = 4mx x m + + nghịch biến trên khoảng ( ) ;1−∞ 1.0 TXĐ { } \D m= −¡ , ( ) 2 , 2 4m y x m − = + .Yêu cầu bài toán ( ) ( ) 2 , 4 0 2 2 0 ;1 2 1 1 ;1 m m y x m m x m  − < − < <   ⇔ < ∀ ∈ −∞ ⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −   − ≥ = − ∈ −∞ /    Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ) ;1−∞ thì 2 1m− < ≤ − 0,25 0,25 0,25 0,25 2.1 Giải phương trình: 3 sin 4sin cos 0x x x− + = 0.5 pt ( ) ( ) 2 2 3 sin cos sin cos 4sin 0x x x x x⇔ + + − = ⇔ 3 2 2 3 cos cos .sin cos .sin 3sin 0x x x x x x+ + − = ( ) ( ) 2 2 cos sin cos 2cos .sin 3sin 0x x x x x x⇔ − + + = ( ) ( ) 2 2 cos sin cos sin 2sin 0x x x x x   ⇔ − + + =   (*) (do ( ) 2 2 cos sin 2sin 0x x x x+ + > ∀ ∈¡ ) do đó pt (*) ( ) cos sin 0 tan 1 4 x x x x k k π ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + π ∈Z phương trình (*) có một họ nghiệm ( ) 4 x k k π = + π ∈Z 0,25 0,25 0,25 0,25 2.2 Tìm tất cả các số thực a, b sao cho số phức 2 3z i= + là nghiệm của phương trình 2 0.z az b+ + = 0.5 Tính 2 1 6 , 2 (3 )z i az a a i= + = + Suy ra 2 (2 1) (3 6)z az b a b a i+ + = + + + + 0.25 Từ đó, có hệ 2 1 0 3 6 0 a b a + + =   + =  Giải hệ, thu được 2, 3a b= − = và kết luận. 0.25 3.1 Giải phương trình : ( ) ( ) 3 1 8 2 2 log 1 log 3 log 1x x x+ = − + − Đ/k 1 3x< < 0.5 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 2 Phương trình đã cho tương đương : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 log 1 log 3 log 1 0x x x+ + − − − = ( ) ( ) 2 1 17 1 3 1 4 0 2 x x x x x x − ± ⇔ + − = − ⇔ + − = ⇔ = thoả mãn Vậy phương trình có hai nghiệm 1 17 2 x − ± = 0,25 0,25 0,25 0,25 3.2 Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x       − 2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC =+ + . 0.5 Ta có 3),2)(1()1( 6 )1(()1( .424 323 1 ≥−−=−+ −+ ⇔=+ + nnnnnn nnn ACC nnn 2 2 2 2( 1) 3( 1) 3( 3 2), 3 12 11 0, 3 11.n n n n n n n n n⇔ − + − = − + ≥ ⇔ − + = ≥ ⇔ = 0.25 Khi đó )2.( 2 .)( 2 11 0 322 11 11 0 112 11 11 2 ∑∑ = − = − −=       −=       − k kkk k k kk xC x xC x x Số hạng chứa 7 x là số hạng ứng với k thỏa mãn .57322 =⇔=− kk Suy ra hệ số của 7 x là .14784)2.( 55 11 −=−C 0.25 4 Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 2 2 1 4 2 7 2 x y xy y y x y x y  + + + =   + = + +   1.0 Dễ thấy 0y ≠ ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 2 7 2 2 7 x x y x y xy y y x y x y x y x y y  + + + =   + + + =   ⇔     + + = + +    + − =  ÷     Đặt 2 1x u y v x y  + =    = +  ta có hệ pt : 2 2 4 4 2 7 2 15 0 u v u v v u v v + = = −   ⇔   − = + − =   3, 1 5, 9 v u v u = =  ⇔  = − =  • 2 2 1 1, 2 1 2 0 3 2, 5 3 3 u x y x y x x v x y x y y x = = =   + = + − =   ⇔ ⇔ ⇔     = = − = + = = −     • 2 2 9 1 9 9 46 0 5 5 5 u x y x x v x y y x =   + = + + =  ⇔ ⇔    = − + = − = − −    (hệ này vô nghiệm ) Hệ pt có hai nghiệm : ( ) ( ) ( ) { } ; 1;2 , 2;5x y = − 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Tính tích phân : ( ) 4 2 0 ln 9I x x dx= + ∫ 1.0 Đặt ( ) 2 2 2 2 ln 9 9 9 2 x du dx u x x x dv xdx v  =   = +   + ⇔   + =    =   0,5 ( ) 4 2 4 2 0 0 9 ln 9 2 x I x xdx + ⇒ = + − ∫ 4 2 0 25ln5 9ln3 25ln 5 9ln3 8 2 x = − − = − − 0,25 6 Cho hình lăng trụ 1 1 1 .ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5 và 1 1 1 5A A A B A C= = = .Chứng 1.0 minh rằng tứ giác 1 1 BCC B là hình chữ nhật và tính thể tích khối lăng trụ 1 1 1 .ABC A B C Gọi O là tâm của tam giác đều ABC OA OB OC⇒ = = . 