SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI: TOÁN NGÀY THI : 08/04/2014 THỜI GIAN : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (4 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A= 3 1 3 1 3 3 1 1 1 1 2 2 − + + + + − − 2) Cho hai số ,x y là hai số khác 0 và thỏa mãn: 1x y+ = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của P với 3 3 1 P x y xy = + + Bài 2: (5 điểm) 1) Cho phương trình ẩn x: 2 1 0x mx+ + = Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa: 2 2 1 2 2 1 2 x x x x      ÷  ÷     + > 2) Giải phương trình: 2 2 48 4 10 3 3 x x x x   + = −  ÷   Bài 3: (5 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)(AB<AC), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (D∈BC, E∈AC, F∈AB). Chứng minh rằng: a) ⊥OC DE b) 2 2 2 AB + AC + BC AH.AD + BH.BE + CH.CF= 2 2) Cho tam giác ABC có góc BAC là góc tù; H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi K, F, E lần là chân đường vuông góc hạ từ A, B, C đến BC, AC và AB. Chứng minh: AK AE AF HK BE CF + + =1 Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có 5 2BC cm= ; cho 1r cm= là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Hãy tính diện tích của tam giác ABC. Bài 5: (3 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 5x 2 + 2y 2 + 4xy – 2x + 4y + 2019. 2) Tìm số có hai chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. HẾT Họ và tên thí sinh………………………………… Số báo danh……………………. ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI: TOÁN NGÀY THI : 08/04/2014 THỜI GIAN : 150 ph ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 Nội dung Điểm 1 (4đ) 1) (2đ) A= 3 1 3 1 3 3 1 1 1 1 2 2 − + + + + − − Ta có: 2 3 4 2 3 1 3 1 2 4 2   + + + = =  ÷  ÷   ………………………… Tương tự: 2 3 1 3 1 2 2   − − =  ÷  ÷   ……………………………… 3 1 3 1 3 3 3 3 2 2 2 2 A − + = + + − ………………… ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 3 1 3 3 6 3 3 3 3 A − + − − + + + = + = + − 8 3 3 A = ……………………………………………………… 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2) (2đ) P= 3 3 1 x y xy+ + với 1x y+ = Ta có: B= ( ) ( ) 3 3 2 2 x y xy x y x y xy xy+ + = + + − + …………… Mà: 1x y+ = ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1B x y x x x x⇒ = + = + − = − + ………… 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 2 B x x       ⇒ = − + = − + ≥    ÷  ÷         ……………………… B ⇒ có GTNN là 1 2 khi x = 1 2 P ⇒ có GTLN là 2 khi x = y = 1 2 ………. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 (5đ) 1) (3đ) 2 1 0x mx+ + = 2 4m∆ = − 2 0 4 2m m∆ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ………………………………………………. 4 4 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 22 x x x x x x x x     + >  ÷  ÷     + > ⇔ ………………………………… ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 0x x x x x x⇔ + − − > ……………………………………… ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 0x x x x x x   ⇔ + − − >   ………………………………… ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 0 2 4m m⇔ − − > ⇔ − > …………………………………… 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ ĐỀ CHÍNH THỨC 2 2 2 2 2 2(loaùi) m m > < . 2 2 4 2 2 m m m m > > > < 0,5 0,5 2)(2) 2 2 48 4 10 3 3 x x x x + = ữ iu kin 0x t 2 2 2 4 16 8 3 9 3 x x t t x x = = + 2 2 2 48 3 8 3 x t x + = + 2 2 3 8 10 3 10 8 0t t t t + = + = 2t = v 4 3 t = * 2t = 2 6 12 0 3 21x x x = = * 2 4 4 12 0 6 3 t x x x= = = v 2x = KL: { } 3 21;6; 2S = . 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 3(5) 1)(3) a) K Cx l tip tuyn ca (O) ti C T giỏc AEDB l t giỏc ni tip vỡ ã ã 0 90AEB ADB= = ã ã ã ã ã ẳ ã ã / / (cuứng buứ BDE) (cuứng chaộn BC) EDC BAE EDC BCx Cx ED BCx BAE = = = . M: OC Cx OC ED b)DBHEBC . . BH DB BH BE DB BC BC BE = = Tng t: DHCFBC . .CH CF CD CB = ( ) 2 . . . .BH BE CH CF BD BC CD CB BC BD CD BC + = + = + = 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 2 . .BH BE CH CF BC⇒ + = (1) Tương tự:CH.CF+AH.AD=AC 2 ;AH.AD+BH.BE=AB 2 (2)…………. (1) và (2)⇒ 2 2 2 AB + AC + BC AH.AD + BH.BE + CH.CF= 2 ……… 0,5 đ 0,5 đ 2)(2đ) Ta có: HBC ABC AHC AHB S S S S= + + HBC ABC AHC AHB HBC HBC HBC HBC S S S S S S S S ⇔ = + + ………………………………………. 1 1 1 . . . 2 2 2 1 1 1 1 . . . 2 2 2 AK BC AE HC AF BH HK BC BE HC CF BH ⇔ + + = ………………………………… 1 AK AE AF HK BE CF ⇔ + + = …………….……………………………………… 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 4(3đ) Ta có · · · 0 90OMA ONA MAN OM ON r  = = =  ⇒  = =   MANO là hình vuông OM MA AN NO r ⇒ = = = = ……………………………………… 0,25 đ 0,25 đ ;BM BP CN CP= = (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)………………… ABC AOB AOC BOC S S S S= + + 1 1 1 . . . 2 2 2 ABC S OM AB ON A C OP BC= + + …………………………………………. 1 .( ) 2 ABC S r AM MB AN NC BC= + + + + …………………………………………. 1 .( ) 2 ABC S r r PB r CP BC= + + + + ……………………………………………… 1 .(2 2 ) ( ) 2 ABC S r r BC r r BC= + = + ……………………………………………… 2 1 2 5 ABC S cm= + ………………………………………………………………. 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ 0,25đ 5(3đ) 1)1,5đ M = 5x 2 + 2y 2 + 4xy – 2x + 4y + 2019. M=4x 2 + 4xy + y 2 + y 2 + 4y + 4 + x 2 –2x + 1 + 2014 M= ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2014 2014x y y x+ + + + − + ≥ MinM=2014 1 2 x y =  ⇔  = −  0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2) 1,5đ Số cần tìm có dạng ab ( , ;1 9; 0 9a b N a b∈ ≤ ≤ ≤ ≤ )…………………… Theo đề bài: ( ) 2 3 ab a b= + ……………………………………………. ⇒ ab là một số lập phương, còn (a+b) là số chính phương…………… Mà 10 99ab≤ ≤ nên ab =27 hoặc ab =64……………………………. Thử lại: ab =27 thì a+b = 9 (nhận) ab = 64 thì a+b = 10 (loại) ………………………………………… Vậy: ab = 27 ………………………………………………………… 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Hết . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI: TOÁN NGÀY THI : 08/04/2014 THỜI GIAN : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (4 điểm) 1) Rút gọn. CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI: TOÁN NGÀY THI : 08/04/2014 THỜI GIAN : 150 ph ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1 Nội dung Điểm 1 (4đ) . có dạng ab ( , ;1 9; 0 9a b N a b∈ ≤ ≤ ≤ ≤ )…………………… Theo đề bài: ( ) 2 3 ab a b= + ……………………………………………. ⇒ ab là một số lập phương, còn (a+b) là số chính phương…………… Mà 10 99 ab≤ ≤ nên ab =27