Câu 1 (3 điểm). Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau: a. 5 4 2 x x    ; b. 2 2 3 4 7 2 x x x     ; c. 2 1 2 x x    ; d. 1 1 2 1 x x x x      ; e. 2 2 7 5 x y xy x y xy          ; f. 2 2 3 3 2 3 2 6 x y xy x y          ; Câu 2 (1,5 điểm). Cho phương trình: 2 2 6 2 2 9 0 x mx m m      . Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình đó có hai nghiệm phân biệt âm. Câu 3 (2 điểm). a. Rút gọn biểu thức: 2 (sin cos ) 1 cot sin .cos x x A x x x     (khi biểu thức có nghĩa). b. Cho góc  thỏa mãn: 3 sin 5   và 0 2     . Tính giá trị biểu thức: 2 2 cos2 3.sin 4tan B x x x    . Câu 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm (1;1), ( 2; 3), (2; 1) A B C    . a. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng AB. b. Viết phương trình đường tròn (T) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB. c. Cho đường thẳng : 1 0 x y     . Gọi M là điểm thay đổi trên  , qua M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (T), với E, F là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường thẳng EF đi qua điểm B. Câu 5 (0,5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: ab bc ca 1    . Chứng minh rằng: a b c a b c 2 2 2 3 2 1 1 1       . ĐỀ THI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN - LỚP 10 Thời gian làm bài: 90 phút S Ở GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 HẾT ĐÁP ÁN Câu 1. Giải PT, BPT, HPT: a.(0,5đ) 2 2 2 2 2 0 5 4 2 0 1 1 5 4 4 4 0 x x x x x x x x x x x x x x                                     b. (0,5đ) 2 2 2 2 2 7 2 0 2 3 4 7 2 3 7 7 2 3 4 7 2 1 3 2 4 6 0 x x x x x x x x x x x x x x                                        c. (0,5đ) 2 2 2 2 2 0 2 1 2 1 2 3 1 3 3 4 4 1 4 4 3 8 3 0 3 x x x x x x x x x x x x x                                       d. (0,5đ) 2 2 2 1 1 3 1 1 3 2 1 2 1 2 0 0 0 1 1 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x                        Lập bảng xét dấu hoặc dùng phương pháp khoảng ta được tập nghiệm là: 1 ( ; 1) (0; ) (1; ) 2 S       e. (0,5đ) 2 2 2 3 1 2 2 7 ( ) 7 5 ( ) 5 4 2 (VN) 9 1 x y x xy y x y xy x y xy x y xy x y xy x y x xy y                                                           Vậy hệ có 2 nghiệm: (1;2), (2;1) . f. (0,5đ) 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 (2 )( ) 0 2 3 2 3 0 1 2 6 2 2 6 2 6 2 6 6 x y x y x x y x y x y xy x xy y x x y y x x y x y y x                                                                Vậy hệ có 2 nghiệm:   3 3 ( 6; 6), 1; 2   . Câu 2.(1,5đ) Phương trình: 2 2 6 2 2 9 0 x mx m m      có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi: 2 ' 0 2 2 0 1 0 6 0 0 1 0 9 2 2 0 m m S m m m P m m m                                   Vậy 1 m  là giá trị cần tìm. Câu 3. (2đ) a. (1đ). Rút gọn: 2 2 2 2 2 2 2 (sin cos ) 1 sin cos 2sin .cos 1 2sin .cos 2sin 2tan 1 cot sin .cos cos 1 sin cos sin cos sin sin x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x                          b. (1đ) Ta có: 2 3 4 sin cos 1 sin 5 5 x x         . Do 0 2     nên 4 cos 0 cos 5 x x    3 tan 4 x   (0,5đ) 2 2 2 2 2 16 9 9 29 cos2 3.sin 4tan 2cos 1 3.sin 4tan 2. 1 3. 4. 25 25 16 20 B x x x x x x             . Vậy 29 20 B  (0,5đ) Câu 4 (3đ) a. (1đ) Ta có ( 3; 4) (3;4) AB u       là vectơ chỉ phương và (4; 3) n    là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB. Phương trình tham số của đường thẳng AB: 1 3 ( ) 1 4 x t t y t          . (0,5đ) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB: 4 3 1 0. x y    (0,5đ) b. (1đ) Đường tròn (T) có tâm là C và tiếp xúc với đường thẳng AB có bàn kính là: 4.2 3.( 1) 1 ( ; ) 2 5 R d C AB       . (0,5đ) Vậy phương trình đường tròn (T) là: 2 2 ( 2) ( 1) 4 x y     . (0,5đ) c. (1đ) Do : 1 0 M x y     nên gọi ( ; 1) M m m   . Giả sử qua M kẻ được 2 tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn (T) (với E, F là các tiếp điểm). Khi đó 4 điểm C, E, M, F nằm trên đường tròn đường kính MC Phương trình đường tròn đường kính MC: 2 2 ( 2) 1 0 x y m x my m        (0,5đ) Tọa độ E, F là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 2 4 2 1 0 ( 2) 1 0 x y x y x y m x my m                  Suy ra phương trình đường thẳng EF là: ( 2) ( 2) 2 0 m x m y m       . Đường thẳng EF đi qua điểm ( 2; 3) 0 B m     . Vậy (0;1) M  là điểm cần tìm. (0,5đ) Câu 5 (0,5 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: ab bc ca 1    . Chứng minh rằng: a b c a b c 2 2 2 3 2 1 1 1       . Giải: Áp dụng giả thiết và bất đẳng thức Cô-si ta được:                                              a b c a b c a b a c b c b a c a c b a b c a b c (dpcm) a b a c b c a b c a c b 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c   . Ghi chú: - Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. HẾT . c a b c 2 2 2 3 2 1 1 1       . ĐỀ THI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 20 14 -2 0 15 Môn: TOÁN - LỚP 10 Thời gian làm bài: 90 phút S Ở GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 HẾT ĐÁP ÁN. a.(0,5đ) 2 2 2 2 2 0 5 4 2 0 1 1 5 4 4 4 0 x x x x x x x x x x x x x x                                     b. (0,5đ) 2 2 2 2 2 7 2 0 2 3 4 7 2 3 7 7 2 3 4 7 2 1.                Vậy hệ có 2 nghiệm: (1 ;2) , (2; 1) . f. (0,5đ) 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 6 6 (2 )( ) 0 2 3 2 3 0 1 2 6 2 2 6 2 6 2 6 6 x y x y x x y x y x y xy x xy y x x y y