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 3 Ngoài ra ta có 1 1 1 5A A A B A C= = = 1 A O⇒ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( ) 1 A O ABC AO⇒ ⊥ ⇒ là hình chiếu vuông góc của 1 AA lên ( ) mp ABC . Mà 1 OA BC A A BC⊥ ⇒ ⊥ do 1 1 1 / /AA BB BB BC⇒ ⊥ hay hình bình hành 1 1 BCC B là hình chữ nhật.Ta có ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 5 3 5 6 ; 5 . 3 2 3 A O ABC AO CO AO CA CO   ⊥ ⇒ ⊥ = − = − =  ÷  ÷   Thể tích lăng trụ : 2 1 5 3 5 6 125 2 . . 4 3 4 ABC V dt AO ∆ = = = 0,25 0,25 0,25 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 5 0C x y x y+ − − − = và điểm ( ) ( ) 0; 1A C− ∈ .Tìm toạ độ các điểm ,B C thuộc đường tròn ( ) C sao cho tam giác ABC đều. 1.0 ( ) C có tâm ( ) 1;2I bán kính 10R = ( ) ( ) 1 2 1 2 3 2 2 H H x AI IH y  = −  ⇒ = ⇔  = −   uur uuur 3 7 ; 2 2 H   ⇔  ÷   do I là trọng tâm ABC∆ , H là trung điểm BC . pt đường thẳng ( ) 3 7 ; 2 2 : ( ) : 3 12 0 1,3 quaH BC BC x y vtptn AI     ÷    ⇔ + − =   = =  uur r vì ( ) ,B C C∈ ⇒ toạ độ ,B C là nghiệm của hệ pt : 2 2 2 2 2 4 5 0 2 4 5 0 3 12 0 12 x y x y x y x y x y x y   + − − − = + − − − = ⇔   + − = = −   giải hệ pt ta được 7 3 3 3 3 7 3 3 3 3 ; , ; 2 2 2 2 B C     + − − +  ÷  ÷  ÷  ÷     hoặc ngược lại 0,25 0,25 0,25 0,25 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho mặt cầu ( ) S có phương trình ( ) 2 2 2 : 2 4 4 0S x y z x y z+ + + + + = .Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua trục Ox và cắt mặt cầu ( ) S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 1.0 (S): 2 2 2 2 4 4 0x y z x y z+ + + + + = có tâm ( ) 1; 2; 2I − − − bán kính 3R = ( ) α chứa trục ( ) ( ) 2 2 : ; 0; 0 : 0 0Ox x t y z Bx Cz B C= = = ⇔ α + = + > ( ) α cắt ( ) S theo một đường tròn bán kính 3r = ( ) ⇔ α đi qua I 2 2 0 0B C B C⇔ − − = ⇔ + = chọn 1; 1B C= = − ( ) : 0y z⇒ α − = 0,25 0,25 0,25 0,25 9 Cho các số thực , ,a b c thoả mãn 1ab bc ca+ + = .Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 40 27 14A a b c= + + 1.0 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số không âm ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 6 2 24 .6 24 24 16 9 2 16 .9 24 24 18 8 2 18 .8 24 24 a c a c ac ca a b a b ab ab b c b c bc bc  + ≥ = ≥   + ≥ = ≥   + ≥ = ≥   ( ) 24 24A ab bc ca⇒ ≥ + + = 0,5 dấu bằng xẩy ra 4 3 2 1 4 2 ; ; 1 6 3 6 6 a b c a b c ab bc ca = =  ⇔ ⇔ = ± = ± = ±  + + =  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 24 đạt được khi : 1 4 2 ; ; 6 3 6 6 a b c= ± = ± = ± 0,25 Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch 4 . ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2015 MÔN TOÁN SỐ 121 Ngày 04 tháng 6 năm 2015 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = 4mx x m + + ,với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số. hàm số y = 4mx x m + + ,với m là tham số thực. 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1m = 1.0 Khi 1m = hàm số trở thành : 4 1 x y x + = + Tập xác định: Hàm số. ⇒ + Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1; .− +∞ Hàm số không có cực trị. Bảng biến thi n: 0,25 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1;x = − tiệm cận ngang 1.y = Giao của